1.3 曲线的极坐标方程教学目标设计

1.3曲线的极坐标方程

一、内容与解析

（一）内容：简单曲线的极坐标方程。

（二）解析：本节课要学的内容简单曲线的极坐标方程指的是圆的极坐标方程、直线的极坐标方程，其核心是直角坐标方程与极坐标方程的互化，理解它关键就是从本质上理解直角坐标与极坐标互化公式。学生已经学过极坐标以及直角坐标与极坐标互化公式，本节课的内容简单曲线的极坐标方程就是在此基础上的发展。由于它还与后面的参数方程有密切的联系，所以在本章有重要的地位，是本学科的重要内容。教学的重点是极坐标系下圆、直线的方程的推导，解决重点的关键是引导学生理解坐标互化公式，从而掌握曲线直角坐标方程与极坐标方程转化方法。

二、目标及其解析

1、掌握在级坐标系下简单图形的方程; 2、掌握在极坐标下简单图形的方程就是指能给出过极点的直线、圆心在极点或过极点的圆的方程; 三、问题诊断分析

在本节课的教学中，学生可能遇到的问题是在级坐标系对直线、圆的方程的指导，产生这一问题的原因是学生在极坐标下不能熟练地找出极径与极角之间的关系式，要解决这一问题，就要引导学生如何分析曲线上所有的点这两者之间存在什么几何关系。

【教学过程】

1、极坐标方程的定义：在极坐标系中，如果平面曲线C上任一点的极坐标中至少有一个满足方程f(,)0，并且坐标适合方程f(,)0的点都在曲线C上，那么方程f(,)0叫做曲线C的极坐标方程。

1．

直线与圆的极坐标方程

O ①

过极点，与极轴成角的直线x 极坐标议程为(R)或tantan

②以极点为圆心半径等于r的圆的

极坐标方程为

r

【知识迷航指南】

例1求（1）过点A(2,（2）过点A(3,4)平行于极轴的直线。

3角的直线。

43)且和极轴成解（1）如图，在直线l上任取一点M(,)，因为A(2,在直角三角形MOH中|MH|=|OM|sin即sin为sin4)，所以|MH|=2sin42

所以过点A(2,)平行于极轴的直线2，42。

（2）如图

，设M(,)为直线l上一点。

A(3,3)，

OA=3，AOB

35735由已知MBx3

，所以OAB，所以OAM

43121212433又OMAMBx



在∆MOA中，根据正弦定理得

374sin(4)sin12又sin3762333

将sin()展开化简可得(sincos)sin()

41243422

3333所以过A(3,)且和极轴成角的直线为：(sincos)

4322〔点评〕求曲线方程，关键是找出曲线上点满足的几何条件。将它用坐标表示。再通过代数变换进行化简。

例2（1）求以C(4,0)为圆心，半径等于4的圆的极坐标方程。（2）从极点O作圆C的弦ON，求ON的中点M的轨迹方程。

解：（1）设p(,)为圆C上任意一点。圆C交极轴于另一点A。由已知

OA=8 在直角∆AOD中ODOAcos，即

8cos，

这就是圆C的方程。

（2）由rOC4。连接CM。因为M为弦ON的中点。所以CMON，故M在以OC为直径的圆上。所以，动点M的轨迹方程是：4cos。

〔点评〕

在直角坐标系中，求曲线的轨迹方程的方法有直译法，定义法，动点转移法。在极坐标中。求曲线的极坐标方程这几种方法仍然是适用的。例2中（1）为直译法，（2）为定义法。此外（2）还可以用动点转移法。请同学们尝试用转移法重解之。

例3 将下列各题进行直角坐标方程与极坐标方程的互化。

（1）y24x

（2）3

（3）cos221

（4）2cos24

解：（1）将xcos,ysin代入y24x得(sin)24cos化简得

sin24sin

yy

∴

tan3

化简得：y3x(x0)

x3x1cos（3）∵cos21

∴

1。即cos2

所以

22（2）∵tan化简得

y24(x1)。

（4）由2cos24

即2(cos2sin2)4

所以

x2y24

〔点评〕 （1）注意直角坐标方程与极坐标方程互化的前提。

（2）由直角坐标求极坐标时，理论上不是唯一的，但这里约定0,02

（3）由极坐标方程化为极坐标方程时，要注意等价性。如本例（2）中。由于

一般约定0.故〔解题能力测试〕

1 判断点(x2y2x2。

3表示射线。若将题目改为3(R)

则方程化为：y3x

15,)是否在曲线cos上。

2322．将下列各题进行直角坐标方程与极坐标方程的互化。

（1）y2x22x10；

（2）1。

2cos

3．下列方程各表示什么曲线？

（1）ya：

。

（2）a：

。

（3）：

。

〔潜能强化训练〕

１

极坐标方程分别是cos和sin的两个圆的圆心距是（

）

Ａ

２

Ｂ

2

Ｃ

１

Ｄ

2

2(R)的对称的点的坐标为

（

）

6211A

(3,0)

B

(3,)

C

(3,)

D

(3,)

236２

在极坐标系中，点(3,2)关于

3在极坐标系中，过点(3,A cos3)且垂直于极轴的直线方程为（

）

3333

B sin

C cos

D sin

22224 极坐标方程

cos2(0)

表示的曲线是

（

）

2A 余弦曲线

B 两条相交直线

C 一条射线

D

两条射线

5 已知直线的极坐标方程为

sin(4)2，则极点到该直线的距离是：

。

26 圆2(cossin)的圆心坐标是：

。

7 从原点O引直线交直线2x4y10于点M，P为OM上一点，已知ODOM1。

求P点的轨迹并将其化为极坐标方程。

〔知识要点归纳〕

1 直线，射线的极坐标方程。

2 圆的极坐标方程

三、简单曲线的极坐标方程

〔解题能力测试〕

1、在 2、（1）2cos102(2)3x24y22x10

3、（1）在直角坐标下，平行于X轴的直线。（2）在极坐标下，表示圆心在极点半径为a的圆。（3）在极坐标下，表示过极点倾斜角为α的射线。

〔潜能强化训练〕

1、D 2、D 3、A 4、D 5、226.(1,)

47、以O为极点，x轴正方向为极轴建立极坐标系，直线方程化为2cos4sin10，00知设M(0,0).P(,)则20cos040sin010又1

100代入得：21cos41sin10,2cos4sin