建立一元二次方程解决几何问题板书设计

北师大版九年级数学上册第二章

一元二次方程

课题：2.6 应用一元二次方程

——利用一元二次方程解决几何问题

科组：数学科

姓名：李燕婷

一、教材分析

本节课是2.6 应用一元二次方程的第1课时，利用一元二次方程解决几何问题，设置这一探究的目的不仅是解决这个具体问题，而且是通过这个问题的解决让学生再次经历建立和求解一元二次方程模型的完整过程，从而把模型思想、应用意识的培养落在实处．

在现实世界中，有许多可以用一元二次方程作为数学模型分析解决几何图形的问题原型．例1以封面设计为问题背景，讨论边衬的宽度．在探究过程中正确建立方程模型依然是本节课的重点．

二、学情分析

例1与以前的实际问题相比，它在分析数量关系方面更复杂，问题情境与实际情况也更接近，对于这样的综合性问题，学生缺乏解决问题的经验，而且例1的问题中没有明确求什么，学生感觉无从下手．学生一般可以意识到要“设元”用方程解决问题，但如何设元，如何与几何知识结合，挖掘题目图形中隐蔽的相等关系，构造方程模型对学生来说存在不同程度的困难，这也是本节课的难点所在．由于例1的问题中，方程的两个根都是正数，但它们并不都是问题的解，因此由数学问题的解得到实际问题的答案对于学生来说也是一个难点．

三、教学目标

（一）知识目标 1.会列一元二次方程解决与面积、镶嵌、区域规划等有关的几何类应用题，并从中体会几何图形的性质在寻找等量关系中所起的作用．

2.体会平移变换在解决图形面积问题中的“聚零为整”的作用. （二）能力目标 通过自主探究,独立思考与合作交流,使学生弄清实际问题的背景,挖掘隐藏的数量关系,把有关数量关系分析透彻,找出可以作为列方程依据的主要相等

关系,正确建立一元二次方程. （三）情感态度与价值观 在分析解决问题的过程中逐步深入地体会一元二次方程的应用价值. 四、重点

实际问题中等量关系的确定．

五、难点

通过分析图形面积之间的等量关系建立一元二次方程的数学模型． 教学过程

环节1

自学提纲、生成问题

【5 min阅读】

阅读教材P52～P53的内容，完成下面练习．

【3 min反馈】

1．列方程解应用题的一般步骤：

(1)“审”：读懂题目，审清题意，明确哪些是已知量，哪些是未知量以及它们之间的相等关系；

(2)“设”：设元，也就是设未知数；

(3)“列”：列方程，找出题中的等量关系，再根据这个关系列出含有未知数的等式，即方程；

(4)“解”：求出所列方程的解；

(5)“验”检验方程的解能否保证实际问题有意义；

(6)“答”：写出答案．

2．解决与几何图形有关的一元二次方程的应用题时，关键是把实际问题数学化，把实际问题中的已知条件与未知条件归结到某一个几何图形中，然后用几何原理来寻找它们之间的关系，从而列出有关的一元二次方程，使问题得以解决．

环节2

合作探究，解决问题

活动1

小组讨论(师生互学) 【例1】如图，要设计一本书的封面，封面长27 cm，宽21 cm，正中央是一个与整个封面长、宽比例相同的矩形，如果要使四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一，上、下边衬等宽，左、右边衬等宽，应如何设计四周边衬的宽度．(精确到0.1 cm，3≈1.73)

【互动探索】(引发学生思考)要设计书本封面的长与宽的比是多少？正中央矩形的长与宽的比是多少？若设上、下边衬的宽均为9x cm，左、右边衬的宽均为7x cm，则中央矩形的长和宽怎样表示？

【解答】设上、下边衬的宽均为9x

cm，左、右边衬的宽均为7x

cm，则中央矩形的长为(27－18x) cm，宽为(21－14x) cm. 根据等量关系：中央的矩形的面积是封面面积的四分之三，可列方程为(273－18x)(21－14x)＝4×27×21. 整理，得16x2－48x＋9＝0. 解得x1＝9x＝9×6－336＋33，x＝244(不合题意，舍去)．

6－334≈1.8(cm) 6－337x＝7×4≈1.4(cm) 故上、下边衬的宽均为1.8 cm，左、右边衬的宽均为1.4 cm. 【互动总结】(学生总结，老师点评)解本题的关键是找到等量关系，利用面积之间的关系列方程求解，同时要明白x2＝最后结果应精确到0.1 cm. 活动2

巩固练习(学生独学) 1．在一幅长80cm，宽50cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果四周金色纸边的面积是1400cm2，设金色纸边的宽为xcm，那么x满足的方程是（

）

A．x2+130x-1400=0

B．x2+65x-350=0

C．x2-130x-1400=0

D．x2-65x-350=0 选择B．理由：由题意可得，（80+2x）(50+2x)=80×50+1400，整理得，x2+65x-350=0，6＋334为什么不符合题意，且本题

因此选择B．

2．用20厘米长的铁丝能否折成面积为30平方厘米的矩形，若能够，求它的长与宽；若不能，请说明理由．

解：设这个矩形的长为xcm，

则x(10-x)=30，

即x2-10x+30=0 b2－4ac=(-10)2－4×1×30=－20<0

∴此方程无实数根

∴用20cm长的铁丝不能折成面积为30cm2的矩形．

环节3

课堂小结，当堂达标

(学生总结，老师点评) 列一元二次方程解应用题的一般步骤：

(1)“设”，即设未知数，设未知数的方法有直接设和间接设未知数两种；

(2)“列”，即根据题中的等量关系列方程；

(3)“解”，即求出所列方程的根；

(4)“检验”，即验证是否符合题意；

(5)“答”，即回答题目中要解决的问题．

布置作业

请完成本课时对应训练！