14.7 等边三角形优秀公开课教案

14.7

等边三角形

教学目标：

1.掌握等边三角形三个内角相等且等于等于60°的性质. 2.经历等边三角形判定方法的讨论、发现、归纳、说理过程，体会分类讨论的思想；掌握等边三角形的判定方法. 教学重点：等边三角形的性质、判定、应用. 教学难点：等边三角形的性质和判定的正确运用. 教学过程：

教师活动

一、引入

学生活动

设计意图

由已学的三角形的分类引出课题，再次体现了从特殊到一般的研究问题的方法. 由于学生回答的性质不完善，所以教师引导学生进一步思考每个内角的度数，进而得到完整的性质.

等边三角形性质的符号语言、文字语言之间转换. 类比于等腰三角形的判定从概念及性质的逆向思维得到，为学生探究等边三角1

问：三角形按边分类可以如何分？

①

不等边三角形

按边分

③

②

等腰三角形

等边

三角形

注：①

三边不相等

三条边相等的三角形是等边三②

两条边相等

角形，它是等腰三角形的特例，今天③

三边都相等

我们就来探究等边三角形的性质和

判定.

二、学习新知

1.等边三角形的性质

等边三角形具备等腰三角形的等边三角形的三条边相等

所有性质，等边三角形还有什么特有等边三角形的三个角相等 是轴对称图形，有三条对称轴

的性质呢?

问：三个内角都为多少度呢？为什因为等边三角形的三条边相等，根据么？

等边对等角可以得到三个内角等相等

都为60°，根据三角形内角和为

180°，这三个角又相等，所以每个角都为60°

符号语言表示：

∵△ABC是等边三角形（或

AB=BC=AC）

∴∠A=∠B=∠C=60°（等边三角形

的每个内角都为60°）

2.等边三角形的判定

思考：等腰三角形再添加什么条件能从“边”、“角”角度添加条件

变为等边三角形？

师归纳：（1）三条边相等的三角形是（1）底边与腰相等；

等边三角形；

（2）三个角都相等的三角形是等边（2）顶角和底角相等；

三角形；

等边三角形每个角均为60°，反过来有一个为60°的等腰三角形是等边三角形吗？

（3）有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形.

符号语言表示：

形的性质指明方向. 等边三角形判定（2）的符号语言、文字语言之间的转换. 引导学∵∠A=∠B=∠C

生从边和角∴△ABC是等边三角形（三个内角都两个方面来相等的三角形是等边三角形）

分类讨论等

边三角形的

判，分别从添

加顶角和底

角为60度两

种条件来判

定等边三角形，进一步体

会分类讨论∵在△ABC中，AB=AC，

的思想. ∠A=60°（或∠B=60°或∠C=60°）

等边三∴△ABC是等边三角形（有一个内角角形判定（3）等于60°的等腰三角形是等边三角的符号语言、形.）

文字语言之

间转换.

例1如图，已知B、C、E在一直线

上，△ABC、△DCE都是等边三角形，

联结AE,BD,试说明△ACE与△BCD此例题

全等的理由 涉及等边三

角形的性质，边读题用不同颜色标注两个等全等三角形边三角形，将△ACE与△BCD分解的判定与性出来

质，有一定的

由△ABC、△DCE都是等边三角形可综合运用要问：要说明△ACE≌△BCD，已有哪得BC=AC，CD=CE，缺BD=AE或

求，要知道学些条件？还缺什么条件？ ∠BCD=∠ACE. 生学习分析

由△ABC、△DCE都是等边三角形可的方法，获取问：所缺条件BD=AE或得∠1=∠2=60°，

探索解题思∠BCD=∠ACE中，哪个根据已知条所以∠1+∠3=∠2+∠3，

路的经验. 件可以得出？怎么得到？

2

底角为60°,顶角为60°,是等边三角形.

即∠BCD=∠ACE

学生口述，教师板书

解：∵△ABC是等边三角形（已知）

∴AC=BC,

∠1=60°(等边三角形性

质)

同理，CD=CE,

∠2=60°

∴∠1=∠2

(等量代换)

∴∠1+∠3=∠2+∠3（等式性质）

即∠BCD=∠ACE

在△ACD与△BCE中

AC=BC

（已求）

∠ACE=∠BCD（以求）

CD=CE（已求）

∴△ACD≌△BCE(S.A.S)

变式：若把上题中的△ABC绕着点C还是全等的，判定这两个三角形全等转动到任意位置，△ACE还能与△的方法和上一题类似

BCD全等吗？（如下左图）

D

D

CE

A

BBC

E

A若把△ABC旋转到点B落在边CE

上（如上右图），就是书上的例题，

大家可以课后看.

小结：寻找说明全等的条件可以利用

等边三角形的性质.

