14.5 等腰三角形的性质优秀教学实录

§14.5等腰三角形的性质

教学目标：

1、

通过观察、操作、说理等活动，发现并归纳等腰三角形两个底角相等的性质，培养数学语言归纳能力；

2、

经历用逻辑推理方法推导等腰三角形两个底角相等的性质的过程，体会实验归纳和逻辑推理这两种研究方法的联系与区别；

3、

掌握等腰三角形两个底角相等及“三线合一”的性质，能运用等腰三角形的性质解决有关的简单问题，发展基础性的逻辑推理能力. 教学重点：等腰三角形的性质的探究及应用.

教学难点：用逻辑推理方法推导等腰三角形两个底角相等的性质及等腰三角形“三线合一”性质的应用.

教学过程：

教师活动

一、复习引入

1、复习：

同学们在课前都完成了预习作业，先请每个小组汇总一下第2题的结果，并请组长来汇报一下小组完成情况。

师生总结：

边：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边

角：三角形内角和180°

重要线段：内角平分线、中线、高线

2、引入

问1：同学们也都带来了一个自己制作的等腰三角形，请一位同学说说你的等腰三角形是在任意三角形的基础上增加了什么条件？

追问：那么你能说说什么样的三角形叫做等腰三角形吗？

3、等腰三角形的相关概念

问2：很好，那么既然等腰三角形是特殊的三角形，那它是否也具有一些自身特有的性质呢？

这节课我们将主要研究等腰三角形的性质. 出示课题：§14.5等腰三角形的性质

问3：在研究性质之前，先让我们一起来回顾一下等腰三角形中的元素的名称吧？

教师补充说明这些元素的特征。

学生活动

课前作业：2、回顾我们学习的三角形章节的第一节课，对于一个任意的三角形中有哪些性质或者重要线段？

课前作业：1、用一张长方形彩纸利用身边的数学作图工具，剪出一个等腰三角形。

答1：两边相等

预设答：有两边相等的三角形叫做等腰三角形。

设计意图

从任意三角形性质入手引入，一方面了解等腰三角形具有人以三角形的所有性质，另一方面通过等腰三角形的特殊性引出等腰三角形自身特有的性质，感受从一般到特殊的数学思想。

说明：如图ABC是等腰三角形，AB=AC，这时，边AB和AC是它

的腰，BC是底边，A是它的顶

角，B和C是底角. 1

顶角

腰腰

底角底角

CB底边

二、探究体验

问4：回顾了这些元素之后，我们同样答4：等腰三角形具有任意三角形从边、角和重要线段三个角度来研究等的所有性质。等腰三角形两腰相腰三角形的性质，首先，等腰三角形是等。

否也具有任意三角形的所有性质？那

么根据刚才等腰三角形的定义，我们可学生预设：等腰三角形两角相等以发现等腰三角形的边有什么性质？

（教师完善等腰三角形的两个底追问：那么等腰三角形的角有什么性角相等）

质？

问5：这个只能说是同学们的猜测，你答5：学生预设方法（1）：度量法们有办法来说明吗？（提示：可以使用用量角器量

手边的工具或者制作的等腰三角形）

学生预设方法（2）：叠合法比较

角的大小

教师说明：同学们都很聪明，想出了很

多办法，但是无论用度量法还是叠合法

都存在这误差，因此我们要用严格的几

何说理来证明，等腰三角形的两底角相

等。

板书：已知ABC是等腰三角形，且

AB=AC，说明：BC. A

A12

DCBCB

你能否利用手中的等腰三角形，通过操

作说明两个底角相等呢？

说明：若学生不能想到等腰三角形的对

称性，教师可作如下引导：

刚才我们利用叠合法说明了等腰

三角形的两个底角相等，在翻折过程预设答（1）：添加辅助线

中，我们将原本一个三角形转化成了两预设答（2）：利用证明全等三角个三角形，观察这条折痕能想到什么？形的方法证明等腰三角形的两个A

通过任意三角形性质的分类，引导学生从边、角和重要线段三个角度来思考等腰三角形的性质，并引发等腰三角形两底角相等的猜想。

学生可以采用度量法、叠合法来探究等腰三角形两个底角的大小关系.（其中叠合法的说理过程由教师完善）

实验研究方法是学生现阶段几何研究的主要方法，将实验操作作为探究问题的起点，学生较易接受. 利用等腰三角形的对称性，通过猜测对称轴、翻折、利用叠合法说明的过程中，确定“顶角平分线所在的直线是它的对称

2

通过翻折的转化你又能想到什么？

板书思路：添加辅助线——构造全等三角形——两底角相等

问6：你会怎么来说明添加的辅助线呢？

师生共同完成说理过程，并证明结论

等腰三角形性质1：

等腰三角形的两个底角相等（简称：“等边对等角”）. 在ABC中，

ABAC（已知），

BC（等边对等角）.

