2.2.1 直线的参数方程教学设计和教学实录

极坐标与参数方程（二）

最新考纲

1.了解参数方程，了解参数的意义；

2.能选择适当的参数写出直线、圆和椭圆的参数方程；

3.掌握直线的参数方程及参数的几何意义，能用直线的参数方程解决简单的相关问题. 知识梳理

1.曲线的参数方程

在平面直角坐标系xOy中，如果曲线上任意一点的坐标x，y都是某个变量t的函数x＝f（t），

y＝g（t）.并且对于t的每一个允许值，上式所确定的点M(x，y)都在这条曲线上，则称上式为该曲线的参数方程，其中变量t称为参数. 2.一些常见曲线的参数方程

x＝x0＋tcos α，(1)过点P0(x0，y0)，且倾斜角为α的直线的参数方程为(t为参数). y＝y0＋tsin αx＝a＋rcos θ，(2)圆的方程(x－a)＋(y－b)＝r的参数方程为(θ为参数). y＝b＋rsin θ222x＝acos θ，x2y2(3)椭圆方程2＋2＝1(a＞b＞0)的参数方程为(θ为参数). aby＝bsin θ3.直线的参数方程的标准形式的应用

x＝x0＋tcos α，过点M0(x0，y0)，倾斜角为α的直线l的参数方程是(t是参数，t可正、y＝y＋tsin α0可负、可为0). 若M1，M2是l上的两点，其对应参数分别为t1，t2，则(1)M1，M2两点的坐标分别是(x0＋t1cos α，y0＋t1sin α)，(x0＋t2cos α，y0＋t2sin α). (2)|M1M2|＝|t1－t2|. t1＋t2(3)若线段M1M2的中点M所对应的参数为t，则t＝2，中点M到定点M0的距离|MM0|＝|t|＝t1＋t2. 2(4)若M0为线段M1M2的中点，则t1＋t2＝0.

考点突破

考点一

参数方程与普通方程的互化

【例1】

把下列参数方程化为普通方程，并说明它们各表示什么曲线：

x＝1＋t，(1)(t为参数)；(2)(t为参数)；

3y＝2＋ty＝2＋t221x＝1＋2t，x＝t＋t，(3)(t为参数). 1y＝t－t

1【训练1】

在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为3y＝2t(1)写出⊙C的直角坐标方程；

1x＝3＋2t，(t为参数).以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，⊙C的极坐标方程为ρ＝23sin θ. (2)P为直线l上一动点，当P到圆心C的距离最小时，求P的直角坐标.

考点二

参数方程的综合应用

2x＝3－2t，【例2】

在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为(t为参数).在极坐标系2y＝5＋2t(与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴)中，圆C的方程为ρ＝25sin θ. (1)求圆C的直角坐标方程；

(2)设圆C与直线l交于点A，B，若点P的坐标为(3，5)，求|PA|＋|PB|.

x＝tcos α，【训练2】在直角坐标系xOy中，曲线C1：(t为参数，t≠0)，其中0≤α＜y＝tsin απ.在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ＝2sin θ，C3：ρ＝23cos θ. (1)求C2与C3交点的直角坐标；

(2)若C1与C2相交于点A，C1与C3相交于点B，求|AB|的最大值.

课堂总结

1.参数方程化普通方程常用的消参技巧：代入消元、加减消元、平方后加减消元等，经常用到公式：cos2θ＋sin2θ＝1，1＋tan2θ＝1. cos2θ2.利用曲线的参数方程来求解两曲线间的最值问题非常简捷方便，是我们解决这类问题的好方法.

练习

ππ1.已知点A的极坐标为2，，直线l的极坐标方程为ρcosθ－＝a，且点A44在直线l上. (1)求a的值及直线l的直角坐标方程；

x＝1＋cos α，(2)圆C的参数方程为(α为参数)，试判断直线l与圆C的位置关y＝sin α系.

3x＝5＋2t，2.已知直线l：(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴1y＝3＋2t建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ＝2cos θ. (1)将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程；

(2)设点M的直角坐标为(5，3)，直线l与曲线C的交点为A，B，求|MA|·|MB|的

值.