2.3.1 椭圆的参数方程教学设计模板

选修4-4．参数方程——圆锥曲线的参数方程（2）

1．了解双曲线、抛物线的参数方程．

2．理解椭圆的参数方程及其应用．

3．能够利用圆锥曲线的参数方程解决最值、有关点的轨迹问题．

教学重点：圆锥曲线的参数方程的应用．

教学难点：运用参数方程思想解决问题．

教学准备：PPT课件．

教学过程：

一、复习引入

1．椭圆的参数方程

普通方程

参数方程

x＝acos φx2y2＋＝1(a>b>0)

(φ为参数) a2b2y＝bsin φy2x2＋＝1(a>b>0)

a2b22.双曲线的参数方程

普通方程

x2y2－＝1(a>0，b>0)

a2b23.抛物线的参数方程

2x＝2pt(1)抛物线y2＝2px的参数方程是(t∈R，t为参数)．

y＝2ptx＝bcos φ(φ为参数) y＝asin φ

参数方程

x＝asec φ(φ为参数) y＝btan φ

(2)参数t表示抛物线上除顶点外的任意一点与原点连线的斜率的倒数．

二、思考探究

1．椭圆的参数方程中，参数φ是OM的旋转角吗？

x＝acos φ【提示】

椭圆的参数方程(φ为参数)中的参数φ不是动点M(x，y)的旋转角，它是点M所y＝bsin φ对应的圆的半径OA(或OB)的旋转角，称为离心角，不是OM的旋转角．

2．双曲线的参数方程中，参数φ的三角函数sec φ的意义是什么？

1π3【提示】

sec φ＝，其中φ∈[0,2π)且φ≠，φ≠π.

cos φ22223．类比y＝2px(p>0)，你能得到x＝2py(p>0)的参数方程吗？

x＝2pt，【提示】

(p>0，t为参数，t∈R) 2y＝2pt.

三、案例研究

1．椭圆的参数方程及应用

x＝5cos θ例1．将参数方程(θ为参数)化为普通方程，并判断方程表示曲线的焦点坐标．

y＝3sin θ【思路探究】

根据同角三角函数的平方关系，消去参数，化为普通方程，进而研究曲线形状和几何性质．

[来源学科网Z.X.X.K]

[来源学科网]

x＝5cos θ【自主解答】

由得y＝3sin θ

ysin θ＝，3xcos θ＝，5x2y2两式平方相加，得2＋2＝1. 53∴a＝5，b＝3，c＝4. 因此方程表示焦点在x轴上的椭圆，焦点坐标为F1(4,0)和F2(－4,0)．

x＝acos θ，总结：椭圆的参数方程(θ为参数，a，b为常数，且a>b>0)中，常数a、b分别是椭圆的y＝bsin θ，长半轴长和短半轴长，焦点在长轴上．

x＝3cos θ思考：若本例的参数方程为，(θ为参数)，则如何求椭圆的普通方程和焦点坐标？

y＝5sin θ

x＝3cos θ【解】

将y＝5sin θ

3＝cos θ，，化为y5＝sin θ，xx2y2两式平方相加，得2＋2＝1. 35其中a＝5，b＝3，c＝4. 所以方程的曲线表示焦点在y轴上的椭圆，焦点坐标为F1(0，－4)与F2(0,4)．

x＝－4＋cos tx2y2例2．已知曲线C1：，(t为参数)，曲线C2：＋＝1. 649y＝3＋sin t

(1)化C1为普通方程，C2为参数方程；并说明它们分别表示什么曲线？

π(2)若C1上的点P对应的参数为t＝，Q为C2上的动点，求PQ中点M到直线C3：x－2y－7＝0距离2的最小值．

【思路探究】

(1)参数方程与普通方程互化；(2)由中点坐标公式，用参数θ表示出点M的坐标，根据点到直线的距离公式得到关于θ的函数，转化为求函数的最值．

x＝－4＋cos t，【自主解答】

(1)由

y＝3＋sin t，

cos t＝x＋4，得

sin t＝y－3.∴曲线C1：(x＋4)2＋(y－3)2＝1，

C1表示圆心是(－4,3)，半径是1的圆．

x2y2曲线C2：＋＝1表示中心是坐标原点，焦点在x轴上，长半轴长是8，短半轴长是3的椭圆．

649x＝8cos θ，其参数方程为(θ为参数) y＝3sin θ，π(2)依题设，当t＝时，P(－4,4)；

2且Q(8cos θ，3sin θ)，

3故M(－2＋4cos θ，2＋sin θ)．

2又C3为直线x－2y－7＝0，

5M到C3的距离d＝|4cos θ－3sin θ－13| 5

[来源:Zxxk.Com]

5|5cos(θ＋φ)－13|，

5433485从而当cos θ＝，sin θ＝－时，(其中φ由sin φ＝，cos φ＝确定)cos(θ＋φ)＝1，d取得最小值. 55555总结：1．从第(2)问可以看出椭圆的参数方程在解题中的优越性．

2．第(2)问设计十分新颖，题目的要求就是求动点M的轨迹上的点到直线C3距离的最小值，这个最小值归结为求关于参数θ的函数的最小值．

x22思考：已知点P是椭圆＋y＝1上任意一点，求点P到直线l：x＋2y＝0的距离的最大值．

4x22【解】

因为P为椭圆＋y＝1上任意一点，

4故可设P(2cos θ，sin θ)，其中θ∈[0,2π)．

又直线l：x＋2y＝0. 因此点P到直线l的距离

π22|sinθ＋|4|2cos θ＋2sin θ|d＝＝. 512＋22＝[来源学*科*网]ππ210所以，当sin(θ＋)＝1，即θ＝时，d取得最大值. 445