拓展：

问：△ACD≌△BCE(S.A.S)又BD=AE, ∠4=∠5,

∠6=∠7

可以得到什么结论呢？

问：图中还有全等三角形吗？为什△ECF≌△DCG，

△BCG≌△ACF，根据平角意义，由么？ ∠1=∠2=60°，可得∠3=60°，得出 将△ECF，△DCG分解出来

∠2=∠3，再由∠4=∠5，CD=CE，根

据A.S.A可以得到△ECF≌△DCG

同理也可以得到△BCG≌△ACF 等边三角形，由△ECF≌△DCG可得问：若联结GF，则△CGF是什么三CG=CF，又因为∠3=60°，根据有一

将△ABC绕着点C转动到任意位置，体现了从特殊到一般来得研究问题方法

指明当B落在边CE上就是书上的例题，学生课后看也能看懂. 追问是否还有全等三角形问题，引发学生对此题的进一步思考.

追问△CGF是什么三角形问题，3

角形呢？为什么？ 个角为60°的等腰三角形是等边三角形可得.

此处变式与拓展可视班级学生情况

进行选讲

练习1

如图，已知△ABC是等边三学生独立思考，板演过程

角形，点D为BC延长线上一点，CE

平分∠ACD，CE=BD，试说明△DAB

A与△EAC全等的理由.

D2

1F

3

BCE

A

8D2

41F6

5973练习2

如图，已知点D、E、F分别

BCE在AB、BC、CA上，△DEF是等边

三角形，且∠1=∠2=∠3，△ABC是

等边三角形吗？试说明理由.

说明三边相等或三角相等，或有一个问：如何说明一个三角形是等边三角角为60°且有两条边相等

形呢？

问：那此题选用那种方法说明？

如三边相等，说明△BDE≌△CFE

≌△ADF，由于△DEF是等边三角何做？

形，DE=EF=DF，∠4=∠5=∠6，又

因为∠1=∠2=∠3，根据平角的意义，

可以得到∠7=∠8=∠9，根据A.S.A 书写方法可以更简单，先说明△可以得到这三个三角形全等. BDE≌△CFE，然后同理可得△CFE

≌△ADF.

问：还可以用其它的方法说明吗？

说明∠A=∠B=∠C 解：∵△DEF是等边三角形（已知）

∴∠1=∠2=∠3=60°（等边三角形每

个内角是60°）

∵∠4+∠1=∠2+∠A（三角形的一个

外角等于与它不相邻的两个内角之

巩固等边三角形的判定3运用.

此题是书上的课后习题，若让学生独立完成有难度，而且涉及到等边三角形的判定问题，所以作为例题讲解. 巩固等边三角形的三种判定方法.

若学生直接回答了用三角形外角的性质说明，就不用提利用全等这种方法了，若学生回答了用全等说明，则要引导学生用外角的性质来说明.同时用全等的方法说明时，要强调书写的简洁，“同理可得”不仅适用于某条定理重复，也适用于说理过程的重复.

4

和）

又∵∠1=∠2（已知）

∴∠A=∠4=60°(等式性质)

同理可得∠B=60°, ∠C=60°

∴∠A=∠B=∠C（等量代换）

∴△DEF是等边三角形（三个角都相

等的三角形是等边三角形）

问：哪种方法更加简单？

第2种

由此可见，利用三角形外角的性质

有时可以更加简单的解决问题.

课堂练习：

1．如图，已知△ABC是等边三角形，1.解：∵△ABC是等边三角形，

D为BC延长线上一点，CE平分∠∴∠B=∠BCA=60°，AB=AC（等边ACD,CE=BD,试说明△DAB与△三角形的各内角为60°、各边相等）

EAC全等的理由．

∵∠BCA+∠ACD=180°，

E∴∠ACD=120°，

A∵CE平分∠ACD（已知）,

运用等边三角形的性质，补足两个三角形全等的条件．

11

∴∠1=∠ACD=×120°=60°

22（角平分线意义），

B∴∠B=∠1（等量代换）．

CD

在△DAB与△EAC中，

AB=AC（已证），

∠B=∠1（已证），

BD=CE（已证），

∴△DAB≌△EAC（S.A.S）

EA

1

BCD

2．如图，已知点B、C、E在一直线2.答：∵△ABC、△DCE都是等边三

上，△ABC、△DCE都是等边三角形，角形（已知），

联结AE、BD,试说明△ACE与△BCD∴BC=AC,DC=DE，∠ACB=∠DCE，

全等的理由．

（等边三角形的各边相等，各内角为

60°）

5

∠ACB＋∠ACD=∠DCE＋∠ACD，

即∠BCD=∠ACE(等式性质)

在△ACE与△BCD中，

AAC=BC,

∠ACE=∠BCD,

DC=CE,

BEC

∴△ACE≌△BCD（S．A．S）．

3．如图，已知点D、E、F分别在3.答：△ABC是等边三角形．

AB、BC、CA上，△DEF是等边三角∵△DEF是等边三角形，

形，且∠1=∠2=∠3，△ABC是等边∴△DEF的各个内角都等于60°，

三角形吗？试说明理由．（课本∴∠DEC=∠B+∠1，即P114/3）

∠DEF+∠3=∠1+∠B（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的A和），

∵∠3=∠1（已知），

2D∴∠DEF=∠B＝60°（等式性质）．

F1同理，∠A=60°，∠C=60°．

∴∠A=∠B=∠C，

3∴△ABC是等边三角形．

BCE

三、课堂小结

本节课主要学习了什么？你有何收（1）知道等边三角形的概念；

（2）理解等边三角形的性质及判定；

获？

（3）会运用等边三角形的性质和判定

解决相关的问题.

