小结与思考优秀教案设计

图形基本变换的综合运用

——中考复习之习题讲解

新港城初级中学 罗畑

【中考命题趋势】

重点考查图形的平移、翻折、旋转的性质，图形三大变换的设计，与图形变换相关的计算和逻辑推理证明等．题型多为填空题、解答题，常与三角形、四边形、圆和二次函数结合作为中档题或较难试题。

【教学目标】

1．在学生已掌握图形变换问题的基本概念、性质、解法的基础上，通过对各种类型的图形变换的探索，提高学生基本知识，基本技能，发展学生创新意识与创新能力以及综合解决问题的能力．

2．通过一题多解，激发学生进一步探索知识的激情，

【教学重点】

能掌握图形变换的性质及此类问题的解题方法和对实际问题的观察能力，解决实际问题的能力以及探索创新能力．

【教学难点】

综合解决问题的能力的培养。

【教学方法】

讲练结合，学生课前已训练，课上学生讲方法，教师补充。

【教学过程】

考点一：图形基本变换在四边形中的应用

1.已知矩形纸片ABCD中，AB＝6，BC＝10，点E为BC边上的动点（点E不与点B、C重合），如图1所示，沿折痕AE翻折得到△AEB，设BE＝m．

（1）当E、B′、D在同一直线上时，求m的值；

（2）如图2，点F在CD边上，沿EF再次折叠纸片，使点C的对应点C′在直线EB′上；

①求DF的最小值； ②点C′能否落在边AD上？若能，求出m的值，若不能，试说明理由．

1

【设计意图】此题是图形的翻折变换与四边形结合的综合题，考查了矩形的性质、图形的折叠变换、相似三角形的判定和性质、勾股定理以及等腰三角形的判定等重要知识点，在确定线段的最小值时与二次函数相结合，利用配方法解决问题．

【分析】

（1）由折叠可知，∠BEA＝∠B′EA，又因为矩形ABCD中BC∥AD，所以∠BEA＝∠EAD，所以∠B′EA＝∠EAD，所以ED＝AD＝10，因为CD＝AB＝6，根据勾股定理求得CE＝8，所以BE＝BC﹣CE＝2；

（2）①根据两次折叠可求证得∠AEF＝90°，从而证得△ABE∽△ECF，于是

，所以

，CF＝

，从而可求出DF=

+ ，所以当m＝5时，

DF的最小值为

；

②若点C′落在边AD上，分别表示各边的长，根据勾股定理得：

＝

，方程无实数解，所以点C′不能落在边AD上．

考点二：图形基本变换在二次函数中的应用

2.

如图，已知A（–2，0），B（4，0），抛物线y=ax2+bx–1过A、B两点，并与过A点的直线y=–

x–1交于点C． （1）求抛物线解析式及对称轴；

（2）在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使四边形ACPO的周长最小？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由；

（3）点M为y轴右侧抛物线上一点，过点M作直线AC的垂线，垂足为N．问：是否存在这样的点N，使以点M、N、C为顶点的三角形与△AOC相似，若存在，求出点N的坐标，若不存在，请说明理由．

【设计意图】此题是图形的翻折变换与二次函数结合的综合题，考查了二次函数的性质、图形的折叠变换、相似三角形的判定和性质、最值问题等重要知识点，培养学生的分类讨论思想。

2

【分析】（1），直接将点A和点B坐标代入抛物线中，解方程组可求出a和b，从而得出解析式，再根据对称轴x=-b2a得出对称轴；

（2），由于OA+OC的值一定，则使四边形ACPO的周长最小，只需PC+PO最小，根据轴对称求最短路线问题即可解答；

（3），根据相似，可得∠CDN=∠CAO，设点N坐标为（a，-12a-1），从而根据M、D关于AN对称，得出点D坐标，由此得出M点坐标，代入到抛物线中得出a的值，从而解答；

而若∠CAO=∠NCM，试着写出另一个点，据此解答.

考点三：图形基本变换在三角形、圆中的应用

3．已知，在△ABC中，∠BAC=120°，AB=AC=2

，D为BC边一点，且BD：DC=1：2，以D为一个顶点作等边△DEF，且DE=DC，连接AE，将等边△DEF绕点D旋转一周，在整个旋转过程中，当AE取得最大值时，则AF的长为 _____ ．

【设计意图】此题是图形的旋转变换与三角形、圆结合的综合题，考查了动点问题、最值问题等重要知识点。

【分析】要让AE取最大值，A为定点，E为动点，先确认E点的运动轨迹。根据DE=DC可知，E的轨迹为以D为圆心，DC为半径的一个圆。连结AD，并延长与圆D相交于一点，此时的点E为最大值时的位置。再根据△DEF为等边三角形，确定F的位置，连结AF，抓住等腰三角形，求出AF的长。

【中考互动】

1.（2018 南通）如图，矩形ABCD中，E是AB的中点，将△BCE沿CE翻折，点B落在点F处，tan∠DCE=．设AB=x，△ABF的面积为y，则y与x的函数图象大致为（

）

A．

B．

C．3

D．

2.（2018 泰州）对给定的一张矩形纸片ABCD进行如下操作：先沿CE折叠，使点B落在CD边上(如图①)，再沿CH折叠，这时发现点E恰好与点D重合(如图②)．

CD（1）根据以上操作和发现，求AD的值；

（2）将该矩形纸片展开．①如图③，折叠该矩形纸片，使点C与点H重合，折痕与AB相交于点P，再将该矩形纸片展开，求证：∠HPC＝90°．②不借助工具，利用图④探索一种新的折叠方法，找出与图③中位置相同的P点，要求只有一条折痕，且点P在折痕上，请简要说明折叠方法(不需说明理由)．

【分析】本题属于折叠问题，主要考查了等腰直角三角形的性质，矩形的性质，全等三角形的判定与性质的综合运用，折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，对应边和对应角相等．解题时常常设要求的线段长为x，然后根据折叠和轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案．

【教学反思】

本节课是关于图形变换的一节习题讲解课，这部分的内容比较抽象、题型综合性大，是我们复习阶段的一个难点。在前期学生已经做了很多思考交流。本节课的目标，既要有利于学生加深理解和系统掌握所学过的知识，提高数学思维的能力和综合运用知识解题的能力，同时又要有利于增强学生学习数学的信心。

本节教学设计是一节数学复习课习题设计，应注意以下几点。第一：注重重点知识间的内在联系，相互渗透，不应是简单的重复，而且构建适合学生实际的训练体系;第二，注重数学思想方法的运用和总结，掌握了好的方法，就能以不变应万变，做到重通法、重思想方法的提炼和升华，优化解题思维，在理性思维中培养和发展学生的数学思维能力;第三，引导学生做好解题后的反思，通过回顾所完成的解答，以及重新思考和检查解题结果，从面巩固知识和发展解题能力。

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