*5 一元二次方程的根与系数的关系优质公开课教案

湖北鸿鹄志文化传媒有限公司 《导学案》word版

课题：一元二次方程的根与系数的关系

【学习目标】

1．了解一元二次方程的根与系数的关系，能运用它由已知一元二次方程的一个根求出另一个根及未知系数．

2．在不解一元二次方程的情况下，会求直接(或变形后)含有两根与两根积的代数式的值，并从中体会整体代换的思想．

【学习重点】

一元二次方程的根与系数的关系．

【学习难点】

让学生从具体方面的根发现一元二次方程根与系数之间的关系．

情景导入

生成问题

旧知回顾：

(1)一元二次方程的一般式：ax2＋bx＋c＝0(a≠0)．

－b±b2－4ac2(2)一元二次方程的求根公式：x＝(b－4ac≥0)．

2a自学互研

生成能力

知识模块一

探究一元二次方程根与系数的关系

【自主探究】

阅读教材P15～P16的部分，完成以下问题：

1．解下列方程，将得到的解填入下面的表格中，观察表中x1＋x2，x1·x2的值，它们与前面的一元二次方程的各项系数之间有什么关系？从中你能发现什么规律？

一元二次方程

x2＋6x－16＝0 x2－2x－5＝0 2x2－3x＋1＝0 5x2＋4x－1＝0 x1

－8 6＋1 1 －1 x2

2 －6＋1 1

21

5x1＋x2

－6 2 3

24－

5x1·x2

－16 －5 1

21－

52.利用求根公式推导根与系数的关系：

－b＋b2－4ac－b－b2－4acbcax＋bx＋c＝0的两根x1＝，x2＝，得：x1＋x2＝－__x1x2＝．

2a2aaa2【合作探究】

3．思考：如果把方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的二次项系数化为1，则方程变形为

bc－x＋＝0(a≠0)，

x2＋aa则以x1，x2为根的一元二次方程(二次项系数为1)是：

x2－(x1＋x2)x＋x1x2＝0(a≠0)．

知识模块二

利用根与系数的关系求值

【自主探究】

范例：根据一元二次方程的根与系数的关系，求下列方程的两根之和与两根之积．

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(1)x2＋2x＋1＝0 解：x1＋x2＝－2，x1·x2＝1 (2)5x－5＝6x2－4. 51解：x1＋x2＝，x1·x2＝

66【合作探究】

仿例：求下列方程的两根之和与两根之积．

(1)2x2＋3＝7x2＋x 13解：x1＋x2＝－，x1·x2＝－

55(2)2x2＝3x 3解：x1＋x2＝，x1·x2＝0 2变例：已知方程2x2＋kx－9＝0的一个根是－3，求另一根及k的值．

－93解：设方程的另一根为x1，则－3x1＝，∴x1＝. 223k∴x1＋(－3)＝＋(－3)＝－，解得k＝3. 223∴另一根为，k的值为3. 2交流展示

生成新知

1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自主探究、合作探究”得出的“结论”展示在各小组的小黑板上．并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．

2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．

知识模块一

探究一元二次方程根与系数的关系

知识模块二

利用根与系数的关系求值

当堂检测

达成目标

【当堂检测】

1．若x1，x2是方程x2＋x－1＝0的两个实数根，则x1＋x2＝－1，x1·x2＝－1．

2．已知x＝1是方程x2＋mx－3＝0的一个根，则另一个根为－3，m＝2．

3．若方程x2＋ax＋b＝0的两根分别为2和－3，则a＝1，b＝－6．

ba4．已知a，b是方程x2－3x－1＝0的两根，求＋的值．

ab解：∵a＋b＝3，ab＝－1，

2222bab＋a（a＋b）－2ab3－2×（－1）∴＋＝＝＝＝－11. ababab－1【课后检测】见学生用书

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课后反思

查漏补缺

1．收获：________________________________________________________________________ 2．存在困惑：________________________________________________________________________

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