复习题优秀教学设计

第三章

概率的进一步认识（复习题）

专题：概率中“有放回”与“无放回”模型的识别与处理

安徽省宿州市萧县思源实验学校 赵全英

一、学生知识状况分析

在七年级时，学生已经学习了不确定事件及其发生可能性的大小，并且掌握了求一些简单事件概率的知识，在本章前几节我们已经学习了借助树状图、列表法计算两步随机实验的概率.但是学生对等可能性事件的理解还有待于加强，尤其是在“有放回”与“无放回”模型的识别与处理方面。

要体会两步试验中“两步”之间的相互独立性，进而认识两步试验所有可能出现的结果及每种结果出现的等可能性；理解树状图和表格法各自的特点，并能根据不同情境选择适当的方法求比较复杂的事件发生的概率。通过两种求概率方法的选择使用，理解两种方法各自的特点，并能根据不同情境选择适当的方法。

本节重点引导学生复习与总结“有放回”与“无放回”模型的识别与处理对策。

二、教学任务分析

进一步经历用树状图、列表法计算随机实验的概率的过程，利用树状图或表格可以清晰地表示出某个事件发生的所有可能出现的结果;较方便地求出某些事件发生的概率.但在利用树状图和列表的方法求概率时,应注意各种结果出现的可能性必须相同.

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教学目标

1．知识与技能目标：

在“有放回”与“无放回”模型的识别与处理方面，经历利用树状图和列表法求概率的过程，在活动中进一步发展学生的合作交流意识及反思的习惯．

2．方法与过程目标：

本节课的任务是在本章知识讲完后，需要学生将知识系统化、条理化，进一步理解“有放回”与“无放回”模型的识别与处理，鼓励学生思维的多样性，提高应用所学知识解决问题的能力. 3.情感、态度与价值观：

通过复习与归纳“有放回”与“无放回”模型的识别与处理方法并应用的过程，鼓励学生思维的多样性，提高应用所学知识解决问题的能力. 教学重难点：

教学重点: 借助于树状图、列表法计算随机事件的概率，重点在归纳“有放回”与“无放回”模型的识别与处理方法，并熟练应用. 教学难点:掌握“有放回”与“无放回”模型的识别与处理方法，及在利用树状图或者列表法求两种模型概率时区别。

三、教学过程分析

本节课设计了五个教学环节.第一环节：问题引入，复习旧知；第二环节：例题讲解，给出两种模型的识别与处理方法；第三环节：

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课堂练习；第四环节：课堂小结；第五环节：作业布置。

第一环节：问题引入，复习旧知

活动内容：把本章知识习题化，从而引入新课. 活动目的：抽象问题具体化，引入新课，同时对全章的两类重点模型的识别与处理提供了铺垫. 活动过程：1.当一次试验涉及两步计算时，可能出现的结果数目较多且具有等可能性时，可采用_______法或_________ 法列出所有的结果，再根据P(A)= ______计算概率（其中n为所有事件发生的总次数，m为事件A发生的总次数）。 2. 当一次试验涉及两步计算时，可能会有两种模型，分别是“______ ”和“ ______”模型。 m答案：1.列表、画树状图、n

2. 有放回、无放回

活动效果：学生通过对本环节设计问题的解答，激活学生头脑中原有的知识. 第二环节：例题讲解

活动内容：

1.

你掌握了哪些求概率的方法? 活动目的：通过本环节的学习使学生的知识系统化条理化.实现知识目标，使学生系统地掌握本章所学的知识，建立有关概率知识的框架图. 活动过程：通过例题的学习，引导学生归纳“有放回”与“无放回”

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模型的识别与处理方法，同时安排练习，并对两类题型进行适时训练，在过程中可以提高学生的综合能力。

2.当一次试验涉及两步计算时，可能出现的结果数目较多且具有等可能性时，可采用列表法或画树状图法列出所有的结果，再根据P(A)=m（其中n为所有事件发生的总次数，m为事件A发生的总次n数）计算概率。但是，许多学生在列表或画树状图时，容易混淆“有放回”与“无放回”两类问题，导致经常出错，其实，这种题是有规律可循的：在两步摸球实验中，“有放回”模型：两次有可能摸到同一个球，即同一个球每次被摸到的概率是相同的。而“无放回”模型：两次不可能摸到同一个球，即同一个球每次被摸到的概率是不同的。

