小结与思考教学活动设计方案

专题复习——二次函数中平行四边形存在性问题

教学目标：

1、复习二次函数及平行四边形的相关知识。

2、探索二次函数中平行四边形的存在性问题。

3、培养学生探索精神和分析问题的方法，学习分类讨论的数学思想。

教学重点：

培养学生探索精神和分析问题的方法，学习分类讨论的数学思想。

教学难点：平行四边知识的综合应用及分类标准的理解与应用。

教学过程：

【类型一】已知三定点，探究第四个点，使之构成平行四边形

如图，在平面直角坐标系中，已知点A(－3，4)，B(－6，－2)，C(6，－2)，若以点A，B，C为顶点作一个平行四边形，试写出第四个顶点D的坐标，你的答案唯一吗？

解：答案不唯一，有三种情况：若AB为平行四边形的对角线，则点D的坐标为(－15，4)；若BC为平行四边形的对角线，则点D的坐标为(3，－8)；若AC为平行四边形的对角线，则点D的坐标为(9，4)．

方法：分别过A、B、C三个点作BC、AC、AB的平行线，三条平行线的交点即为所求。

【类型二】，已知两定点，探求另外两点，使之构成平行四边形。

如图是将抛物线y=﹣x平移后得到的抛物线，其对称轴为x=1，与x轴的一个交点为A（﹣1，0），另一个交点为B，与y轴的交点为C．

（1）求抛物线的函数表达式；

（2）点P是抛物线上一点，点Q是一次函数y=x+的图象上一点，若四边形OAPQ为平2

行四边形，这样的点P、Q是否存在？若存在，分别求出点P，Q的坐标；若不存在，说明理由；

（3）在（2）中，若以O、A、P、Q为顶点的四边形为平行四边形，这样的点P、Q是否存在？若存在，分别求出点P的坐标；若不存在，说明理由．

【分析】（1）已知抛物线的对称轴，因而可以设出顶点式，利用待定系数法求函数解析式；2（2）四边形OAPQ是平行四边形，则PQ=OA=1，且PQ∥OA，设P（t，﹣t+2t+3），代入y=x+，即可求解．P(0,3),Q(1,3) 或

P(1/2, 15/4),Q(3/2,15/4

（3）分两种情况，

第一种情况，若OA为边，又分为两种情况

①OA为边，且P在Q左侧，

P（0，3）Q（1，3）或P（1/2，15/4）,Q(3/2，15/4)

②

OA为边，且P在Q右侧，

P（2，3）Q（1，3）或P（-3/2，-9/4）,Q(-5/2，-9/4)

3）第二种情况OA为对角线，

P（-3/2，-9/4）Q（1/2，9/4）或P（2，3）,Q(-3，3)

【巩固提高】

如图，二次函数y=ax2+bx+c（a≠O）与x轴交于点A、B两点，其中点A在点B的左侧，其坐标为（-1，0），与y轴交于点C（0，4），抛物线的对称轴为x=1，连接BC．

（1）直接写出a、b、c的值。

（2）对称轴上是否存在两点，并与A、B两点为顶点组成正方形，若存在求出这两点的坐标，若不存在，请说出理由。

（3）若点H为对称轴上的一个动点，点P为抛物线上的一动点，当H、P、B、C四点为顶点的四边形为平行四边形时，求出点H的坐标。

【分析】（1）将点A、C两点的坐标代入函数y=ax2+bx+c再结合坐标轴x=1得到a、b的数量关系，写出其值即可。

（2）确定A、B两点，组成正方形，线段AB可能是边，也可能是对角线，结合题意分析，只能是对角线，故从AB的长度上可以得到在对称轴上的另外两点的坐标。

（3）四点为顶点构成平行四边形，B、C为定点，可分BC为平行四边形的一条边及对角线两种情况进行讨论得到点H的坐标．

【解答】（1）a=(2)存在：

∵A、B两点确定，则AB为边为对角线，根据图像可知另外两点只能在对称轴上，判定AB只能为对角线，利用图像性质可知AB=4.故另外两点坐标分别为（1，2）（1，-2）. （3）两定点B、C和两动点P、H构成平行四边形时，有两种情况：

第一种：BC//PH时，如图所示，∵图形为平行四边形

∴BC=P’H，则BOCP'O'H

∴P'O'=3，则P'的横坐标为-2，P'的纵坐标为-又∵O'H=4 ∴H点的坐标是（1，-48; b=

; c=4; 3320，

3328），当P点在H下方时，如图，H的坐标为（1，-）。

33第二种情况：当BC为对角线时则有CP//BH，如图

即y=4时，有x=2或0，

则P点的坐标为2，CP=2 H恰好在对称轴与坐标轴交点处

∴H（1,0）

故符合提议的H的坐标有三个。

收获与感悟：

解平行四边形的存在性问题一般分三步：第一步寻找分类标准，第二步画图，第三步计算．难点在于寻找分类标准，分类标准寻找的恰当，可以使解的个数不重复不遗漏，也可以使计算又好又快．

1、如果已知三个定点，探寻平行四边形的第四个顶点，符合条件的有3个点：以已知三个定点为三角形的顶点，过每个点画对边的平行线，三条直线两两相交，产生3个交点．

2、如果已知两个定点，一般是把确定的一条线段按照边或对角线分为两种情况．

①根据平行四边形的对边平行且相等，灵活运用坐标平移，可以使得计算过程简便．

②根据平行四边形的中心对称的性质，灵活运用坐标对称，可以使得解题简便．

推广：四边形的存在性问题是一类考查是否存在点，使其能构成某种特殊四边形的问题，如：往往结合动点、函数与几何，考查分类讨论、画图及建等式计算等．①平行四边形存在性，由定线分别作边、对角线分类，通过平移或旋转画图，借助坐标间关系及中点坐标公式建等式求解．②菱形存在性可转化为等腰三角形存在性处理．③等腰梯形存在性通常直接表达两腰长，利用两腰相等建等式；两腰不易表达，借助对称性和中点坐标公式联立求解．④直角梯形存在性关键是利用好直角．