本章小结课堂实录【3】

极坐标方程与参数方程的综合应用

x＝3cos θ，1．(2016·广州市二模)在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为

(θy＝sin θ为参数)．以点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρsin(θ＋π)＝2. 4(1)将曲线C和直线l化为直角坐标方程；

(2)设点Q是曲线C上的一个动点，求它到直线l的距离的最大值．

x＝3cos θ，x22

(1)由

得＋y＝1，

3y＝sin θ，

x22所以曲线C的直角坐标方程为＋y＝1.

3πππ由ρsin(θ＋)＝2，得ρ(sin θcos＋cos θsin)＝2，

444化简得，ρsin θ＋ρcos θ＝2，所以x＋y＝2. 所以直线l的直角坐标方程为x＋y＝2.

(2)(方法一)由于点Q是曲线C上的点，则可设点Q的坐标为(3cos θ，sin θ)，

点Q到直线l的距离为

π|2cosθ－－2|6|3cos θ＋sin θ－2|d＝

＝. 22π4

当cos(θ－)＝－1时，dmax＝＝22.

62

所以点Q到直线l的距离的最大值为22.

(方法二)设与直线l平行的直线l′的方程为x＋y＝m，

x＋y＝m，2

由x

消去y得4x2－6mx＋3m2－3＝0，

23＋y＝1，

令Δ＝(6m)2－4×4×(3m2－3)＝0，解得m＝±2.

所以直线l′的方程为x＋y＝－2，即x＋y＋2＝0. |2＋2|

所以两条平行直线l与l′之间的距离为d＝＝22. 2所以点Q到直线l的距离的最大值为22. 2．(2014·新课标卷Ⅱ) 在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建π立极坐标系，半圆C的极坐标方程为ρ＝2cos θ，θ∈[0，]．

2(1)求C的参数方程；

(2)设点D在C上，C在D处的切线与直线l：y＝3x＋2垂直，根据(1)中你得到的参数方程，确定D的坐标．

(1)C的普通方程为(x－1)2＋y2＝1(0≤y≤1)．

可得C的参数方程为

x＝1＋cos t，

(t为参数，0≤t≤π)．

y＝sin t(2)设D(1＋cos t，sin t)，由(1)知C是以G(1,0)为圆心，1为半径的上半圆．

因为C在点D处的切线与l垂直，所以直线GD与l的斜率相同，

π则tan t＝3，t＝. 3

ππ33故D的直角坐标为(1＋cos ，sin )，即(，)．

33221x＝1＋t，2x＝cos θ，3．已知直线l：(t为参数)，曲线C1：(θ为参数)．

y＝sin θ3y＝t2

(1)设l与C1相交于A，B两点，求|AB|；

13(2)若把曲线C1上各点的横坐标压缩为原来的，纵坐标压缩为原来的，得到曲线C2，22设点P是曲线C2上的一个动点，求它到直线l的距离的最小值．

(1)l的普通方程为y＝3(x－1)，

C1的普通方程为x2＋y2＝1. y＝3x－1，联立方程组22

x＋y＝1，13解得A(1,0)，B(，－)，所以|AB|＝1. 221x＝cos θ，2(2)C2的参数方程为(θ为参数)，

3y＝sin θ2



13故点P的坐标为(cos θ，sin θ)，

22从而P到直线l的距离是

33|cos θ－sin θ－3|223πd＝＝[2sin(θ－)＋2]．

244π6由此可知当sin(θ－)＝－1时，d取得最小值，且最小值为(2－1)．

44x＝2＋t，4．(2017·新课标卷Ⅲ)在直角坐标系xOy中，直线l1的参数方程为(t为参数)，y＝kt，

x＝－2＋m，直线l2的参数方程为m(m为参数)．设l1与l2的交点为P，当k变化时，P的y＝，k轨迹为曲线C. (1)写出C的普通方程；

(2)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，设l3：ρ(cos θ＋sin θ)－2＝0，M为l3与C的交点，求M的极径．

(1)消去参数t得l1的普通方程l1：y＝k(x－2)；

1消去参数m得l2的普通方程l2：y＝(x＋2)．

ky＝kx－2，设P(x，y)，由题设得1

y＝x＋2.k消去k得x2－y2＝4(y≠0)．

所以C的普通方程为x2－y2＝4(y≠0)．

(2)C的极坐标方程为ρ2(cos2θ－sin2θ)＝4(0＜θ＜2π，θ≠π)．

ρcosθ－sinθ＝4，联立得

ρcos θ＋sin θ－2＝0cos θ－sin θ＝2(cos θ＋sin θ)．

191故tan θ＝－，从而cos2θ＝，sin2θ＝. 31010代入ρ2(cos2θ－sin2θ)＝4得ρ2＝5，所以交点M的极径为5.

222

x＝m＋22t，5．(2017·福州市毕业班综合质量检测)已知直线l的参数方程为2y＝2t数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，椭圆C的极坐标方程为ρ2cos2θ＋3ρ2sin2θ＝12，其左焦点F在直线l上．

(1)若直线l与椭圆C交于A，B两点，求|FA|·|FB|的值；

(2)求椭圆C的内接矩形周长的最大值．

(1)将曲线C的极坐标方程ρ2cos2θ＋3ρ2sin2θ＝12化为直角坐标方程，

x2y2得＋＝1，则左焦点F(－22，0)，所以m＝－22，

124

(t为参x＝－2将直线l的参数方程2y＝2t2＋2t，2化简可得t2－2t－2＝0，

由直线l的参数方程的几何意义，

令|AF|＝|t1|，|BF|＝|t2|，

则|AF|·|BF|＝|t1t2|＝2. x2y2(2)由曲线C的方程＋＝1，可设曲线C上的任意一点P的坐标为(23cos θ，2sin 124πθ)(0<θ<)，

2则以P为顶点的内接矩形周长为

π4×(23cos θ＋2sin θ)＝16sin(θ＋)，

3π因此，当θ＝时，可得该内接矩形周长的最大值为16. 6

x2y2(t为参数)与曲线C的方程＋＝1联立，124x＝5＋23t，6．(2015·湖南卷)已知直线l：1y＝3＋t2

(t为参数)．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ＝2cos θ. (1)将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程；

(2)设点M的直角坐标为(5，3)，直线l与曲线C的交点为A，B，求|MA|·|MB|的值．

2

(1)ρ＝2cos

θ等价于ρ＝2ρcos

θ. 2将ρ＝x2＋y2，ρcos

θ＝x代入ρ2＝2ρcos

θ得曲线C的直角坐标方程为x2＋y2－2x＝0.

x＝5＋23t，(2)将1y＝3＋t2

(t为参数)代入x2＋y2－2x＝0，

得t2＋53t＋18＝0. 设这个方程的两个实根分别为t1，t2，则由参数t的几何意义知，|MA|·|MB|＝|t1t2|＝18.