三元一次方程组的解法2教学设计模板

三元一次方程组的解法2 一教学目标

掌握三元一次方程组的概念和三元一次方程组的解法,并能利用它解决问题.

在学习解三元一次方程组的过程中,感受消元转化的思想.

培养学生类比学习、敢于创新的精神.

二重难点

【重点】

三元一次方程组的解法.

【难点】

三元一次方程组的解法的选择.

三教学过程

【教师准备】

教材例1、例2演示过程图片.

【学生准备】

总结二元一次方程组的解法和解应用题的步骤.

导入一:

小明手头有12张面额分别为1元、2元、5元的纸币,共计22元,其中1元纸币的数量是2元纸币数量的4倍,求1元、2元、5元纸币各多少张.

教师利用投影出示问题,让学生进行讨论,怎样解决这个问题.

师:怎样解决这个问题,同学们自然会想到列方程(组)的办法.老师相信大家会通过列一元一次方程、二元一次方程组来解决问题.不过老师想提出一个挑战性的问题,大家能用设三个未知数的方法解决这个问题吗?

[设计意图] 不在解决问题的方法上耗费时间,直接提出与本课时相关的学习内容,用提出“挑战”的方式激发学生的学习兴趣.

导入二:

某学校的篮球数比排球数的2倍少3个,足球数与排球数的比是2∶3,三种球共41个,那么这三种球各有多少个?

这里三种球的个数都是未知的,可设篮球有x个,排球有y个,足球有z个,根据等量关系,可列方程组

=2

- 3, 2

=3

,

+

+

=41. 前面学习了二元一次方程组的解法,如何把这个方程组转化成二元一次方程组,进而求解呢? [设计意图] 通过生活情境,帮助学生感知三元一次方程组的存在.同时引导性地提出了解三元一次方程组的

方法.

一、三元一次方程组的定义

(针对导入一)假如我们设三个未知数来解决这个问题,需要建立怎样的方程呢?

师:为解决前面的问题,如果我们设1元、2元、5元的纸币分别为x张、y张、z张,可以建立哪些方程呢?

生:(思考后回答) x+y+z=12, x+2y+5z=22, x=4y. 问题1

怎样才能保证各个方程中的未知数取值都一样呢?

(把三个方程组合在一起.这里暂时可以不用三元一次方程组的概念表达.)

+

+

=12,

+2

+5

=22,

=4

.

问题2

观察上面的方程组与前面所学的二元一次方程组有何不同? (方程组中含有三个未知数.)

[设计意图] 通过问题引入,引发学生的思考与讨论,激发学生的学习兴趣.在此基础上通过类比的方法引入三元一次方程组的概念.

问题3

什么是三元一次方程组?

含有三个未知数,每个方程中含未知数的项的次数都是1,并且一共有三个方程,像这样的方程组叫做三元一次方程组.

[知识拓展] 本节常出现的错误是对三元一次方程的概念理解不准确,其表现形式有两种:一种是把“含未知数的项的次数为1”理解为“每个未知数的次数都是1”,误认为xy+z=0也是三元一次方程,另一种是遇到含有字母系数的方程时,容易忽略“未知数的系数不等于零”这个隐含条件,如三元一次方程ax+y+z=6中,a≠0这个条件.

二、三元一次方程组的解法

(1)思路提示:

我们知道,二元一次方程组可以利用代入法或加减法消去一个未知数,化成一元一次方程求解.那么能不能用同样的思路,用代入法或加减法消去三元一次方程组的一个未知数,把它化成二元一次方程组呢?

(2)消元过程:

让我们看前面列出的三元一次方程组:

+

+

=12,①

+2

+5

=22,②

=4

.③

仿照前面学过的代入法,我们可以把③分别代入①②,得到两个只含y,z的方程: 4y+y+z=12. 4y+2y+5x=22.

它们组成方程组: 5

+

=12,6

+5

=22.

得到二元一次方程组之后,就不难求出y和z,进而可求出x. (3)思路总结:

从上面的分析可以看出,解三元一次方程组的基本思路是:通过“代入”或“加减”进行消元,把“三元”化为“二元”,使解

三元一次方程组转化为解二元一次方程组,进而再转化为解一元一次方程.这与解二元一次方程组的思路是一样的.

[设计意图] 主要引导学生用“消元”思想去解三元一次方程组.这是类比思想的再次运用,是学生顺利实现知识迁移的必要条件. 三、解方程组

解三元一次方程组:

3

+4

=7,① 2

+3

+

=9,②5

- 9

+7

=8.③

〔解析〕

方程①只含x,z,因此,可以由②③消去y,得到一个只含x,z的方程,与方程①组成一个二元一次方程组.

解:②×3+③,得11x+10z=35.④

①与④组成方程组

3

+4

=7,11

+10

=35.

解这个方程组,得

=5,

=- 2.

把x=5,z=- 2代入②,得2×5+3y- 2=9, 所以y=1 3 .

因此,这个三元一次方程组的解为

=5,

=1 3,

=- 2.

[知识拓展] 解三元一次方程组和解二元一次方程组的方法一样,都是消元,但是有些特殊的三元一次方程组可以用一些特殊的解法,解题时要根据各方程的特点寻求比较简单的解法.

追问:你还有其他解法吗?

[设计意图] 单就例1而言,先消去哪个未知数建立新的二元一次方程组的方法是多种的,所以这个设问

对启迪学生灵活解三元一次方程组是非常必要的.

[过渡语] 学会了三元一次方程组的解法,我们就可以利用三元一次方程组解决一些问题.

在等式y=ax2+bx+c中,当x=- 1时,y=0;当x=2时,y=3;当x=5时,y=60.求a,b,c的值.

〔解析〕

把a,b,c看作三个未知数,分别把已知的x,y的值代入原等式,就可以得到一个三元一次方程组.

解:根据题意,得三元一次方程组:

-

+

=0,① 4

+2

+

=3,②25

+5

+

=60.③

②- ①,得a+b=1.④ ③- ①,得4a+b=10.⑤ ④与⑤组成二元一次方程组

+

=1,4

+

=10.

解这个方程组,得

=3,

=- 2.

把

=3

=- 2代入①,得c=- 5. 因此

=3,

=- 2,

=- 5.

即a,b,c的值分别为3,- 2,- 5.

[知识拓展] (1)一般地,使三元一次方程等号两边的值相等的三个未知数的值,叫做三元一次方程的解;(2)三元一次方程组的三个方程的公共解,叫做三元一次

方程组的解;(3)三元一次方程组的解是三个数,要将这三个数代入方程组中的每一个方程进行检验,只有这些数满足方程组中的每一个方程,这些数才是这个方程组的解.

用消元法解三元一次方程组的步骤:

①利用消元法消去一个未知数,得到一个二元一次方程组; ②解这个二元一次方程组,求得两个未知数的值;

③将两个未知数的值,代入原方程组中比较简单的一个方程,求得第三个未知数的值,把这三个未知数的值写在一起,就是所求三元一次方程组的解