辨一辩：

1、在四边形ABCD中，AB=CD,得到BC（

）

2、在ABC和DEF中，AB=DE,得到BD（

）

问7：刚才同学们利用全等的方法证出了等腰三角形的两个底角相等，我们也知道全等的两个三角形中对应边和对应角都相等，那我请同学们来找找图中，还有哪些线段相等或者角相等？

问8：BD=CD说明AD是ABC中怎样的特殊线段？

ADBADC说明AD与BC问9：有怎样的位置关系？说明AD是ABC中怎样的特殊线段？

轴”，“对称轴两边的图形重合，即全等”的事实.

此处操作说明时的语言很重要，教学中教师应引导学生用规范的语言叙述. 逻辑推理时所添加的辅助线，是由“操作”引出来的.

ABAC(已知)，此处还可12(已证)，

以用等腰三角ADAD(公共边).形底边上的中线为辅助线，ABD≌ACD(S.A.S)

推理得出等腰BC（全等三角形的对三角形的性应角相等）. 质，有学生提

出给予肯定.

将所得性

质用符号语言预设答：错，必须在三角形中。

表述，提高符预设答：错，必须在一个三角形号语言、文字中。

语言、图形语

言的转化能

力. 答7：

ABD≌ACD(S.A.S)

ADBADC（全等三角形的对应角相等）.

BD=CD（全等三角形的对应边

相等）.

答8：AD是ABC底边上的中线.

答9：

ADBADC，

且ADBADC180，

ADBADC90，

ADBC.说明

3 底角相等。

答6：添加顶角的角平分线（或者底边上的中线）

学生口述教师完善：

解：过点A作BAC的平分线AD，AD与BC相交于点D. ，

AD平分BAC（已知）12（角的平分线的意义）. 在ABD和ACD中，

AD是ABC底边上的高.

答11：

1∠1 =∠2；

○2BD=CD；

○3ADBC.

○

A

12

BDC

说明：“等腰三角形的三线合一”这一

1、2、3中已知其中性质指的是以上○○○答12：（师生共同完成）

任意一个就可以得出其余两个. （1）已知等腰三角形的顶角平分问12：请用符号语言表是：

线：

1得○2、○3

由○在三角形ABC中，AB=AC ,

∵

AD是角平分线

（已知）,

∴

ADBC，BD= CD（等腰

三角形的三线合一）.

（2）已知等腰三角形底边上的中

线：

2得○1、○3

由○在三角形ABC中，AB=AC,

∵AD是中线（已知）

∴

AD⊥BC

，

∠1 =∠2（等腰三

角形的三线合一）

（3）已知等腰三角形底边上的

高：

1得○2、○3

由○在三角形ABC中，AB=AC,

∵AD是高（已知）

∴

BD=CD，

∠1 =∠2（等腰三

角形的三线合一）

想一想：

预设答：没有（利用任意三角形1、任意三角形是否具有三线合一的性纸片说明）

质？

预设答：不重合（利用等腰三角

问10：通过刚才的分析，你发现了什么？

小结：等腰三角形的性质2：

等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（简称为“等腰三角形的三线合一”）. 问11：如何将这个性质用符号语言表示呢？

1AD为顶角的角如图，如何表示○2AD是底边上的中线？○3平分线？○AD为底边上的高？

4

将所得性质用符号语言表述，提高符号语言、文字语言、图形语言的转化能力.

等腰三角形的三线合一性质的符号表示的第一种以教师示范为主，后面两种以填空的形式让学生练习.

2、等腰三角形底角平分线和腰上的中线、腰上的高是否重合？

问13：我们利用翻折的方法得到了等腰三角形的两个性质，而这个翻折之后左右两边能够互相重合说明等腰三角形具有怎样的对称性？

追问：对称轴是什么？

等腰三角形的性质3：

等腰三角形是轴对称图形，顶角平分线所在的直线（或底边上的高所在的直线，或底边上的中线所在的直线）是它的对称轴；

三、实践应用

我们通过探究得到了等腰三角形的三个重要性质，它们如何应用呢？

例1：

（1）如图，已知AB=AC，B70，求C和A的度数. A形纸片说明）

答13：轴对称

预设答：等腰三角形的顶角平分线（教师补充所在直线）

问1：题中有哪些条件？求什么? 答1：题中已知等腰三角形的底问2：如何求？依据是什么？

角，求其另一底角和顶角的度数. 教师根据学生回答板书：

答2：由等腰三角形“等边对等角”的性质、三角形内角和性质求解. 解：（1）在ABC中，

∵

ABAC（已知），

∴BC（等边对等角），

∵B70（已知），

∴C70（等量代换）.