这两类问题该如何识别与处理呢?请看以下两个例题：

例1.（1）一个布袋里装有2个红球和3个黄球，这些球除颜色外都相同，随机摸出一个球后放回搅匀，再随机摸出一个球，求摸出的两球都是黄球的概率。

解析：本题为“有放回”问题，两次有可能摸到同一个球，即同一个球每次被摸到的概率是相同的。可以直接列表或画树状图来解决，如下表：

1 2 红1 红2

红1 红2 黄1 黄2 黄3 （红1，红1）

（红1，红2）

（红1，黄1）

（红1，黄2）

（红1，黄3）

（红2，红1）

（红2，红2）

（红2，黄1）

（红2，黄2）

（红2，黄3）

（黄1，红1）

（黄1，红2）

（黄1，黄1）

（黄1，黄2）

（黄1，黄3）

（黄2，红1）

（黄2，红2）

（黄2，黄1）

（黄2，黄2）

（黄2，黄3）

（黄3，红1）

（黄3，红2）

（黄3，黄1）

（黄3，黄2）

（黄3，黄3）

黄1 黄2 黄3

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这种数据较多时，一般采取列表说明，较为简洁。也可以画树状图来说明，但相对会繁琐些，如下图：共有25种等可能的结果，其中，都是黄球的有9种，

∴P（摸出的两球都是黄球）=9

25（2）两个布袋里各装有2个红球和3个黄球，这些球除颜色外都相同，从两个袋里分别随机各摸出一个球，求摸出的两球都是黄球的概率。

解析：从两个袋里分别随机各摸出一个球，等同于从一个袋里，随机摸出一个球后放回搅匀，再随机摸出一个球的情况，为“有放回”模型，因此，解法与（1）完全一样，结果也一样。

共有25种等可能的结果，其中，都是黄球的有9种，

∴P（摸出的两球都是黄球）=9

25例2.一个布袋里装有2个红球和3个黄球，这些球除颜色外都相同，（1）随机摸出一个球后不放回，再随机摸出一个球，求摸出的两球

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都是黄球的概率。

解析：随机摸出一个球后“不放回”，再随机摸出一个球，所以，两次不可能摸到同一个球，即每次摸到同一个球的概率是不同的。

因此，在列表格时，必须除去对角线位置上的五个数据，如下表：

1 2 红1 红2 黄1 黄2 黄3 红1 红2 黄1 黄2 黄3 -------- （红1，红2）

（红1，黄1）

（红1，黄2）

（红1，黄3）

（红2，红1）

-------- （红2，黄1）

（红2，黄2）

（红2，黄3）

（黄1，黄2）

（黄1，黄3）

（黄2，黄3）

（黄1，红1）

（黄1，红2）

-------- （黄2，红1）

（黄2，红2）

（黄2，黄1）

-------- （黄3，红1）

（黄3，红2）

（黄3，黄1）

（黄3，黄2）

-------- 类似地，画树状图时，第一层有5个分支，而第二层每个分支只能有4个分支，如下图：

共有20种等可能的结果，其中，都是黄球的有6种，

∴P（摸出的两球都是黄球）=36=

2010（2）小明随机一次性从袋中摸出两个球，求摸出的两球都是黄球的概率。

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解析：小明随机一次性从袋中摸出两个球，等同于“不放回”，故概率与（1）相同。

∴P（摸出的两球都是黄球）=3

10（3）小明、小华同时从袋中随机各摸出一个球，求摸出的两球都是黄球的概率。

解析：小明、小华同时从袋中随机各摸出一个球，与小明从袋中一次性摸出两个球一样，都等同于“不放回”，故也与概率与（1）相同。

∴P（摸出的两球都是黄球）=3

10因此，在解决两步实验时，只要弄清是“有放回”，还是“无放回”问题，正确地列出表格或画出树状图、汇总数据、正确计算后，问题便能迎刃而解。而例1中的（1）、（2）为两种不同形式的“有放回”问题，例2中的（1）、（2）、（3）属于三种不同形式的“无放回”问题。

