7.1 正切教学设计及教案分析

教学内容

义务教育教科书·数学（九年级下册）

7.1 正切（1）

本章内容是三角学中的基础内容.锐角三角函数与以前学过的一次函数、二次函数及反比例函数有所不同，它揭示的是角度与数值（线段比值）的对应关系，并且用符号来表示一种函数对学生来讲还是第一次。本节课主要是介绍锐角三角函数中的正切，其中渗透着转化、分类、数形结合、建模、函数等数学思想和方法.锐角三角函数与勾股定理一样都是解直角三角形很重要的知识内容之一，它揭示了直角三角形中边与角之间的关系，被广泛应用于测量、建筑、工程技术和物理学中，主要是计算距离、高教材度和角度.正确认识锐角三角函数，是学好解直角三角形的关键，也将为以后继续学习解读

三角函数奠定必要的基础。

本章内容恰好是进行数形结合的理想材料.而数与形的结合不仅是数学自身发展的需要，也是加深理解数学知识，发展数学能力的需要.在引入概念、计算化简、解决实际问题时，都应要求学生通过画图帮助分析，由图形找出直角三角形中边、角的关系，加深对锐角三角函数概念的理解。

在此之前学生已经学习过函数的定义和相似三角形，具备了学习锐角三角函数的知识基础；九年级上学期的学生已经具有一定的空间观念、想象力、几何语言表达能力以及逻辑推理能力.学生已有的知识、经验、能力和思想方法为新的认知活动提供了必要的基础和条件。

学情在研究如何描述坡面的倾斜程度的过程中，学生对所构建的直角三角形的单一元分析

素的研究中得出：直角三角形的锐角可以用来描述坡面的倾斜程度，而三边中的任何一条边都不可以.学生可能会想到两条边而如何又会想到两边的比值呢？这种变换思考问题的角度对学生来说还是有困难的.另外，学生虽然学习了一些函数的知识，但是学生对角度与数值之间的对应还是第一次接触，所以对锐角三角函数概念的理解仍显抽象和困难。

依据教学内容、教学目标以及学情分析，本节课的教学策略采用启发式与自主探设计究相结合的模式.教师的教法突出探究活动的组织设计与方法的引导，

学生的学法突理念

出自主、合作、探究的学习理念.整节课的探究活动采用问题引导下的自主探究，在探究中发现并掌握相关知识。

知识与能力

过程与方法

目标制定

情感态度价值观

教学重点

教学重难点

教学难点

认识锐角的正切的概念；

经历操作、观察、思考、求解等过程，感受数形结合的数学思想方法，培养学生理性思维的习惯，提高学生运用数学知识解决实际问题的能力；

激发学生学习的积极性和主动性，引导学生自主探索、合作交流，培养学生的创新意识．

正切概念的探究

1、在正切概念的探究过程中，如何想到利用直角三角形的对边与邻边的比来描述坡面的倾斜程度以及把比值和角度联系起来；

2.理解正切的概念.

课前课件

准备

教学教师活动

流程

学生活动

媒体设计意图

运用

在生活中，常常见到梯子靠在墙上的情景，我们可以抽象出

直角三角形，如图，梯子与地面学生观察发现：倾斜的夹角∠A我们称为倾斜角，梯角变大了，垂直距离子顶端B到墙角的距离BC我们变大了，水平距离变情境称为垂直距离，梯子底端A到墙小了

导入

角的距离AC我们称为水平距离。

一、

数学实验室

请思考：在一架梯子上升变

陡的过程中，那些量发生了

变化？

发现：直角三角形中，垂直距离相等时，水平距离越小，倾斜角越大。

发现：可以叠合垂直距离，可以叠合水平距离

发现：直角三角形中，水平距离相等时，垂直距离越大，倾斜角越大。

发现：直角三角形中，锐角的邻边相等时，对边越大角越大。（直角三角形中，角的大小与边有关系

发现：直角三角形中，相等锐角的对边与它的邻边的比值不变

也就是说，如果直角三角形的一个锐角的大小确定，那么这个锐角的对边与邻边的比值也确定．

Ppt动态展示梯子的上升过程

较好地发挥了“情景导入”的作用，让学生初步体会倾斜的程度可以靠倾斜的角度来判断和辨别，初步感受倾斜的角度越大，台阶就越陡．

思考探索1 例1

如图，梯子AB和EF哪个更陡？你是怎样判断的？

生活中

的问题可以用数学知识来解决，两个等高的直角三角形可以用叠合法来比较他们的倾斜程度。

1、

如图，梯子AB和EF哪个更陡？你是怎样判断的？

3、追问：

（1）、除了倾斜角的大小来表示谁更陡之外，你还可以有其它的办法来说明谁更陡吗？可以考虑一下边吗？

（2）、

在直角三角形中，相等的锐角，它的对边与邻边有联系吗？

动态展示不同的叠合过程

在叠合过程中展示A字型相似三角形

由角度逐步转化为边之间的比较，来实现向新知识的自然过渡．

为后续的学习提供一种好的比较方法。

这是本课的难点，学生对倾斜程度的判断从角转化到边，再进一步转化到对边的比值的理解

探究新知

如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，a、b分别是∠A的对边和邻边．我们将∠A的对边a与邻边b的比叫做∠A的正切（tangent），记作tanA，

