1.2.1 平面上点的极坐标系优质课教案内容

极坐标系

[学习目标] 1.理解极坐标系的概念，会用极坐标刻画点的位置；

2.掌握极坐标与直角坐标的互化；

3.掌握极坐标系的简单应用. [重点和难点] 重点:极坐标与直角坐标的互化; 难点:极坐标系的应用

[情境导入]

问题情境----天气预报

中央气象台2017年10月14日08时25分发布台风黄色预警：

今年第20号台风“卡努”（强热带风暴级）的中心今天（14号）上午8点钟位于深圳东南方约733公里的海面上,就是北纬17.3度、东经118.3度. 探讨：报道中是如何刻画台风中心的位置? [新知探究] 探究一：极坐标系的建立和点的极坐标

问题1:如何建立一个合适的极坐标系? 在平面内取一个定点O,自点O引一条射线Ox.再选定一个

长度单位和角度单位及角的正方向(通常取 方向)这样

就建立了一个极坐标系. 其中定点O叫做 ,射线Ox叫做 . O

x

极坐标系的四要素:(1) ,(2) ,(3) ,(4) . 问题2:如何用极坐标表示平面内一点? 设M是平面内一点，极点O与点M的

距离|OM|叫做点M的 ，记为ρ；

以极轴Ox为始边，射线OM为终边的

角xOM叫做点M的 ，记为θ；

有序数对 叫做点M的极坐标，记为 .一般地，ρ≥0，θ∈R. 例1：写出下图中各点的极坐标. 极点的极坐标是 . 变式：在图上描出下列各点. 35M(4，3)，N(3，)，P(5，).23

感悟:由极坐标描点的步骤

(1) (2)

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探究二:点的极坐标的表达式

想一想：在极坐标系中描出下列各点, 它们有什么关系? 4,,4,+2,4,+4,4,-21.这些极坐标之间有何异同？

6666

2.这些极角有何关系？

(一)极坐标与直角坐标在刻画点的位置时的区别

1).在直角坐标系下：

平面内的点 直角坐标（x,y）

2).极坐标系下：

(1)给定(ρ,θ),就可以在极坐标平面内确定 . (2)给定平面上一点M,但却有无数个极坐标 与之对应. (原因在于: ) 思考:在极坐标系中,点和极坐标是否也能一一对应呢？如何实现呢？

感悟:如果规定 则除 外,平面内的点和极坐标就可以 了. (二)关于负极径的认识

在一般情况下,极径都是取正值,但在某些必要的情况下,也允许取

负值(ρ<0)当ρ<0时,规定：

点M(ρ,θ)的位置在角θ终边 , 且|OM|= . M(,)

例2:在极坐标系中描出下列各点

A(-4，)

45

B(-5，)6



O

2x

45

C(-3，)

3O

x

感悟:点(ρ,θ)和点(-ρ,θ)关于 . 4353极坐标系中(,),(,+2kπ),(-,+(2k+1)π)表示 . 探究三：极坐标和直角坐标的互化

1、要实现这个转化,需要什么前提条件?

2、同一点的极坐标与直角坐标如何互化? 设点M的直角坐标是 (x, y)极坐标是 (ρ,θ) 则互化公式为：

;



y

M

ρ



O

x

y

x

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例3:(1)将点M的极坐标(5,2)化成直角坐标; 3(2)将点M的直角坐标(-3,-1)化成极坐标.

变式训练

1、已知点的极坐标分别为(3,),(2,423),(4,),(,)求它们的直角坐标. 32257),(,0),(2,23)求它们的极坐标. 322、已知点的直角坐标分别为(3,3),(0,

探究四：极坐标的应用

例4:在极坐标系中A(3,3),B(4,6),求AB,SAOB(其中O是极点).

感悟:

1、极坐标系中求两点间的距离,有两种途径: （1） （2） A(ρ1,θ1)

x

B(ρ2,θ2)

2、一般地,设A(1,1),B(2,2),由余弦定理可得到两点间的距离公式|AB|＝3、三角形AOB的面积公式

S△AOB=变式训练

O

在直角坐标系中,已知P(23,2),Q(4,4),R(6,0),

求△PQR的面积.

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[课堂检测]

1.已知点P(1,3),Q(1,4),则点P和点Q的关系是3.

2.点M的直角坐标为(3,1),化为极坐标是3.极坐标系中点,A(5,2)关于极轴的对称点的直角坐标是3.

.

4.在极坐标系中,△ABC的三个顶点的极坐标分别为A(2,C(2,

3),B(2,),5),则三角形的形状是3.

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