2.2.2 圆的参数方程优质课教案整理

圆的参数方程

一．教学内容分析

教科书根据三角函数的定义，推导出了圆心在原点、半径为r的圆的参数方程，然后直接给出圆心为O1(a,b)，半径为r的圆的参数方程

xarcos .

（为参数）ybrsin 在具体教学过程中，对如何根据圆的平移得到后一个参数方程，可作适当的介绍.在介绍了圆的参数方程以后，教科书简单介绍了一般的参数方程和普通方程的概念.在此，对参数方程的教学要求要注意控制，不要让学生系统地学习怎样求曲线的参数方程，而只是为了在某些问题的叙述中，能使学生区分曲线的参数方程和普通方程这两种不同形式，初步了解参数方程和普通方程的意义，能够把一些简单曲线（如圆和直线等）的参数方程化为普通方程. 在曲线方程的某些问题中，借助于参数方程，能使它们的解决变得容易.因为参数方程把曲线上点的坐标通过参数直接表示出来，比较清楚地指出了曲线上点的坐标的特点.教科书中的例6，就是把曲线的普通方程转化为参数方程后加以解决的.许多问题可以作这样的转化，当然有时也把给定参数方程的问题转化为普通方程来解决.教科书中的例6也可以直接用普通方程来解决.

二．教学目标概览

1.理解圆心在原点,半径为r的圆的参数方程,能较熟练地求出圆心在原点,半径为r的圆的

参数方程.

2.明确参数的意义,能说明参数与圆上一点坐标变量x,y之间的联系.

3.理解圆心不在原点的圆的参数方程,能根据圆心坐标和半径熟练地求出圆的参数方程.

4.了解一般曲线的参数方程和普通方程的意义.

5.能将圆的参数方程与普通方程进行相互转化,会用圆的参数方程去解决一些简单的问题. 6.通过本节的教学互动,进一步培养学生观察、猜想、验证、证明的能力，激发其学习数学的兴趣.

三．聚焦重点难点

重点是圆心在原点,半径为r的圆的参数方程以及圆心不在原点的圆的参数方程. 难点是圆的参数方程的应用和“观察、猜想、验证、证明”能力的培养.

四．教与学辅助工具

几何画板.

五．教与学师生互动

1．观察研究，发现规律．

在几何画板平台上，画出如图7—36所示的

圆.拖动点P，使其在圆上运动，让学生观察，

从圆O与x轴的正半轴的交点Po开始，按逆时针

与P的位置变

方向旋转运动到点P时POPo化之间的关系.得到结论：点P的位置与旋转角

有密切的关系. 当变化时，点P在圆O上的位

置也随着变化.然后，教师引导学生根据三角函数

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的定义，找出点P的横坐标x与纵坐标y关于的

函数关系，从而得出圆心在原点，半径为r的圆的

参数方程是 xrcos （1）

yrsin其中，是参数.请问，参数的几何意义是什么？

（以x轴正半轴为始边，以OP为终边的角）

2．创设情景，得出新知. 在坐标系（几何画板平台上）中，先画出圆心在

O1(a,b)，半径为r的圆. 请问，能否给出它的参数方程？

（若学生反映较困惑，则给出引导1）引导1：

能否利用圆心在原点O，半径为r的圆的参数

方程来解决这个问题？

（这时，在坐标系中画出圆心在原点O，半径为r

的圆.）

经教师的引导，学生通过观察两个圆可以得到如

下结论：由于两个圆的大小一样，则可以把圆

O1看成是由圆O按向量v(a,b)平移而得到. 于是，师生一起，利用向量平移的有关知识，求出

圆心在O1，半径为r的圆的参数方程是

xarcos

（为参数） （2）

ybrsin3．对照比较，由特殊到一般.

与圆的参数方程概念对照比较，引导学生得出一般的参数方程的概念：（由学生自己归纳）

一般地，在取定的坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x、y都是某个变数t的函数，即

xf(t) （3）

yg(t)并且对于t的每一个允许值，由方程组（3）所确定的点M(x,y)都在这条曲线上，那么方程组（3）就叫做这条曲线的参数方程，联系x、y之间关系的变数叫做参变数，简称参数.