2．双曲线参数方程的应用

x2y2例3．求证：双曲线2－2＝1(a>0，b>0)上任意一点到两渐近线的距离的乘积是一个定值．

ab【思路探究】

设出双曲线上任一点的坐标，可利用双曲线的参数方程简化运算．

x2y2【自主解答】

由双曲线2－2＝1，得

ab两条渐近线的方程是：bx＋ay＝0，bx－ay＝0，

设双曲线上任一点的坐标为(asec φ，btan φ)，

它到两渐近线的距离分别是d1和d2，

|absec φ＋abtan φ|则d1·d2＝·

b2＋a2|absec φ－abtan φ|

b2＋－a2|a2b2sec2

φ－tan2

φ|a2b2＝＝22(定值)．

a2＋b2a＋b总结：在研究有关圆锥曲线的最值和定值问题时，使用曲线的参数方程非常简捷方便，其中点到直线的距离公式对参数形式的点的坐标仍适用，另外本题要注意公式sec2

φ－tan2

φ＝1的应用．

思考：如图，设P为等轴双曲线x2－y2＝1上的一点，F1、F2是两个焦点，证明：|PF1|·|PF2|＝|OP|2. 【证明】

设P(sec φ，tan φ)，

∵F1(－2，0)，F2(2，0)，

∴|PF1|＝sec φ＋22＋tan2φ

＝2sec2φ＋22secφ＋1，

|PF2|＝sec φ－22＋tan2φ

＝2sec2φ－22sec φ＋1，

|PF1|·|PF2|＝

2sec2φ＋12－8sec2φ＝2sec2φ－1. ∵|OP|2＝sec2φ＋tan2φ＝2sec2φ－1，

∴|PF1|·|PF2|＝|OP|2.

3．抛物线的参数方程

例4．设抛物线y2＝2px的准线为l，焦点为F，顶点为O，P为抛物线上任一点，PQ⊥l于Q，求QF与OP的交点M的轨迹方程．

【思路探究】

解答本题只要解两条直线方程组成的方程组得到交点的参数方程，然后化为普通方程即可．

【自主解答】

设P点的坐标为(2pt2,2pt)(t为参数)，

1当t≠0时，直线OP的方程为y＝x，

tpQF的方程为y＝－2t(x－)，

2它们的交点M(x，y)由方程组

1y＝xt确定，

py＝－2tx－2p两式相乘，消去t，得y2＝－2x(x－)，

222∴点M的轨迹方程为2x－px＋y＝0(x≠0)．

当t＝0时，M(0,0)满足题意，且适合方程2x2－px＋y2＝0. 故所求的轨迹方程为2x2－px＋y2＝0. 2x＝2pt，2总结：1．抛物线y＝2px(p>0)的参数方程为(t为参数)，参数t为任意实数，它表示抛物线y＝2pt上除顶点外的任意一点与原点连线的斜率的倒数．

2．用参数法求动点的轨迹方程，其基本思想是选取适当的参数作为中间变量，使动点的坐标分别与参数有关，从而得到动点的参数方程，然后再消去参数，化为普通方程．

2x＝2pt，思考：已知抛物线的参数方程为(t为参数)，其中p>0，焦点为F，准线为l.过抛物线上一点y＝2ptM作l的垂线，垂足为E，若|EF|＝|MF|，点M的横坐标是3，则p＝________. p【解析】

根据抛物线的参数方程可知抛物线的标准方程是y2＝2px，所以y2所以E(－，±6p)，M＝6p，2ppF(，0)，所以＋3＝p2＋6p，所以p2＋4p－12＝0，解得p＝2(负值舍去)．

22【答案】

2

2x备用例题：如图，已知椭圆＋y2＝1上任一点M(除短轴端点外)与短轴两端点B1、B2的连线分别交x4轴于P、Q两点．



图2－2－2 求证：|OP|·|OQ|为定值．

【命题意图】

本题主要考查椭圆的参数方程的简单应用，考查学生推理与数学计算能力．

【证明】

设M(2cos φ，sin φ)(φ为参数)，

B1(0，－1)，B2(0,1)．

sin φ＋1则MB1的方程：y＋1＝·x，

2cos φ2cos φ令y＝0，则x＝，

sin φ＋12cos φ即|OP|＝||. 1＋sin φsin φ－1MB2的方程：y－1＝x，

2cos φ2cos φ∴|OQ|＝||. 1－sin φ2cos φ2cos φ∴|OP|·|OQ|＝||·||＝4. 1＋sin φ1－sin φ因此|OP|·|OQ|＝4(定值).

x2y2上题其实是一题改造题：(源于人教A版教材第34页习题2.2，第2题)已知椭圆2＋2＝1上任意一点abM(除短轴端点外)与短轴两端点B1，B2的连线分别与x轴交于P、Q两点，O为椭圆的中心．求证：|OP|·|OQ|为定值．

四、小结与作业

参数方程可以实现未知量由多化少的数学解题思想，是普通方程解法的一个有力补充。

作业布置：教材第34页习题2.2 [来源:Zxxk.Com]