三元一次方程组的解法2特级教师教学实录

《8．4 三元一次方程组解法》教学设计

一、教学目标

知识技能：能够列方程组解决实际问题；掌握代入消元法和加减消元法解三元一次方程组；掌握解三元一次方程组的思想和一般步骤.进一步运用三元一次方程组解决实际问题.

过程与方法：在运用三元一次方程组解决实际问题过程中进一步体会数学建模思想，培养学生的数学应用意识，并进行归纳，感受方程对解决实际问题的作用.。

情感态度：渗透方程思想，培养学生的方程意识；在用方程组解决实际问题的过程中，体验数学的实用性，提高学习数学的兴趣.在探索解决问题的过程中，敢于发表自己的见解，理解他人的看法并与他人交流.

二、重难点分析

教学重点：让学生经历和体验把实际问题转化为三元一次方程组的过程，用三元一次方程组解决实际问题．进一步体会“消元”的基本思想. 教学难点：针对方程组的特点，灵活使用代入法、加减法等重要方法．

三、教学过程

（一）创设情境，引入新课

前面我们学习了二元一次方程组及其解法——消元法.有些有两个未知数的问题，可以列出二元一次方程组来解决.实际上，有不少问题含有更多未知数，我们来看下面的问题．

【引例】（教师用PPT给出）

小明手头有12张面额分别为1元，2元，5元的纸币，共计22元，其中1元纸币的数量是2元纸币数量的4倍，求1元，2元，5元纸币各多少张．

提出问题：1．题目中有几个条件？

2．问题中有几个未知量？

3．根据等量关系你能列出方程组吗？

【得出概念】（师生共同总结概括）

这个方程组有三个不同的未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是1，并且一共有三个方程，像这样的方程组叫做三元一次方程组．

（二）合作交流，探索新知

问题1：

怎样解这个方程组呢？能不能类比二元一次方程组的解法，设法消去一个或两个未知数，把它化成二元一次方程组或一元一次方程呢？

学生活动：(展开思路，畅所欲言)

例1 .解方程组

分析1：发现三个方程中x的系数都是1，因此确定用减法“消x”.

解法1：消x

②-①

得

y+4z=10 .

④

③代人①

得5y+z=12 .

⑤

由④、⑤得

解得

把y=2,代入③，得x=8.

∴

是原方程组的解.

分析2：方程③是关于x的表达式，确定“消x”的目标.

解法2：消x

由③代入①②得

解得

把y=2代入③，得x=8.

∴是原方程组的解.

规律：

根据方程组的特点，由学生归纳出此类方程组为：

类型一：有表达式，用代入法.

针对上面的例题进而分析，例1中方程③中缺z,因此利用①、②消z,可达到消元构成二元一次方程组的目的.

解法3：消z

①×5得

5x+5y+5z=60，④

x+2y+5z=22，

②

④-②得

4x+3y=38

⑤

由③、⑤得

解得

把x=8,y=2代入①，得z=2.

∴

是原方程组的解.

根据方程组的特点，由学生归纳出此类方程组为：

类型二：缺某元，消某元.

教师活动：可以告诉学生还可以通过消掉未知项y来达到将“三元”转化为“二

元”目的，同学可以课下自行尝试一下.

在例题中，如果先确定消去，那么这三个方程两两分组的方法有3种；①与②，①与③，②与③．我们可以从中任选2种消去．这里特别要注意选定2种后，必须消去同一个未知数．如果违背了这一点，所得的两个新方程虽然各含两个未知数，但由它们组成的方程组仍然含有三个未知数，这在实际上没有消元．

问题2：

例2

解方程组

分析：（1）比较此三元一次方程组与以前学过的有什么不同？（三个方程都含三元）

（2）三个方程中哪个未知数的系数最简单？（）

（3）考虑用加减法消，消的方案有哪几种？（方案：①＋③；②＋③×2；①×2－②）

我们选择最简单的两种方案①＋③和②＋③×2，消同一个未知数，就可以得到关于、的二元一次方程组．

学生活动：独立解例2，一个学生板演．教师巡视进行纠正、指导．

此题用代入法消元，如何进行？

学生活动：思考、说出思想，选择系数最简单的方程③变形后代入①和②．

此题用加减法比用代入法简单，我们在解三元一次方程组时，要认真观察题目特点，选取恰当的方法进行消元，而且一定要选准消元对象．

变式训练，培养能力

（1）解方程组

（2）一个三位数，个位、百位上的数的和等于十位上的数，百位上的数的7倍比个位、十位上的数的和大2，个位、十位、百位上的数的和是14，求这个三位数．

【教法说明】①第（1）题的技巧性较强，把其中每两个方程相加，就可以求出一个未知数的值．这道题能增强学生的学习兴趣，培养学生善于发现规律、总结规律的能力．②第（2）题能培养学生分析问题的能力和运用所学知识解决实际问题的能力，能使学生体会到数学知识的实用性．

（三）应用新知，体验成功

利用多媒体素材中的“典型例题”进行教学.

（四）课堂小结，体验收获（PPT显示）

这堂课你学会了哪些知识？有何体会？（学生小结）

1．学生自由发言，这节课我们应该掌握哪些知识？

2．教师归纳总结：

①解三元一次方程组的基本方法是代入法和加减法，其中加减法比较常用．

②解三元一次方程组的基本思想是消元，关键也是消元，我们一定要根据方程组的特点，选准消元对象，定好消元方案．

③解完后要代入原方程组的三个方程中进行检验．

（五）拓展延伸，布置作业

(1)必做题：解三元一次方程组．

(2)选做题：解方程组．

(3)思考题：有这样一个丢番图问题：今有四数，取其三个而相加，其和分别为22，22，26和20，求此四数各几何？