第三环节：课堂练习(多媒体演示) P72-73 1.(1)连掷两枚骰子,它们点数相同的概率是多少? (2)转动如图所示的转盘两次,两次所得

颜色相同的概率是多少? (3)利用计算器产生1~6的随机数(整数),连续两次随机数相同的概率是多少? (4)小明认为上面几个问题本质上是相同的，你同意吗？

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解析：（1）连掷两枚骰子，相当于把一枚骰子连掷两次，两个事件是相互独立的，互补干涉，如下图：

第2次

第1次

1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 （1,1）

（1,2）

（1,3）

（1,4）

（1,5）

（1,6）

（2,1）

（2,2）

（2,3）

（2,4）

（2,5）

（2,6）

（3,1）

（3,2）

（3,3）

（3,4）

（3,5）

（3,6）

（4,1）

（4,2）

（4,3）

（4,4）

（4,5）

（4,6）

（5,1）

（5,2）

（5,3）

（5,4）

（5,5）

（5,6）

（6,1）

（6,2）

（6,3）

（6,4）

（6,5）

（6,6）

共有36种等可能的结果，其中，点数相同的有6种，

61∴P（两次掷到的点数相同）=36=6

(2)转动如图所示的转盘两次,求两次所得颜色相同的概率，只是把第（1）题的1、 2、3、4、5、6换成红、蓝、黑、黄、绿、白六个区域而已。

61∴P（两次掷到的点数相同）=36=6

(3)利用计算器产生1~6的随机数(整数),求连续两次随机数相同的概率，也完全同（1） 61∴P（两次掷到的点数相同）=36=6

(4)因此，小明认为上面几个问题本质上是相同的，是对的，均属于

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同一个“有放回”模型。

2.（1）一个布袋里装有1个红球、2个白球和2个蓝球，这些球除颜色外都相同，从中随机摸出一个球，记下颜色后放回，再从中随机摸出一个球，求两次摸到的球的颜色能配成紫色的概率。

（2）在上面的问题中，如果从中随机摸出一个球，记下颜色后不放回，再从中随机摸出一个球，求两次摸到的球的颜色能配成紫色的概率又是多少？

4解：（1）为“有放回”模型，可列表类似于例1，概率为25. 1（2）为“无放回”模型，可列表类似于例2，概率为5. 3.两人做游戏：每人都在纸上写一个-2到2之间的整数（包括-2和2），将两人所写整数相加，那么和的绝对值是1的概率是多少？

8解：（1）为“有放回”模型，可列表类似于例1，概率为25

4.“朗读”活动中，九（1）班比较优秀的四名同学恰好是两男两女，从中随机选取两人在班级进行朗读示范，试用画树状图或列表法求所选两人恰好是一男一女的概率。

解：为“无放回”模型，可列表类似于例2，概率为. 第四环节：课堂小结

1.在借助于树状图或表格求某些事件发生的概率时,必须保证各种情况出现的可能性是相同的．

2.在两步摸球实验中，

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（1）“有放回”模型：两次有可能摸到同一个球，且同一个球每次被摸到的概率是相同的。 处理方式：直接列表或画树状图即可。

（2）“无放回”模型：两次不可能摸到同一个球，即同一个球每次被摸到的概率是不同的。 处理方式：在所列表格中，要除去对角线中所有数据；或在画树状图时，第二层的每个分支中要去掉与上一层相同的那个数据。

第五环节：作业布置

1.用如图所示的两个转盘进行配“紫色”游戏,其概率是多少? 黄蓝

绿红白红蓝 2. 在一次征文活动中，甲、乙、丙、丁四位同学的文章都非常优秀，学校决定从这四位同学的文章中任选两篇参加市级征文比赛，请用画树状图或列表法求恰好选中甲、乙两同学文章的概率。

四、教后反思：

为使学生更好的理解掌握本章内容中“有放回”模型与

“无放回”模型的区别，通过具体实例说明了如何识别并处理两种模型.在本节课采取的措施：教学中充分利用多媒体教学手段，通过知识点、表格、图像、文字等方式引起学生多种感官的刺激，在多种感官的刺激下,调动学生头脑中的相关知识，使学生强化记忆，提高他们分析

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问题、解决问题的综合能力. 本节课安排的例题、练习，使学生在学习的过程中，提高了解决问题的能力，扩大了知识视野.在教学中，要相信学生的能力，学生是主体，因此要让学生多练习、多领悟，允许学生出错，在与学生的交流过程中，老师才会有教学的灵感，只有师生互动才能使教学更生动.

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