1.2.1 平面上点的极坐标系教学内容

1.2.1平面上点的极坐标系

【教材分析】

用坐标法来刻画动态的、连结的点，是它沟通代数与几何而成为解析几何的主要工具的关键。解析几何学的创立，开始了用代数方法解决几何问题的新时代. 用坐标法来刻画动态的、连结的点，是它沟通代数与几何而成为解析几何的主要工具的关键。

本节教学的基本任务是使学生认识极坐标系。具体的，要使学生能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，体会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化。

【学情分析】

学生在初中已经学习过直角坐标系，在高中函数的性质和图像等关于图的部分进一步掌握巩固。能够在直角坐标系中利用坐标刻画点的位置和曲线的方程等。在生活情境中，碰到直角坐标无法解决的问题，结合生活经验，自然联想到角度和距离刻画点的位置。得出极坐标系的概念。

在以往的学习中，学生对直角坐标系已经非常熟悉。在实际中，所给出的条件经常用“方位角”和“距离”表示，这时用直角坐标刻画点的位置就不方便。因此需要建立一种以“角度”和“距离”为参照的坐标系，即极坐标系。

【教学目标】

知识与技能：理解极坐标的概念,掌握极坐标和直角坐标的互化关系式

过程与方法：能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，体会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别. 情感、态度与价值观：通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。

【教学重点、难点、疑点】

教学重点：理解极坐标的意义,对极坐标和直角坐标的互化关系式的理解

教学难点：能够在极坐标系中用极坐标确定点位置,互化关系式的掌握

教学疑点：ρ<0时点与极坐标的关系，广义极坐标与狭义极坐标

【教学过程】

教学设计

情境引入：

1、

多媒体展示《弹道无痕》视频片段

2、

生活片段：问路

问题1：怎样简便地表示上述问题中点的位置呢？

问题2：如何刻画这些点的位置？

设计意图

通过影视剧情境的引入，使学生产生了对角度和距离描述位置的直观感受

问题1的引出，激发学生的求知欲望和学习兴趣

让学生思考讨论问题2，直接进入新课，把课堂交给学生。

师生互动

学生——思考、讨论

老师——加以引导与启发

学生——归纳与总结，鼓励学生用自己的语言表述，从而提高学生的表达能力与数学语言的组织能力

讲解新课：

为了引出古典概型的概念，设老师——引导学生思考问题1

从情镜2中探索出：在生活中人们经常用方向和距离来表示一点的位置。这种用方向和距离表示平面上一点的位置的思想，就是极坐标的基本思想。

1、极坐标系的建立：

在平面上取一个定点O，自点O引一条射线OX，同时确定一个单位长度和计算角度的正方向（通常取逆时针方向为正方向），这样就建立了一个极坐标系。（其中O称为极点，射线OX称为极轴。）

强调:极点、极轴、长度单位、角度单位和它的方向构成极坐标系的四要素，缺一不可。极坐标系就是用长度和角度来确定平面内点的位置

问题3：直角坐标系与极坐标系有什么共同点和不同点？

2、极坐标系内一点的极坐标的规定

计了练习。通过列举生活中的例全面，对出现的新变量的范子，刻画点位置还可以通过角度和围进行深入的思考

距离，唯一描述。直角坐标系与极坐标系有什么共同点？”，通过问题3的思考和解决让学生体验由特殊到一般的数学思想方法的应用，从而引出概念，并对概念有一个深入了解。

出现的新变量ρ和θ的名称做出介绍，并对他们的范围进行界定。

此处埋下伏笔，如果ρ＜0呢？为后面广义极坐标概念做出铺垫。

学生——积极思考，讨论，组织语言，使用数学语言描述概念，锻炼学生的总结能力和语言表达力

老师——引导学生找出共性。

对于平面上任意一点M，用表示线段OM的长度，用表示从Ox到OM的角度，叫做点M的

，叫做点M的 ，有序数对(,)就叫做M的 . 强调:一般地，不作特殊说明时，我们认为ρ≥0，θ可取任意实数．特别地，当点M在极点时，它的极坐标为(0，θ)，θ可以取任意实数．

2

三．典型例题

例1 写出下图中各点的极坐标

A（ ）B（ ）C（ ）

D（ ）E（ ）F（ ）G（ ）

了解极坐标系的概念之后，就老师——提出问题

要引领学生探究概念。为了突破这学生——思考讨论

个重点我设计了3个环节

首先，设计直接使用概念，使老师——引导学生

老师与学生——共同讨论，学生有目的的去寻找答案，有效的利用极坐标系的概念得到结利用课堂时间，达到教学目标。

其次，总结思考过程以及在过程中，容易发生的问题

多媒体引入课堂为学生提供了广阔的空间，通过直观感受，使

【反思感悟】

(1)写点的极坐标要注意顺序：极径ρ在前，极角θ在后，不能把顺序搞错了．

①

平面上一点的极坐标是否唯一？若不唯一，那有多少种表示方法？

③坐标不唯一是由谁引起的？不同的极坐标是否可以写出统一表达式

强调：点与极坐标的关系：一般地，极坐标(ρ，θ)与____________________表示同一个点．特别地，极点O的坐标为(0，θ)(θ∈R)．和点的直角坐标的唯一性不同，平面内一个

