2.2.1 直线的参数方程优秀教学设计

坐标系与参数方程----第二节

参数方程

学习目标：

1．理解参数方程的意义，并会对简单曲线求其参数方程．

2．理解直线的参数方程中的参数的几何意义，会用参数法解决一些实际问题．

学习重点：

普通方程与参数方程的互化，参数方程的简单应用.

学习难点：

直线的参数方程的应用

学习过程：

基本知识点回顾

·

夯实基础

一、参数方程的概念

一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x，y都是某个变数t的函__________①，并且对于t的每一个允许值，由方程组①所确定的点M(x，y)都在这条曲线上，那么方程组①就叫做这条曲线的参数方程，联系变数x，y的变数t叫做参变数，简称参数，相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做_________．

二、参数方程和普通方程的互化

1．曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式，一般地可以通过_________而从参数方程得到普通方程．

2．如果知道变数x，y中的一个与参数t的关系，例如_______，把它代入普通方程，求出x＝ft另一个变数与参数的关系y＝____，那么就是曲线的参数方程，在参数方程与普通y＝gt

方程的互化中，必须使x，y的_________保持一致

三、直线和圆锥曲线的参数方程和普通方程

名称

直线

普通方程

参数方程

yy0tan(xx0)

圆

椭圆

（xx0)2(yy0)2r2

x2y221(ab0)

2ab

四、小试身手

x＝3＋3cos θ1．参数方程，(θ为参数)表示的图形上的点到直线y＝x的最短距离为y＝－3＋3sin θ

________．

2．(2014·陕西高考改编)以平面直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐

x＝t＋1，标系，两种坐标系中取相同的长度单位．已知直线l的参数方程是(t为参数)，y＝t－3

圆C的极坐标方程是ρ＝4cos θ，则直线l被圆C截得的弦长为________．

x＝t＋13．(2012·湖南高考)在直角坐标系xOy中，已知曲线C1：(t为参数)与曲线y＝1－2tx＝asin θC2：(θ为参数，a＞0)有一个公共点在x轴上，则a＝________.

y＝3cos θ

五：考点技法全突破

考点一、参数方程与普通方程的互化

x＝－1－t1．极坐标方程ρ＝cos θ和参数方程(t为参数)所表示的图形分别是________．

y＝2＋3t

2．已知曲线C的极坐标方程为ρ＝2cosθ.以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立直角坐标系，则曲线C的参数方程为________．

3．把下列参数方程化为普通方程，并说明它们各表示什么曲线：

x＝3＋cos θ(1)，(θ为参数)；(2)y＝2－sin θ

1y＝t－t1x＝t＋t

，(t为参数)．

总结归纳：化参数方程为普通方程的基本思路是消去参数，常用的消参方法有代入消去法、加减消去法、恒等式(三角的或代数的)消去法，参数方程通过代入消元或加减消元消去参数，化为普通方程时，不要遗漏参数的范围．

考点二、常见曲线参数方程的应用

x＝2＋t，x2y2

(2014·新课标Ⅰ)已知曲线C：＋＝1，直线l：(t为参数)．

49y＝2－2t

①写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程；

②过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线，交l于点A，求|PA|的最大值与最小值．

归纳总结：已知直线、圆、圆锥曲线的参数方程解决有关问题时，一般是把参数方程化为普通方程，通过互化解决与圆、圆锥曲线上动点有关的问题，如最值、范围等．

变式提高

(2015·模拟)在平面直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标π2，，曲线C的极坐标方程：ρ＝－4cos θ，过点P的直线l交曲系．已知点P的极坐标2线C于M，N两点．

①若在直角坐标系下直线l的倾斜角为α，求直线l的参数方程和曲线C的普通方程；

②求|PM|＋|PN|的最大值及相应的α值．

方法总结：

1．解决同时含有极坐标方程和参数方程的题目，可先将参数方程和极坐标方程同时转化为直角坐标方程，然后再求解．

2．直线的参数方程中参数t的几何意义 过定点M0(x0，y0)，倾斜角为α的直线的参数方程为x＝x0＋tcos αy＝y0＋tsin α

(t为参数)，其中参数t的几何意义是：|t|是直线上任一点M(x，y)到M(x0，y0)的距离，即|M0M|＝|t|.即当

点M在M0上方时，有t＝||；当点M在M0下方时，有t＝－||.该参数t经常用在直线截圆锥曲线的距离问题中，解题时通常过某定点作一直线与圆锥曲线相交于A，B两点，所求问题与定点到A，B两点的距离有关．解题时主要应用定点在直线AB上，利用参数t的几何意义，结合根与系数的关系进行处理，巧妙求出问题的解．

六：随堂巩固及跟踪训练

x＝t1．(2013·湖南高考)在平面直角坐标系xOy中，若直线l：，(t为参数)过椭圆C：y＝t－ax＝3cos φy＝2sin φ

，(φ为参数)的右顶点，则常数a的值为________．

x＝1－22t2．(2014·江苏高考改编)在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为2y＝2＋t2(t为参数)，直线l与抛物线y2＝4x相交于A，B两点，则线段AB的长为________．

x＝cos α3．直线3x＋4y－7＝0截曲线y＝1＋sin α

，

(α为参数)的弦长为________．

x＝2＋cos απ4．(2014·湖南高考)在平面直角坐标系中，倾斜角为的直线l与曲线C：4y＝1＋sin α

(α为参数)交于A，B两点，且|AB|＝2.以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，则直线l的极坐标方程是________．

x＝1＋t5．设直线l1的参数方程为(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴非负半轴为极轴y＝a＋3t

建立极坐标系，另一直线l2的方程为ρsin θ－3ρcos θ＋4＝0，若直线l1与l2间的距离为10，则实数a的值为________．

x＝2＋t6．(2015·汕头质检)已知直线l的参数方程是，(t为参数)，圆C的参数方程为y＝t－2x＝2cos θy＝2sin θ

，(θ为参数)，则圆C上的点到直线l的距离的最大值是________．

7．(2014·新课标Ⅱ)在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐π标系，半圆C的极坐标方程为ρ＝2cosθ，θ∈0，. 2(1) 求C的参数方程；

(2)设点D在C上，C在D处的切线与直线l：y＝3x＋2垂直，根据(1)中你得到的参

数方程，确定D的坐标．