在这里，需向学生强调参数方程中的参数，可以是有物理的（如时间、位移、离心角）几何意义的参数（如斜率等）. 也可以是没有明显意义的参变数，要注意参数的取值范围与x、y的取值范围的制约关系. 然后指出：相对于参数方程来说，以前所学习过的关于x、y的直角坐标方程，叫做曲线的普通方程. 4．课堂练习1

P81

练习1，2

要求：练习1，口答；练习2，学生上台板演. 之后由台下的学生来评价板演学生的作业情况，最后，教师点评总结. 5．

例题讲解1

例1（P80例6）如图7—38，已知点P是圆x2y216上的一个动点，点A是x轴上的定点，坐标为(12,0).当点P在圆上运动时，线段PA的中点M的轨迹是什么？

分析：由于点M为点P和点A的中点，点A

的坐标已知，点P在已知圆上，故而点P的

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坐标可以用参数来表示，所以，点M的坐标

便可以表示了，由此便可以求出线段PA的中

点M的轨迹方程，进而知道其轨迹. 解：设点M的坐标是(x,y).因而圆x2y216

的参数方程为

x4cos,

y4sin,所以可设点P的坐标为(4cos,sin).由线段中点坐标公式得点M得轨迹参数方程为

x62cos,

y2sin.所以，线段PA的中点的轨迹是以点(6,0)为圆心、2为半径的圆. （说明：讲解此题时，可先让学生来试着解决，教师引导帮助.）

想一想1：这个问题不用参数方程怎么解决？（由此得到求轨迹的一种重要方法：相关点法（或代入法））

想一想2：若点M不是线段PA的中点，那么点M的轨迹又是什么呢？

想一想3：若点M在线段PA的延长线或反向延长线上，那么点M的轨迹又是什么呢？

6．课堂练习2

P81

练习3.请学生上讲台来板演. 想一想1：你能否根据题意粗略的画出线段PQ中点的轨迹？ 想一想2：如果在线段PQ上任取一点M，那么点M的轨迹是什么？

想一想3：如果在线段PQ的延长线或反向延长线上任取一点M，那么点M的轨迹是什么？ （说明：这样可以培养学生的观察、猜想、验证、证明的能力，激发学生学习的兴趣）

7．例题讲解2 例2 求函数f()sin1的最大值和最小值. cos2yy1sin1sin1的形式相似于斜率k2的形式，因此可以把f()看x2x1cos2cos2作是动点(cos,sin)与定点(2,1)连线的斜率.所求问题转化为求斜率f()的最大值和最小分析：f()值.由于动点(cos,sin)在圆x2y21上，因此可以把这个问题转化到图形上来处理.(利第

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用几何画板作出圆x2y21以及相关的点，这样，学生就很清楚地知道，当过定点(2,1)与动点(cos,sin)的直线与圆相切时，取得最值) 解：根据题意，作出如图7—39 所示的图. 所要求的函数

f()sin1的最大值与最

cos2小值，就转化为求动点P与定点

(2,1)连线的斜率的最大值与最小

值.从图7—39可以得知，当直线PM和圆相切时，分别得到其最大值与最小值.设直线PM的斜率为k，所以，其方程为：y1k(x2)，即 kxy12k0. 当直线PM与圆相切时，OP1，即

12k1(k)21，解得

k0或k4. 3所以，f()min0，f()max4. 3

点评：从例2可以看出，转化的思想方法与数形结合的思想方法对于学生的学习以及解题是相当有帮助的. 8．课堂小结（可让学生总结）

1．

圆的参数方程

xarcos

（为参数），的几何意义. ybrsin2. 圆的参数方程的应用（例1，例2），以及在解题中转化的思想方法与数形结合的思想方法的应用. 3．在学习中，应多注意观察、猜想、验证、证明，这样有助于培养自己对问题的观察力，对知识的洞察力. 9．作业

习题7.6

9，10. 六．教学设计说明

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（1）

本节教学内容是圆的参数方程及其应用.教学设计方案在继续遵循“以学生为本，发展学生个性”教学思想原则基础之上，着力研究结构性原则和适应性原则在教学中的应用.一要注意数学教学中不应把培养学生解决某一个（或类）具体的数学问题的能力当作能力培养的目标，而应着眼于培养学生良好的认知结构（知识结构与认识结构的综合体）.二要注意数学教学适应学生的思维发展水平，并且要积极促进思维的发展，不能在“低水平上重复”. （2）

重视学生的学习经历和经验，强调积极主动学习态度的形成，使获得基础知识与基本技能的过程同时成为学会学习和形成正确价值观的过程，促进学生素质的全面发展. （3）

本课利用了几何画板平台进行辅助教学，提高了教学的效率，让“静”数学变成“动”数学，充分调动了学生的积极性，激发了学生学习的兴趣，让教学重点难点得到很好的解决. （4）通过例6与练习3，在几何画板平台上，引导学生观察，然后猜想、验证，最后证明，培养其思考问题、解决问题的能力和以科学家的方式考虑问题，这对于学生的整体发展和个性的发展是相当有益的. 第

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