即tanA＝

A的对边

A的邻边

BC

a＝

AC ＝

b．

你能用同样的方法写出∠B的正切吗？

你还有什么发现吗？

认知并且结合图形类比归纳：如图在Rt△ABC中，∠C＝90°，b、a分别是∠B的对边和邻边. 那么，

类似地，让学生类比出∠B的正切的表示方法．趁热打铁，让学生表示出∠B的正切，有利于学生深入认识正切的定义，初步实现教学目标．

例题教学

发现：1、

tanA是一个比值。

∠A是一个锐角

2、只有在直角三角形中，才有这样的边角关系。

3. tanA·tanB=1 例1

如图，在Rt△ABC中，∠C发表意见，表达观点，

＝90°，AC＝4，AB＝5，相互补充．

求tanA、tanB．

参考答案：

解：在Rt△ABC中，

∠C＝90°

∵AC＝4，

AB＝5

∴由勾股定理

得：BC=3 BC3拓展：

tanA=

AC

4

通过计算tanA、tanB的值，你有

tanB=

AC4BC3什么新的发现吗？

从而发现tanA与tanB

互为倒数，即

tanA·tanB＝1．而且，

根据定义，我们发现ab

tanA·tanB＝·＝ba

1，所以，我们能得到

互余两个角的正切值

互为倒数．

4设k法：

例题2：在Rt△ABC3解：在Rt△ABC中，中:∠ACB=90°,AB=10, tanA= AC= ，BC= . ∠ACB=90°

∵

tanA= ∴设BC=4k,AC=3k（k＞0）

由勾股定理得：

BC2+AC2=AB2

(3k) 2+(4k) 2=102

K=2,

AC=6,

BC=8 师生互动，锻炼学生的口头表达能力，培养学生勇于发表自己看法的能力，会进行简单的说理．在拓展环节，尽量让学生表达，或是在互相交流的基础上发表自己的看法，这样有利于学生对知识的进一步理解．

试一试

1．如图，求下列图中各直角三尝试运用正切知识解角形中锐角的正切值．

决问题

2、在Rt△ABC中，∠ACB=90°,AB=26, tanA=

AC= ，BC= . 123、在Rt△ABC中，AB=5，AC=3，5CD是AB 边上的高，tan∠ACD= ；

4、等腰三角形ABC中，AB=AC=10，

BC=12，求tanB= 。

思考探索2 怎样计算任意一个锐角的正切值呢？

1、你能计算一个65°角的正切的近似值吗?

2、请用同样的方法，写出表中各角正切的近似值 3、思考：当锐角α越来越大时，

α的正切值有什么变化？ 5、比较大小

（1）tan30° tan45°

（2）tan12° tan13°

拓展延伸

1、根据下图,我们可以这样来确定tan65°的近似值:当一个点从点O出发沿着65°线移动到点P时,这个点向右水平方向前进了1个单位,那么在垂直方向上升了约2.14个单位.于是可知,tan65°的近似值为2.14。

填写表格

发现：直角三角形中锐角越大，正切值越大。

6、如图，点E(0，4)，O(0，0)，运用本节课所学C(5，0)在⊙A上，

数学知识解决问题．

BE是⊙A上的一条弦，求

tan∠OBE= ．

7、如图，⊙A上有三个点B、O、E, OE=6，

3tanB= 4求圆的直径=

针对不同摆放位置，不同已知条件的三角形，如何去寻找对边与邻边，从而引导学生去创造直角三角形培养学生分析问题的能力．并且适当的拓展问题，提炼出等角代换，化斜为直的方法。开放性的问题设计，既综合整理、当堂复习了新课知识要点，又留给了学生自由发挥的空间．

进一步探究锐角度数越大，正切值如何变化。利用图形中角度的变大，领边不变对边变大来直观感受，另外还利用表格中角度变大，正切值变大，从数字的角度解释了这之间的关系。并且学以致用，简单判断大小，达到本环节的检测目的。

如何添加辅助线，构成直角三角形，转化为今天所学知识

小结

通过今天的学习，你学会了什么？你会正确运用吗？通过这节课的学习，你有什么感受呢，说出来告诉大家．

畅所欲言

等腰三角形ABC中，AB=AC=10，

腰上的高BD=8，求tanB=

。

能力提升

谈谈发现的结论，做题的方法等等1、直角三角形中，锐角的对边相等时，它的邻

边越小角越大

2、直角三角形中，相等锐角的对边与它的邻边的比值不变（等角代换）

3、tanA是一个比值。

∠A是一个锐角（设K法）

4、只有在直角三角形中，才有这样的边角关系。（化斜为直）

5. tanA·tanB=1

6、直角三角形中锐角越大，正切值越大。

学生思考解决

师生互动，总结学习成果，体验成功

学生容易遗漏一种情况，通过学生自我纠正达到共识，对腰上的高必须进行分类，明确分类标准和依据