（2）∵BC70，

又ABC180（三角

形内角和等于180），

∴A40. 小结：在等腰三角形中若已知一个内

角，即可求出其它内角的大小.

（2）如图，已知AB=AC，A70，答3：题中已知等腰三角形的顶角，求其另两个底角度数. 求C和B的度数. 问3：题中有哪些条件？求什么? 答4：由等腰三角形“等边对等角”问:4：如何求？依据是什么？

的性质、三角形内角和性质求解.

预设生答：

（3）已知ABC是等腰三角形，且有由于未告知已知角是顶角还是底一个内角为70，那么其它两个内角的角，所以要分两种情况讨论：

BC

本题采用现讲后练的方法，三个变式层层递进是“等边对等角”性质的应用，同时渗透分类讨论的思想.

5

度数为_________________. 问：如何思考？

小结：分类讨论的数学思想

（4）已知ABC是等腰三角形，且有一个外角为70，那么三角形三个内角的度数分别为_________________. 问：如何思考？

例2：如图，已知AB=AC，BAC110，AD是ABC的中线，求1和2的度数。

A12BDC（1）当已知角为顶角，则另两角为55和55；

（2）当已知角为底角，则另两角为70和40. 答：55和55或70和40. 预设生答：

由于未说明已知外角是顶角的外角还是底角的外角，所以要分两种情况讨论：

（1）当已知外角为顶角的外角，则另两角为35和35；

（2）当已知外角为底角的外角，则不可能.

问1：如何思考？

问2：你能求出B和C的度数吗？说说你的思路。

小结：若已知等腰三角形及顶角平分线、底边中线、底边上的高三线之一，可考虑用“等腰三角形三线合一”的性质来说明，而不用三角形的全等，以简化说理过程.

达标反馈：

A组：

1、（1）如果等腰三角形的一个内角为

35和35. 答：110、

生答1：预设1，利用已知条件说明ABD和ACD全等，从而得出所求结论. 预设2，

本题已知等腰三角形顶角，及底边上的中线，可考虑用“等腰三角形三线合一”的性质求解. 在ABC中，

∵

ABAC（已知），

又∵AD是ABC的中线（已知）

∴121BAC（等2腰三角形三线合一），

∵BAC110（已知），

∴1255（等式性质）.

生答2：预设1，利用三角形内角和以及等边对等角求出结论。

预设2，利用三线合一转化为将等腰三角形转化为两个全等的直角三角形利用三角形内角和求出结论。

6

例题2，先练后讲的方法，利用是“等腰三角形三线合一”这一性质的简单应用，此处改为填空题，有学生习惯用三角形的全等说明问题，应引导学生学会使用简捷方法解决问题.

通过例题的训练，逐步

34°，那么另外两个角的度数分别为_____、______.

（2）如果等腰三角形的底边和一腰长分别为12cn、15cm，那么这个三角形的周长为_______cm..

（3）如果等腰三角形的两边长分别为12cm、15cm，那么这个三角形的周长为______cm. （4）如果等腰三角形的两边长分别为12cm、5cm，那么这个三角形的周长为______cm.

2、如图，已知AB=AC，BC10，AD是ABC的角平分线，问：

（1）BD和CD的长。（2）AD和BC有怎样的位置关系？

A12BDC

(1)34°，112°或者73°，73°

(2)42cm.

(3) 42cm或39m.(注意等腰三角形的两边长分别为12cm、15cm，没说哪一个是腰,哪一个是底,因此要分类讨论,两种情况) . (4) 29m.(注意等腰三角形的两边长分别为12cm、5cm，没说哪一个是腰,哪一个是底,因此要分类讨论,但其中一种情况不满足两边之和大于第三边，故舍去) .

2、在ABC中，

∵

ABAC（已知），

又∵AD是ABC的角平分线（已知）

∴BDCD养成分类讨论的习惯，同时对求出的结果抱着质疑的态度，思考结果的唯一性和存在性。

1BC

2ADBC

四、课堂小结

今天你主要学习了什么，有什么收获？

思维提升：

小明剪的一个等腰三角形被不小心撕坏了，只有它的底边AB和∠B还保留着，请你画出原来的等腰三角形形状. （等腰三角形三线合一），

∵BC10（已知），

∴BDCD5（等式性质）.

∴AD与BC的位置关系是互相垂直.

方法一：画出∠A，使∠A=∠B，∠A和∠B另一边的交点C就是等腰三角形的顶角的顶点. CAABB

方法二：画出线段AB的垂直平分线，与∠B的另一边的交点C就是等腰三角形的顶角的顶点. 五、布置作业

练习册，习题14.5

7

CAB

8