一元二次方程的概念设计意图

第1课时 22．1 一元二次方程

教学内容

一元二次方程概念及一元二次方程一般式及有关概念．

教学目标

了解一元二次方程的概念；一般式及其派生的概念；•应用一元二次方程概念解决一些简单题目．

1．通过设置问题，建立数学模型，•模仿一元一次方程概念给一元二次方程下定义．

2．一元二次方程的一般形式及其有关概念．

3．解决一些概念性的题目．

4．通过生活学习数学，并用数学解决生活中的问题来激发学生的学习热情．

重难点关键

1．•重点：一元二次方程的概念及其一般形式和一元二次方程的有关概念并用这些概念解决问题．

2．难点关键：通过提出问题，建立一元二次方程的数学模型，•再由一元一次方程的概念迁移到一元二次方程的概念．

教学过程

一、复习引入

学生活动：列方程．

问题（1）古算趣题：

“九章算术”里有一题:今有户高多于广六尺，两隅相去适一丈，问户高，广各几何？大意是说:已知长方形门的高比宽多6尺，门的对角线长1丈，那么门的高和宽各是多少？• 老师提问、点评并分析如何建立一元二次方程的数学模型，并整理．

222如果假设门的高为x尺，那么这个门的宽为(x-6)

尺，根据题意,得x+(x-6)=10

2整理，化简，得2x-12x-64=0 问题（2）现实问题：

用长21米的篱笆围成一面积54平方米的长方形牛圈，牛圈的一边靠墙(墙足够长)那么这个牛圈的长是多少? 老师提问、点评并分析如何建立一元二次方程的数学模型，并整理．

若设长方形牛圈垂直于墙的一边长为X米，则另一边是（21-2x）

米，根据题意，得2x(21-2x)=54 整理，得-2x+21x-54=0

二、探索新知

学生活动：请口答下面问题．

(1) 上面两个方程整理后含有几个未知数

(2) 未知数的最高次数是几次

(3) 有等号吗?或者只是式子

老师点评：（1）都只含一个未知数x；（2）它们的最高次数都是2次的；（3）•都有等号，是方程．

因此，像这样的方程两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程．

一般地，任何一个关于x的一元二次方程，•经过整理，•都能化成如下形式ax2+bx+c=0（a≠0）．这种形式叫做一元二次方程的一般形式．

一个一元二次方程经过整理化成ax2+bx+c=0（a≠0）后，其中ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项．

例1．将方程3x（x-1）=5(x+2)化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数及常数项．

分析：一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0（a≠0）．因此，方程3x（x-1）=5(x+2)必须运用整式运算进行整理，包括去括号、移项等．

解：略

注意:二次项、二次项系数、一次项、一次项系数、常数项都包括前面的符号.

例2．（学生活动：请三位同学起立回答）将下列方程化为一元二次方程的一般形式并说出二次项系数、一次项系数、常数项

(1) 2x2=4 (2) 2y-4y2=0 22(3) (2x)=(x+1)

2

分析：通过完全平方公式化成ax+bx+c=0（a≠0）的形式．

解：略

三、应用拓展（学生小组讨论，派代表发言）

例3．

关于x的方程(2m+m)x+3x=6可能是一元二次方程吗?为什么? 2分析：该方程是一元二次方程，只需m+1=2且2m+m≠0即可．

2解：m+1=2且2m+m≠0

22例4．关于x的方程(m-9)x+(m+3)x+5m-1=0

(1)当m取何值时是一元二次方程？ (2)当m取何值时是一元一次方程？

解：(1)m≠±3 (2)m=－3

四、回顾反思（学生总结，老师点评）

1、本节课我们学习了哪些知识？

2、确定一元二次方程的一般形式ax+bx+c=0(a≠0)和二次项、二次项系数、一次项、一次项系数、常数项时应该注意什么？

3、学习过程中用了哪些数学方法？

五、布置作业

1．教材P2

自主学习问题1，问题2；熟读教材并勾画重点

2．教材P4 综合运用

头脑风暴

一、选择题

1．在下列方程中，一元二次方程的个数是（ ）．

①3x+7=0 ②ax+bx+c=0 2222m+1 ③（x-2)（x+5）= x2-1 ④3x2-5／x =0 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

2．方程2x=3(x-6)化为一般形式后二次项系数、•一次项系数和常数项分别为（

）．

A．2，3，-6 B．2，-3，18 C．2，-3，6 D．2，3，6 2

3．Px-3x+q-q=0是关于x的一元二次方程，则（ ）．

A．p=1 B．p>0 C．p≠0 D．p为任意实数

二、填空题

1．方程3x-3=2x+1的二次项系数为______，一次项系数为_____，常数项为_____．

2．一元二次方程的一般形式是 _____________．

3．关于x的方程(a-1)x+3x=0是一元二次方程，则a的取值范围是______．

三、综合提高题

1、当a满足什么条件时，关于x的方程a（x+x)=6x-（x+1）是一元二次方程？ 22222

2、当a满足什么条件时，关于x的方程（a-1)x

a2+1+5x-a+1=0是一元二次方程？

2

课后反思

整个教学过程以学生为主体，以教师为主导，以学定教，以人为本，努力为学生营造和谐，宽松的学习氛围。积极倡导让学生自主参与学习，合作学习，探究学习，并注重适时表扬,点拨，讲解，不仅让学生达到共识，共享，共进，而且使学生在学习中变“被动”为“主动”，变“苦学”为“乐学”，真正体现新课程标准理念。