本章小结课件配套优秀公开课教案设计

《极坐标系》 教学目标：

1．掌握极坐标系和极坐标的相关概念；

2．会进行极坐标和直角坐标的相互转化；

3．会进行曲线的极坐标方程的相关计算和应用；

4．培养学生的知识水平和应用能力，提高学生学习兴趣。

教学重点：

1.极坐标系和极坐标的概念

教学难点：

1.

极坐标和直角坐标的相互转化；

2.

曲线的极坐标方程的综合应用。

教学准备：视频，课件，教案和多媒体。

教学过程：

一．导入：播放视频。

二．极坐标系的概念

(1)极坐标系如图所示，在平面内取一个_____O，叫做极点；自极点O引一条_____Ox，叫做极轴；再选定一个_________、一个_________ (通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系．

(2)极坐标

①极径：设M是平面内一点，极点O与点M的距离|OM|叫做点M的极径，记为ρ. ②极角：以极轴Ox为始边，射线OM为终边的角xOM叫做点M的极角，记为θ. ③极坐标：有序数对(ρ，θ)叫做点M的极坐标，记作M(ρ，θ)．

一般地，不作特殊说明时，我们认为

，

可取任意实数。

和直角坐标不同，平面内一个点的极坐标有无数种表示，如果规定

，

，那么除极点外，平面内的点可用惟一的极坐标 ， 表示。

三．极坐标与直角坐标的互化

设M是平面内任意一点，它的直角坐标是(x，y)，极坐标是(ρ，θ)，则它们之间的关系为：

x＝______，y＝______；

tan θρ2＝______，＝________.

四.常见曲线的极坐标方程：

曲线

圆心在极点,半径为r的圆

图形

极坐标方程

ρ=r

(0≤θ<2π)

圆心为(r,0),半径为r的圆

ρ=2rcos θ

圆心为 ,半径为r的圆

ρ=2rsin θ

(0≤θ<π)

θ=α(ρ∈R)

和θ=π+α(ρ∈R)

过极点,倾斜角为α的直线

过点(a,0)(a>0),与极轴垂直的直线

ρcos θ=a

过点(a>0),与极轴平行的直线

ρsin θ=a

(0<θ<π)

五．思考题：

1.

将点

的直角坐标

化成极坐标

.

2.

求极坐标分别为 ，

、 ，

和 ，

π2π3.(1) 在极坐标系中A2，－，B4，两点间的距离为________. 33解析：法一：(数形结合)在极坐标系中，A，B两点如图所示，|AB|＝|OA|＋|OB|＝6．

π2π法二：A2，－，B4，的直角坐标为A(1，－3)，33

的

三点的位置关系。

B(－2,23)．

∴|AB|＝答案：6 (2) 在极坐标系中A

，B

两点间的距离为________. (3)已知

两点的极坐标分别是 ，

， ， 的面积。

－2－2＋3＋32＝36＝6．

，求

两点间的距离和

六．方法总结：

1．极坐标与直角坐标互化公式的3个前提条件

(1)取直角坐标系的原点为极点．

(2)以x轴的非负半轴为极轴．

(3)两种坐标系规定相同的长度单位．

2.若把直角坐标化为极坐标,求极角θ时,应注意判断点P所在的象限,以便正确地求出角θ. 3.将点的极坐标(ρ，θ)化为点的直角坐标(x，y)时，运用到求角

的正弦值和

余弦值，熟练掌握特殊角的三角函数值，灵活运用三角恒等变换公式是关键。

七．例题示范：

例：(2017·邯郸调研)在极坐标系下，已知圆O：ρ＝cos θ＋sin θ和直线l：π2ρsinθ－＝(ρ≥0,0≤θ＜2π)．

42(1)求圆O和直线l的直角坐标方程；

(2)当θ∈(0，π)时，求直线l与圆O的公共点的极坐标．

解：(1)圆O：ρ＝cos θ＋sin θ，即ρ2＝ρcos θ＋ρsin θ，

故圆O的直角坐标方程为：x2＋y2－x－y＝0，

π2直线l：ρsinθ－＝，即ρsin θ－ρcos θ＝1，

42则直线l的直角坐标方程为：x－y＋1＝0．

(2)由(1)知圆O与直线l的直角坐标方程，

x＋y－x－y＝0，将两方程联立得x－y＋1＝0，标系下的公共点为(0,1)，

π将(0,1)转化为极坐标为1，，即为所求．

2例题总结：

极坐标与直角坐标互化的策略

(1)直角坐标方程化为极坐标方程，只要运用公式x＝ρcos θ及y＝ρsin θ直接代入并化简即可；

(2)极坐标方程化为直角坐标方程时常通过变形，构造形如ρcos θ，ρsin θ，ρ2的形式，进行整体代换．

八：即时练习：

练习1：

π已知圆O1和圆O2的极坐标方程分别为ρ＝2，ρ2－22ρ·cosθ－＝2．

4(1)把圆O1和圆O2的极坐标方程化为直角坐标方程；

(2)求经过两圆交点的直线的极坐标方程．

解：(1)由ρ＝2知ρ2＝4，所以x2＋y2＝4；

22

x＝0，解得y＝1，

即圆O与直线l在直角坐

π2因为ρ－22ρcosθ－＝2，

4ππ所以ρ2－22ρcos θcos＋sin θsin＝2，

44所以x2＋y2－2x－2y－2＝0．

(2)将两圆的直角坐标方程相减，

得经过两圆交点的直线方程为x＋y＝1．

化为极坐标方程为ρcos θ＋ρsin θ＝1，

π2即ρsinθ＋＝．

42

练习2：

(2015·全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy中，直线C1：x＝－2，圆C2：(x－1)2＋(y－2)2＝1，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．

(1)求C1，C2的极坐标方程； π(2)若直线C3的极坐标方程为θ＝(ρ∈R)，设C2与C3的交点为M，N，求△C2MN4的面积．

解：(1)因为x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，所以C1的极坐标方程为

ρcos θ＝－2，C2的极坐标方程为ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0．

π(2)将θ＝代入ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0，得

4ρ2－32ρ＋4＝0，解得ρ1＝22，ρ2＝2．

故ρ1－ρ2＝2，即|MN|＝2．

1由于C2的半径为1，所以△C2MN的面积为．

2

九．课堂小结：

1：极坐标系和极坐标的相关概念；

2：极坐标和直角坐标的互相转化；

3：曲线的极坐标方程的综合应用（直线和圆的相交问题）。

十．作业：

1：极课作业；

2：小卷练透。