建立一元二次方程解决几何问题设计意图

一元二次方程应用

————道路问题

一

学情分析

学生已熟练掌握了一元一次方程的实际应用问题，但一元二次方程的应用问题在复杂程度上有了新的发展，学生的困难在于对实际问题中的等量关系的理解．因此，教学中引导学生分析问题中的数量关系，并运用变式训练揭示其本质特征，以加深学生的理解

二

教学内容分析

本节课是在学习了列简单的代数式、一次方程、分式方程、二元一次方程组及其应用、一元二次方程及其解法等知识的基础上教学的．实际问题与一元二次方程是进一步讨论如何建立和利用方程模型解决实际问题的范例，这种数学建模思想的体现与前面有关方程各章是一致的，只是在问题中数量关系的复杂程度上又有了新的发展，数学模型由一元一次方程或可以化为一次方程的分式方程变为一元二次方程。列一元二次方程是中心内容，解一元二次方程已属于巩固性内容。对本节的学习和研究，丰富了教学内容，同时也拓宽了学生的视野，是本章重点内容之一，也为以后二次函数的研究打下基础。

三．教学任务分析

（一）

教学目标：

1．能根据具体问题中的数量关系，列出一元二次方程，体会方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型；

2．能根据具体问题的实际意义，检验结果是否合理；

3．经历将实际问题抽象为代数问题的过程，探索问题中的数量关系，并能运用一元二次方程对之进行描述；

4．通过用一元二次方程解决身边的问题，体会数学知识应用的价值，提高学生学习数学的兴趣，了解数学对促进社会进步和发展人类理性精神的作用

（二）本节课的教学难点：

发现实际问题中的等量关系并解决问题

四．教学过程设计

（一）复习旧知

列方程解应用题的一般步骤：

（1）“审”，即审题，分清题意，明确题目要求，弄清已知数、未知数以及它们之间的关系；

（2）“设”，即设

_______，设未知数的方法有直接设未知数和间接设未知数两种；

（3）“列”，即根据题中的______关系列方程；

（4）“解”，即求出所列方程的解；

（5）“检验”，即验证是否符合题意；

（6）“答”，即回答题目中要解决的问题

（二）

例题讲解

例、在宽为20米、长为32米的矩形地面上，修筑同样宽的两条互相垂直的道路，余下部分作为耕地，要使耕地面积为540米2，道路的宽应为多少？

分析：此题的相等关系是矩形面积减去道路面积等于540米2 x米

20m

32m

解法一、

如图，矩形面积为

32×20米2

设道路的宽为x米

则横向的路面面积为32x 米2

纵向的路面面积为

20x 米2

所列的方程3220(32x20x)540通过对图形的观察，发现问题，并提出质疑，注意：这两个面积的重叠部分是

x2

米2。图中的道路面积不是

20m

32m

32x20x

米2。从而得到正确的方程

3220(32x20x)x2540

解法二

如图，设路宽为x米，横向路面为

32x 米

纵向路面面积为

20x 米2 耕地矩形的长（横向）为（32-x) 米，耕地矩形的宽（纵向）为

（20-x）

米

相等关系是：耕地长×耕地宽=540米2。即

32x20x540.

32m

220m

x252x1000,x150,x22

当x1=50时不符合题意舍去，x2=2是方程的解。

答：这条路宽应为2米

方法总结：解法二中我们利用“图形经过移动，它的面积大小不会改变”的道理，把纵、横两条路移动一下，使列方程容易些（目的是求出路面的宽，至于实际施工，仍可按原图的位置修路）

（二）巩固新知

1

如图，在长为40米，宽为22米的矩形地面上，修筑两条同样宽的互相垂直的道路，余下的铺上草坪，要使草坪的面积为760平方米，道路的宽应为多少？

解：设路宽为40米

22米

x米，则可得方程为（40-x）（22-x）=760 2 2

（

通过将小路的两次平移使得复杂问题简单化）

解：设路宽为x米可得方程为

（32-x）（20-x）=540 （三）课后作业：

如图，在宽为20m，长为32m的矩形耕地上，修筑同样宽的三条道路，（两条纵向，一条横向，横向与纵向相互垂直），把耕地分成大小

相等的六块试验地，要使试验地面积为570m²，问道路的宽为多少？

2

如图要设计一本书的封面,封面长27㎝,宽21㎝,正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形,如果要使四周的边衬所占面积是封面面积的四分之一,上、下边衬等宽,左、右边衬等宽,应如何设计四周边衬的宽度?

（四）小结归纳

7

2

1

21 以几何图形为背景的应用题，通常利用图形的面积来建立等量关系列方程求解，同时切记要检验解得合理性。

2 解决面积的相关问题时，灵活应用“平移变换”使问题简化。

华州区城关中学

王军玲

2019年1月5日