D

培养学生简单明了的说理方法，要求学生逐渐学会用“同理”简化说理过程．

教师补充：在等边三角形的判定方法探究过程中，体会了分类讨论的思想，及从性质的逆向思维方面考虑问题的方法. 本节课可视情况上为两节课

课后作业

试 题

解 答

设计意图

6

A组：

1．选择题：

（1）已知∠AOB=30°，点P在∠AOB的内部，点P1与点P关于OB对称，点P2与点P关于OA对称，那么以P1OP2三点为顶点的三角形是（

）

（A）直角三角形；

（B）钝角三角形；

（C）等腰三角形；

（D）等边三角形．

（P60）

A

由图形的翻折，可直接得翻折后图形全等，巩固用同理的方式简化说理过P2程．

A

P

BP2O

P1

A

C

3

P

1

2DBB4O

P

BP1

O分析：由题意，得△OCP2≌△OCP

△OCP≌△ODP1，

∴∠1=∠3，∠2=∠4，

OP2=OP,OP1=OP，

∴OP2=OP1（等量代换）

∠P2OP=2∠1，∠P1OP=2∠2（作图），

∵∠AOB=30°（已知），

∵∠AOB=30°（已知），

∴∠P1OP2=2（∠1+∠2）

=2∠AOB

=2×30°

=60°．

∴∠P1OP2=60°．

又∵OP=OP，

12

∴△OP1P2是等边三角形．

（2）下列所叙述的图形中，全

根据三角形全等的等的两个三角形是（

）（P60）（2）C．

判定方法，找出可（A）含60°角的两个直角三（A）两角对应相等的两个三角形不以全等的三角形，全等．×

角形；

须注意三角形全等（B）这两个三角形可以是一个锐角（B）腰对应相等的两个等腰三时至少要有一对边三角形和一个钝角三角形．×

角形；

相等．

（C）边长均为15cm的两个等（C）根据三边对应相等可判定两个

三角形全等．√

边三角形；

（D）一个钝角对应相等的两个（D）两个三角形全等需有对应边相

等．×

等腰三角形．

7

（1）D．

答：

等边三角形每个内角是60°，

已知，

1

所以∠DBC=

（ ）．

∠ABC,

21

得∠DBC=×60°=30°．

2

因为∠E=30°（已知），

得∠DBC=

(等量代换)，

∠E，

所以DB=DE（ ）．

等角对等边．

（P61）

A

D

BEC

A

23．如图，在△ABC中，D是边

BC上的一点，AB=AD=DC,∠

1B=60°，求∠C、∠BAC的度C

DB数．（P61）

3.解：∵AB=AD,∠B=60°（已知），

∴△ABD是等边三角形（有一个角为A

60°的等腰三角形为等边三角形），

∴∠1=60°（正三角形的每个内角为

60°），

∵∠1=∠2+∠C（三角形的外角等于CDB不相邻的两个内角的和）

又∵AD=DC（已知），

∴∠2=∠C（等边对等角）．

∴∠C=30°（等式性质）．

（2）∵△ABD是等边三角形，

∴∠BAD=60°（等边三角形每个内

角为30°），

∵∠2=30°（已求），

2．如图，△ACB是等边三角形，BD是边AC上的高，E是BC延长线上的一点，∠E=30°，那么DB=DE,为什么？

解：因为△ABC是等边三角形，

所以AB=BC=CA(等边三角形的三条边都相等)，

∠A=∠ABC=∠ACB=60°

（

）．

又因为BD是边AC上的高（

），

引导学生紧扣三角形全等的判定作出正确的判断．

利用等边三角形的性质，求角的大小解决简单的几何计算问题．

8

B组：

请用三种不同的分割方法，将以下一个等边三角形分割成四个等腰三角形．（分别在各图中画出分割线，并标出必要的角的度数）（P61）

∠BAC=∠BAD+∠2 =60°+30°

=90°．

答：∠C=30°，∠BAC=90°．

答：

从不同的角度分割三角形，使它成为四个等腰三角形，尝试不同的方法，体会分类讨论的思想．

30°30°30°30°60°60°30°30°30°30°30°30°60°60°60°60°60°60°

9