2.2.1 直线的参数方程教案和学案内容

直线的参数方程教学设计

张义军

一、内容分析

本节课是复习课，本节课既要学习直线参数方程的有关知识，学会用直线的参数方程解决有关弦长、点坐标、线段乘积等问题，圆锥曲线的参数方程求极值问题。领悟化归与转化、数形结合等数学思想，从本质上理解参数方程的几何意义。

二、学生情况分析

本节是一节参数方程复习课，是前面所学内容的延续，学生已经学习过参数方程的概念，普通方程与参数方程的互化，圆、椭圆等的参数方程，已经学习了三角函数的性质、辅助角公式、点到直线的距离、直线和圆锥曲线的关系等基础知识，对参数方程有了一定的认识，体验了参数方程在解决问题中的应用。不足之处就是学生基础不是很好，学习能力不是太强，学生的思维习惯还没有转化到用参数去解决问题，在解决问题的过程中需要老师进一步去引导。

三、教学目标

1.知识与技能：（1））通过本节课的学习，使学生掌握直线参数方程中参数的几何意义，以及直线、圆、椭圆参数方程与普通方程的互化。

（2）解决直线与圆、圆锥曲线的参数方程的应用问题，体会参数方程的优越性和必要性，感受数学的应用价值。

四、教学的重点、难点

1.教学重点：参数方程的应用

2.教学难点：参数方程中参数几何意义的应用。

五、教学设计思路与教法分析

按照提出问题-探索发现-回顾应用的顺序体验解决问题的途径，在数形结合、转化与化归的过程中，在提出问题、解决问题的过程中提升学生应用数学知识分析问题、解决问题的能力，提升数学素养，提高综合利用知识解决问题的能力。

教学方法：讲授法与启发法

六、教学过程设计

6.1引出问题、激发兴趣

极坐标和参数方程是高考中的选学内容，由于学生对三角函数和解析几何的

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知识较为熟悉，因而多数学生会选择这个内容，在解决极坐标和参数方程的问题时，往往将极坐标和参数方程与直角坐标互化。

首先复习基础知识，这部分内容是提前布置的预习作业：参数方程的概念，参数方程与普通方程的互化，诊断自测的判断正误。

6.2 课堂探究、考点突破

高考命题方向是一是直接考察普通方程与参数方程的互化，二是为后续问题做铺垫，下面举例说明相关题型及解题策略

x2tx2y21，直线l：例1 （2014新课标卷Ⅰ）知曲线C：（t为参49y22t数）.(Ⅰ)写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程；

（Ⅱ）过曲线C上任一点P作与l夹角为30o的直线，交l于点A，求|PA|的最大值与最小值. 试题分析：第一问学生能够自己解决，和学生一起总结消参数的方法一般有两种（1）利用解方程的技巧消参。（2）利用三角恒等式消参

第二问引导学生会用转化的方法，把两点间距离转化为点到直线的距离，从而利用三角函数的最值解决问题。

x2cos【解析】(Ⅰ) 曲线C的参数方程为：

（为参数），

直线l的普通方y3sin程为：2xy60

（Ⅱ）（2）在曲线C上任意取一点P (2cos,3sin)到l的距离为d5d254cos3sin6，则|PA|5sin605sin305，其中为锐角．且tan4225.当sin1时，|PA|取得最大值，最大值为；

35当sin1时，|PA|取得最小值，最小值为

25.

5例2

在平面直角坐标系xOy中，倾斜角为α的直线l过点M（-2，-4），以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为

2

ρsin2θ=2cosθ．

（1）写出直线l的参数方程（α为常数）和曲线C的直角坐标方程；

（2）若直线l与C交于A、B两点，且|MA|•|MB|=40，求倾斜角α的值

本题考查了极坐标方程以及直角坐标方程的转化，考查参数方程以及参数的几何意义，考查转化思想，是一道中档题．帮助学生回忆倾斜角与斜率的关系、极坐标与直角坐标互化公式，第一问学生能够顺利解决。第二问引导学生建立直线和圆锥曲线的联系，联立方程组，利用韦达定理求解，注意参数的几何意义，尤其是符号问题，顺便给学生复习参数方程下的弦长公式|M1M2|＝|t1－t2|.若线段M1M2的中点M所对应的参数为t，则t＝，中点M到定点M0的距离|MM0|＝|t|＝.若M0为线段M1M2的中点，则t1＋t2＝0.还要强调一些细节，直线和曲线相交的条件。

解：（1）∵倾斜角为α的直线l过点M（-2，-4），∴直线l的参数方程是{x=−2+tcosαy=−4+tsinα{x=−2+tcosαy=−4+tsinα，（t是参数），∵曲线C的极坐标方程为ρsin2θ=2cosθ，∴曲线C的直角坐标方程是：y2=2x；

（2）把直线的参数方程代入y2=2x，得t2sin2α-（2cosα+8sinα）t+20=0，

∴t1+t2=2cosα+8sinαsin2α2cosα+8sinαsin2α，t1t2=20sin2α20sin2α，根据直线参数的几何意义|MA||MB|=|t1t2|=20sin2α20sin2α=40，故α=π4π4或α=3π43π4，又∵△=（2cosα+8sinα）2-80sin2α＞0，故α=π/4．

x2cos例3. 直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(为参数)，直线l的参数y4sinx1tcos方程为(t为参数) (1)求C和l的直角坐标方程

y2tsin(2)若曲线C截直线l所得线段的中点坐标为(1,2)，求l的斜率

这道题第一问学生能够顺利做出，但是容易忽略时的情况，给出标准答案时要特别强调。第二问若M0为线段M1M2的中点，则t1＋t2＝0.使用直线参数的几何意义，韦达定理。

解：（1）曲线的直角坐标方程为，当

．当时，的直角坐标方程为．

3 时，的直角坐标方程为

（2）将的参数方程代入的直角坐标方程，整理得关于的方程．①

因为曲线截直线所得线段的中点又由①得七、反思成果

通过本节课的学习，归纳了直线参数方程的有关知识，圆锥曲线的参数方程的有关知识，以及直线与圆锥曲线的关系，通过解决普通方程与参数方程及极坐标方程的互化问题、距离问题、极值问题感悟了化归、数形结合等数学思想方法，为进一步解决问题打下基础。

，故在内，所以①有两个解，设为，，则，于是直线的斜率．

．

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