测试教案（名师）

三元一次方程组的解法 例题与讲解

1.三元一次方程及三元一次方程组

(1)三元一次方程：

含有三个未知数，并且含未知数的项的次数都是1的方程叫做三元一次方程. (2)三元一次方程组：

①定义：含有三个相同的未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是1，并且一共有三个方程，像这样的方程组叫三元一次方程组.如：

x＋y＝1，x＋3y＋2z＝2，y＋z＝3，3x＋2y－4z＝3，x－2z＝5，2x－y＝7②拓展理解：

等都是三元一次方程组. a.构成三元一次方程组中的每一个方程都必须是一次方程；

b.三元一次方程组中的每个方程不一定都含有三个未知数，但方程组中一定要有三个未知数. 【例1】

下列方程组中是三元一次方程组的是(

). A.y＋z＝0，xz＝2x2－y＝1，

1B.y＋z＝2，1z＋x＝61x＋y＝1，

a＋b＋c＋d＝1，C.a－c＝2，b－d＝3

m＋n＝18，D.n＋t＝12，t＋m＝0

解析：A，B选项中有的方程不是三元一次方程，C中含有四个未知数，只有D符合三元一次概念内涵，故选D. 答案：D 2.三元一次方程组的解

(1)三元一次方程的解：使三元一次方程左右两边相等的三个未知数的值，叫做三元一次方程的解.

和二元一次方程一样，一个三元一次方程也有无数个解. (2)三元一次方程组的解：组成三元一次方程组的三个方程的公共解，叫做三元一次方程组的解.它也是三个数. (3)检验方法：同二元一次方程和二元一次方程组的检验方法一样，代入检验，左、右两边相等即是方程的解. 释疑点

检验三元一次方程组的解

三元一次方程组的解是三个数，将这三个数代入每一个方程检验，只有这些数满足方程组中的每一个方程，这些数才是这个方程组的解. x＝2，【例2】

判断y＝－3，z＝－3x＝2，解析：把y＝－3，z＝－3答案：是

x＋y－2z＝5，是不是方程组2x－y＋z＝4，2x＋y－3z＝10

的解. 答：__________(填是或不是).

代入方程组的三个方程中检验，能使三个方程的左右两边都相等，所以是方程组的解. 3.三元一次方程组的解法

(1)解法思想：解三元一次方程组的基本思路是消元，其方法有代入消元法和加减消元法两种，通过消元将三元一次方程组转化为二元一次方程组或一元一次方程. (2)步骤：

①观察方程组中每个方程的特点，确定消去的未知数；

②利用加减消元法或代入消元法，消去一个未知数，得到二元一次方程组；

③解二元一次方程组，求出两个未知数的值；

④将所得的两个未知数的值代入原三元一次方程组中的某个方程，求出第三个未知数的值；

⑤写出三元一次方程组的解. (3)注意点：

①三元一次方程组的解法多种多样，只要逐步消元，解出每一个未知数即可；

②解三元一次方程组时，每一个方程都至少要用到一次，否则解出的结果也不正确. x＋3y＋2z＝2，【例3】

解方程组3x＋2y－4z＝3，2x－y＝7.

①②③

分析：观察方程组中每个方程的特征可知，方程③不含有字母z，而①，②中的未知数z的系数成倍数关系，故可用加减消元法消去字母z，然后将所得的方程与③组合成二元一次方程组，求这个方程组的解，即可得到原方程组的解. 解：①×2＋②，得5x＋8y＝7，④

解③，④组成的方程组

2x－y＝7，

5x＋8y＝7.x＝3，解这个方程组，得

y＝－1.把x＝3，y＝－1代入①，得z＝1，

x＝3，所以原方程组的解为y＝－1，z＝1.(1)方法步骤：

4.运用三元一次方程组解实际问题

①审题：弄清题意及题目中的数量关系；

②设：设三个未知数；

③列：找出实际问题中的已知数和未知数，分析它们之间的数量关系，用式子表示，列出三个方程，组成三元一次方程组；

④解：解这个方程组，并检验解是否符合实际；

⑤答：回答说明实际问题的答案. 析规律

列三元一次方程组

同二元一次方程组的实际应用相类似，运用三元一次方程组解决实际问题要设三个未知数，寻找三个等量关系，列出三个一次方程，组成三元一次方程组. 【例4】

某个三位数是它各位数字和的27倍，已知百位数字与个位数字之

和比十位数字大1，再把这个三位数的百位数字与个位数字交换位置，得到一个新的三位数，新三位数比原三位数大99，求原来的三位数. 解：设百位数字为a、十位数字为b，个位数字为c，则这个三位数为100a＋10b＋c，由题意，得

a＋c＝b＋1，a＋b＋c＝100a＋10b＋c，100a＋10b＋c＋99＝100c＋10b＋a.a－b＋c＝1，化简，得－73a＋17b＋26c＝0，a－c＝－1.a＝2，解这个方程组，得b＝4，c＝3.答：原来的三位数是243.