阅读与思考　一次方程组的古今表示及解法板书设计

一次方程组的古今表示及解法

【教学目标】

1．理解三元一次方程组的含义。

2．会解某个方程只有两元的简单的三元一次方程组。

3．掌握解三元一次方程组过程中化三元为二元或一元的思路。

【教学重点】

1．使学生会解简单的三元一次方程组。

2．通过本节学习，进一步体会“消元”的基本思想。

【教学难点】

针对方程组的特点，灵活使用代入法、加减法等重要方法。

导入新课

前面我们学习了二元一次方程组的解法。有些问题，可以设出两个未知数，列出二元一次方程组来求解。实际上，有不少问题中含有更多的未知数。大家看下面的问题。

【教学过程】

一、研究探讨

出示引入问题

小明手头有12张面额分别为1元，2元，5元的纸币，共计22元，其中1元纸币的数量是2元纸币数量的4倍，求1元，2元，5元纸币各多少张。

1．题目中有几个未知数，你如何去设？

2．根据题意你能找到等量关系吗？

3．根据等量关系你能列出方程组吗？

请大家分组讨论上述问题。

（教师对学生进行巡回指导）

学生成果展示：

1．设1元，2元，5元各x张，y张，z张。（共三个未知数）

2．三种纸币共12张；三种纸币共22元；1元纸币的数量是2元纸币的4倍。

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xyz12,3．上述三种条件都要满足，因此可得方程组x2y5z22,

x4y.师：这个方程组有三个相同的未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是1，并且一共有三个方程，像这样的方程组叫做三元一次方程组。

怎样解这个方程组呢？能不能类比二元一次方程组的解法，设法消去一个或两个未知数，把它化成二元一次方程组或一元一次方程呢？

（学生小组交流，探索如何消元。）

可以把③分别代入①②，便消去了x，只包含y和z二元了：

x8,4yyz12,5yz12,即解得y2,

4y2y5z22,6y5z22.z2.解此二元一次方程组得出y、z，进而代回原方程组可求x。

教师对学生的想法给予肯定并总结解三元一次方程组的基本思路：通过“代入”或“加减”进行消元，把“三元”化为“二元”，使解三元一次方程组转化为解二元一次方程组，进而转化为解一元一次方程。

即三元一次方程组消元二、例题讲解

3x4z7,例1：解三元一次方程组2x3yz9,

5x9y7z8.二元一次方程组消元一元一次方程

（让学生独立分析、解题，方法不唯一，可分别让学生板演后比较。）

解：②×3+③，得11x+10z=35．

3x4z7,x5,①与④组成方程组

解得11x10z35.z2.1把x=5，z=-2代入②，得y=。

3x5,1因此，三元一次方程组的解为y,

3z2.归纳：此方程组的特点是①不含y，而②③中y的系数为整数倍关系，因此用加减法从②③

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中消去y后，再与①组成关于x和z的二元一次方程组的解法最合理。•反之用代入法运算较烦琐。

例2：在等式y=ax2+bx+c中，当x=-1时，y=0；当x=2时，y=3；当x=5时，y=60，求a，b，•c的值。

（师生一起分析，列出方程组后交由学生求解。）

abc解：由题意，得三元一次方程组0,4a2bc3,

25a5bc60.②-①，得a+b=1，④

③-①，得4a+b=10．⑤

④与⑤组成二元一次方程组ab1,4ab10.

解得a3,b2

把a=3，b=-2代入①，得c=-5．

a因此3,b2,，

c5.答：a=3，b=-2，c=-5．

知能训练

1．解下列三元一次方程组：

x2y3xyz4,(1)9,yz3,(2)2x3yz12,2zx47;xyz6.x22,x2,

解:(1)y15.5,(2)y3,z12.5;z1.2．甲、乙、丙三个数的和是35，甲数的2倍比乙数大，乙数的个数。

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13等于丙数的12，求这三

xyz35,x10,解得y15,

解：设甲、乙、丙三个数分别为x、y、z，则2xy5,yzz10.,32即甲、乙、丙三数分别为10、15、10。

课堂小结

1．学会三元一次方程组的基本解法。

2．掌握代入法，加减法的灵活选择，体会“消元”思想。

【作业布置】

活动与探究

拓广探索

2abc,解：由已知，得20abc,

93ababcc.2934②－①，得b=-11，④

777由③得ab=0，⑤

366④代入⑤，得a=6．⑥

a6,a6,把代入①，得c=3，因此，b11,

b11c3.答：a=6，b=-11，c=3．

备课资料

参考例题

3x2yz6,axby2cz2,1．已知方程组6xy2z2,与关于x,y,z的方程组2ax3by4cz1,相同，求a，b，6x2y5z33ax3by5cz1c的值。

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x:y3:2,2．解方程组y:z5:4,

xyz66.3．在y=ax2+bx+c中，当x=1，2，3时，y=0，3，28，求a，b，c的值。当x=-1时，y•的值是多少？ 答案：

1．分析：因为两个方程组的解相同，即x，y，z取值相同，可求解第一个方程组中的x，y，z，代入第二个方程组后，求解a，b，C．

1x,3x2yz6,3解：解方程组6xy2z2,解得y2,

6x2y5z3,z1.1x,3把y2,z1a32b2c2,axby2cz2,22ax3by4cz1,a6b4c1,3ax3by5cz1,3a6b5c1.

a9,1解得b,2c1.2．提示：将①②变为x=x30,答案：y20,

z16.abc0,a11,3．解：由题意，得4a2bc3,解得b30,

9a3bc28.c19.34y，z=y后求解。

25所以y=11x2-30x+19．

所以当x=-1时，y=11×（-1）2-30×（-1）+19=60. 【教学反思】

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1.因需要而学习，在应用中发展，结合实际问题引入三元一次方程组的有关概念，为解决具体问题研究三元一次方程组的解法，掌握解法之后解决新的更多更复杂的问题，使学生头脑中建立这样的联系——学以致用。

2.类比迁移，举一反三。类比二元一次方程组的知识学习三元一次方程组，并进一步应用与解其他多元一次方程组，同时，根据方程组的特点灵活选择恰当的方法，在应用的过程中形成技能技巧。

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