点的极坐标有无数种表示．

思考：

极坐标系所在平面内的点与极坐标是否能建立一一对应关系？

提示

建立极坐标系后，给定(ρ，θ)，就可以在平面内唯一确定一点M；反过来，给定平面内一点M，它的极坐标却不是唯一的．所以极坐标系所在平面内的点与极坐标不能建立一一对应关系，

论

学生——推导出不同点的极坐标统一的形式

学生对规律的总结快速而准确。

最后，通过反思感悟，思考体会提出平面上的点唯一吗

？不同的点的极坐标形式如何统一等问题，逐步使学生感受由特殊性演变到一般性，最终得出结论。过程自然而有序，让学生体验到认知的自然升华，感受数学美妙的意境。

极坐标表示点的唯一性

3

这是极坐标系与平面直角坐标系的主要区别．

变式训练 在极坐标系里描出下列各点

A（3，0） B（6，2）C（3，（5，

）D

245）E（3，）F（4，）G

36

5（6，

3

例2

在极坐标系中，已知M的极坐标为

（，）且=，R，说明满足上3

述条件的点M 的位置。

4

5

探究：如果ρ<0,极坐标还有意义吗？

（1）

关于θ和ρ的正负

极角θ的始边是极轴，取逆时针的方向为正，顺时针的方向为负，θ的值一般是以弧度为单位

（2）ρ>0,坐标（ρ θ）的点M在极角θ的终边上，|OM|=ρ；ρ<0时，坐标（ρ

θ）的点在M极角θ的终边的反向延长线上，|OM|=-ρ

Ⅱ 狭义极坐标和广义极坐标

当0≤ρ<+∞,0≤θ<2π时，把（ρ θ）叫做M的狭义极坐标。这时除极点外，平面上的点与有序实数对（ρ θ）（ρ≠0）是一一对应的。

当-∞＜ρ＜＋∞，-∞＜θ＜＋∞时，把(ρ θ)叫做点M的广义极坐标，在广义极坐标

6

下，平面上的点与它的坐标是一多对应。

Ⅲ特殊位置的点的极坐标

极点的极坐标 （0 θ） （θ∈R）

极轴上的点的极坐标 （ρ 0） （ρ>0）

极轴反向延长线上点的极坐标 （ρ π）

（ρ＞0）

极垂线（过极点且垂直于极轴的直线）上的点的极坐标

（ρ

π

2）

（ρ π） （ρ>0）

32Ⅳ点的极坐标的多值性

非极点M的坐标有无限多个

如果（ρ0 θ0）是点M的一个极坐标，那么，（ρ0 θ0+2kπ）及（-ρ0.

θ0+（2k+1）π）（k∈Z）都是点M的坐标此两式子可以统一的写成以下形式

【（-1）kρ0，θ0+kπ】（K∈

7

Z）的形式

思考：课本第十页的思考

例3 例4

8

9

4 例2单选题是标准化考试中常用的题型，一般是从A、B、C、D四个选项中选择一个正确答案。如果考生掌握了考察内容，他可以选择唯一正确的答案。假这节课的难点就是古典概型的判断，对例2 的分析是突破难点的契机，引导学生分析例2是否满足古典概型的两个基本特征有老师——给出题目，引导学生思考是否满足古典概型的特征？

学生——思考、讨论、交流，设考生不会做，他随机的选择一个答案，限性与等可能性，由此掌握求此类说出看法

问他答对的概率是多少？

思考：假设有20道单选题，如果有一个考生答对了17道，他是随机的可能性大还是他掌握了一定的知识的可能性大？

探究：在标准化的考试中既有单选题又有多选题，多选题是从A、B、C、D四个选项中选择所有正确答案，同学们有一种感觉，如果不知道正确答案多选题更难猜对，这是为什么？

题目的方法，让学生进一步理解古老师——对学生的回答进行典概型的概率计算公式，体验概率归纳与总结

与实际生活是息息相关的

思考与探究题的设计，让学生学生——根据已学知识回答

感受到数学模型的生活化，能用所

学知识解决新问题是数学学习的

主旨。当学生用自己的知识解决问

题后，会有极大的成就感，提高了学习兴趣，体验了数学学习的真谛。

老师——引导学生列举15种可能出现的答案，判断是否满足古典概型的特征，利用

10

概率公式求值。

5例3、同时掷两个骰子，计算

（1）

一共有多少种不同的结果？

（2）

其中向上的点数之和为5的结果有多少？

（3）

向上的点数之和为5的概率是多少？

例3也是对古典概型判断的深化。学生——自做自评，在讨论首先，让学生列举所有不同的结中得出正确答案。

果，可以预计学生的列举不一定是老师——注意观察，及时评完整的36种结果。其次，让列举对的同学帮助列举不对的同学找出问题，并解决问题。最后，让学生自己总结出解决这类问题应注意什么

价。

6、小结古典概型的解题方法与步骤：

①

判定是否属于古典概型；

②

求出基本事件，求出概率。

通过学生对本节内容的回顾与小结，使知识系统化，培养学生学生——回顾与思考，小组讨论，每组派一名代表陈述的逻辑思维能力，找出自己不清楚观点。

的知识点，通过及时的反馈信息为老师——给出恰当的评价，下节课的教学做好准备。

做出总结。

课后作业自主完成

7作业布置：

(1)阅读本节教材内容

作业分为三种形式,体现作业的巩固性和发展性原则,阅读作业(2)书面作业:

书127页习题3.2

中的问题思考是后续课堂的铺垫

,1,2,3 (3)弹性作业:

口袋里有2个白球和2个黑球,这4个球除颜色外完全相同,4个人按顺序依次从中摸出一球,试计算第二个人摸到白球的概率?

