*5 一元二次方程的根与系数的关系第二课时教学设计

21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系

一、【教材分析】

教

学

目

标

1.理解根系关系的推导过程. 知识

2.掌握一元二次方程的根和系数的关系. 目标

能力

1.能不解方程求出一元二次方程的两根和与两根积 . 目标

2.能灵活运用一元二次方程的根和系数的关系解决一些简单的问题. 情感

体会从特殊到一般，再有一般到特殊的推导思路

目标

教学

重点

教学

难点

根与系数的关系的推导、运用．

正确归纳、理解、运用根与系数的关系．

二、【教学流程】

教学环节

【探究1】

教学问题设计

师生活动

二次备课

解下列方程，并填写表格：

方

程

x22x0

x23x40

自

x25x60

主

探

究

观察上面的表格，你能得到什么结论？

通过学生计算一些x1

x2

x1+x2

x1x2

特殊的一元二次方程的两根之和与两根之积，启发学生从中发现存在的一般规律，渗透特殊到一般的思考方法。

学生通过计算、猜想、交流、总结出根与系数的关系：

若x1、x2为方程关于x的方程x2pxq0(p、q为常数，p24q0)的两个根，结合上表，说明x1+x2与x1·x2与p，

- 1 - x1x2p，

q有何关系？请你写出关系式

【探究2】

关于x的方程ax2bxc0(a0)的两根x1+x2与x1·x2与系数a，b，c之间又有何关系呢？你能证明你的猜想吗？

引导学生利用求根公式给出证明。

x1x2q. 可以先将方程转化为二次项系数为1的一元二次方程，再利用上面的结论来研究，即：ax2bxc0(a0)

∵a0

证明：当△＞0时，由求根根式得：bc2xx0

∴22bb4ac ，bb4acaa x2 x12a2abx1x2∴，

∴acxx. 12bb24acbb24acbaxx122aa

从理论上加以验证，让学生经历从特殊到一般的科学探究过程。

(b)2(b24ac)4accx1x22

2a4a4a

1.利用所学知识解决情景问题？

2.不解方程，求下列方程的两根和与两根积. （1）

x2 –

3x +1 =0

（2）

3x2 –

2x - 2=0 （3）

2x2 –3x =0

（4）

3x2

=1

3.已知方程2xkx90的一个根是－3，求另一根及k的值？

- 2 - 2直接应用新知是学

生的模仿阶段，也是本课教学最基本的知识目标.

学生先独立求解，再让小组交流，然后学生代表展示.比较不同解法，引导学生谈谈有什么启示？

尝

试

应

用

2若一元二次方程x-4 x+2=0的两根是x1、 x2，求下列各式的值：

进一步巩固根与系数的关系，体会“整体代入”思想在解题中的运用，可起到简便运算的作用.

补

偿

提

高

11（1）+ x1x2

（2）x12+x22

对内容的升华理解认识

学生独立思考，师生梳理本课的知识点及方法

1．如果一元二次方程2ax+bx+c=0（a≠0）的两个根是x1，x2，那么x1+x2=____，x1x2=____．

2 2．如果方程x+px+q=02（p、q为已知常数，p－4ｑ≥0）的两个根是x1，x2，那么x1+x2=_____，x1x2=________；

以两个数x1，x2为根的一元二次方程（二次项系数

1、这节课我们学习了什么知识？有何作

用？

2、运用本节课所学知识解决问题时要注意

些什么？

3、这节课我们学到了解决数学哪些方法？

小

运用了哪些数学思想？

结

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为1） . 注意：根与系数的关系使用的前提条件____________________.

教师布置作业，并提出要求. 1.教科书课后练习.

学生课下独立完成，延续2.教科书习题21.2第7题. 课堂.

选作：

1.已知两个数的和等于8，积等于9，求这

考察学生灵活运用知识解决问题能力，让学两个数？

生感受到根与系数的关2 2.若一元二次方程x+ax+2=0的两根满足：系在解题中的运用，同时也考察学生思维的严密22x1+x2=12，求a的值.

性.

必做：

作

业

三、【板书设计】

21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系

1、对于ax2bxc0(a0)的方程，若b24ac0，两根为x1，x2. 那么x1x2bc，x1x2. aa2、根与系数关系使用的前提是：

（1）是一元二次方程，即a0. （2）方程为一般形式。即形如：ax2bxc0. （3）判别式大于等于零，即b24ac0.

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四、【教后反思】

1. 一元二次方程根与系数的关系的推导是在求根公式的基础上进行。它深化了两根的和与积同系数之间的关系，是我们今后继续研究一元二次方程根的情况的主要工具，必须熟记，为进一步使用打下基础. 2．以一元二次方程根与系数的关系的探索与推导，向学生展示认识事物的一般规律，提倡积极思维，勇于探索的精神，借此锻炼学生分析、观察、归纳的能力及推理论证的能力. 3.使学生体会解题方法的多样性，开阔解题思路，优化解题方法，增强择优能力。力求让学生在自主探索和合作交流的过程中进行学习，获得数学活动经验. 不足：

学生对于利用根与系数的关系来解决一些有关一元二次方程的问题还不够熟练，思路不清，

两根和、两根积有小部分同学有些混淆.

总之，在整个教学设计中，充分发挥了教师主导、学生主体的作用，通过学生自身体验过程、探究发现，激发学生获得求知的欲望；通过发现、猜想、证明的过程，使学生感受数学研究的方法与思想。学习例题、习题中渗透的数学的思想.

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