而弹性作业不作统一要求,供学有余力的学生课后研究.同时,它也是新课标里研究性学习的一部分.

一、复习引入：

情境1：如图为某校园的平面示意图，假设某同学在教学楼处。

（1）他向东偏60°方向走120M后到达什么位置？该位置惟一确

定吗？

（2）如果有人打听体育馆和办公楼的位置，他应如何描述？

问题1：为了简便地表示上述问题中点的位置，应创建怎样的坐标系呢？

问题2：如何刻画这些点的位置？

这一思考，能让学生结合自己熟悉的背景，体会在某些情况下用距离与角度来刻画点的位置的方便性，为引入极坐标提供思维基础．

二、讲解新课： 从情镜2中探索出：在生活中人们经常用方向和距离来表示一点的位置。

11

这种用方向和距离表示平面上一点的位置的思想，就是极坐标的基本思想。

1、极坐标系的建立：

在平面上取一个定点O，自点O引一条射线OX，同时确定一个单位长度和计算角度的正方向（通常取逆时针方向为正方向），这样就建立了一个极坐标系。（其中O称为极点，射线OX称为极轴。）

强调:极点、极轴、长度单位、角度单位和它的方向构成极坐标系的四要素，缺一不可。极坐标系就是用长度和角度来确定平面内点的位置

2、极坐标系内一点的极坐标的规定

对于平面上任意一点M，用表示线段OM的长度，用表示从Ox到OM的角度，叫做点M的 ，叫做点M的 ，有序数对(,)就叫做M的 . 强调:一般地，不作特殊说明时，我们认为ρ≥0，θ可取任意实数．特别地，当点M在极点时，它的极坐标为(0，θ)，θ可以取任意实数．

三．典型例题

例1 写出下图中各点的极坐标

A（ ）B（ ）C（ ）

D（ ）E（ ）F（ ）G（ ）

【反思感悟】

(1)写点的极坐标要注意顺序：极径ρ在前，极角θ在后，不能把顺序搞错了．

②

平面上一点的极坐标是否唯一？若不唯一，那有多少种表示方法？

③坐标不唯一是由谁引起的？不同的极坐标是否可以写出统一表达式

强调：点与极坐标的关系：一般地，极坐标(ρ，θ)与____________________表示同一个点．特别地，极点O的坐标为(0，θ)(θ∈R)．和点的直角坐标的唯一性不同，平面内一个

点的极坐标有无数种表示．

思考：

极坐标系所在平面内的点与极坐标是否能建立一一对应关系？

提示

建立极坐标系后，给定(ρ，θ)，就可以在平面内唯一确定一点M；反过来，给定平面内一点M，它的极坐标却不是唯一的．所以极坐标系所在平面内的点与极坐标不能建立一一对应关系，这是极坐标系与平面直角坐标系的主要区别．

变式训练 在极坐标系里描出下列各点

455）D（5，）E（3，）F（4，）G（6，

2363例2

在极坐标系中，已知M的极坐标为（，）且=，R，说明满足上述条件的点M 的位置。

3A（3，0） B（6，2）C（3，三、巩固与练习

1、若ABC的的三个顶点为A(5,557),B(8,),C(3,),判断三角形的形状.

2662、若A、B两点的极坐标为(1,1),(2,2)求AB的长以及AOB的面积。（O为极点）

例3

已知Q（，），分别按下列条件求出点P 的极坐标。

（1）

P是点Q关于极点O的对称点；

（2）

P是点Q关于直线2的对称点；

（3）

P是点Q关于极轴的对称点。

四、小 结：

12

1．

极坐标系和点的极坐标

极点、极轴、长度单位、角度单位和它的方向构成极坐标系的四要素，缺一不可。规定：当点M在极点时，它的极坐标0,可以取任意值。

2．

平面直角坐标与极坐标的区别

在平面直角坐标系内，点与有序实数对（x，y）是一一对应的，可是在极坐标系中，虽然一个有序实数对(,)只能与一个点P对应，但一个点P却可以与无数多个有序实数对对应(,)，极坐标系中的点与有序实数对极坐标(,)不是一一对应的。

3．

极坐标系中，点M(,)的极坐标统一表达式(,2k),kZ。

4．

如果规定0,02，那么除极点外，平面内的点可用唯一的极坐标(,)表示，同时，极坐标(,)表示的点也是唯一确定的。

五、课后作业：

13