2.1.2 曲线的参数方程教学实录及点评

2.1.1曲线的参数方程与圆的参数方程

潮州高级中学

邹涛

【学习目标】

1、根据问题的条件引进适当的参数，写出参数方程，体会参数的意义。

2、能选出适当的参数写出圆的参数方程。

【重点难点】根据几何性质选取恰当的参数，建立圆的参数方程

一、新知导入

探究一：如图，一架救援飞机在离灾区地面500米的高空以100m/s的速度水平直线飞行，为使救援物资准确的落在灾区指定的地面位置（不记空气阻力）。飞行员应如何确定投放时机？

y

500 v=100m/s A （1）由物理知识可知，物资投出机舱后做平抛运动，沿Ox方向以

的速度作匀速直线运动；沿Oy的反方向作

运动。

（2）物资出舱后，在时刻t，它在水平方向的位移量是

，离地面的高度是

（重力加速度是g,g9.8m/s2），即

O x x

y（3）当t6s时，x

，y

（4）救援物资落地时，有

，即

，可得

t

，即得x

（5）由此可得飞行员在离救援点的水平距离约为

m时投放物资，可以使其准确落在指定地点。

探究二：圆周运动是生产生活中常见的，当物体绕定轴作匀速转动时，物体中各个点都作匀

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速圆周运动，那么，怎样刻画运动中点的位置？

（1）设圆O的半径是r，点M从初始位置M0（t0时的位置）出发，按逆时针方向在圆

O上作匀速圆周运动，点M绕点O转动的角速度为，以圆心O为原点，OM0所在的直线为x轴，建立直角坐标系。

（2）显然，点M的位置由时刻t惟一确定，因此可以取t为参数。如果在时刻t，点M转过的角度是，坐标是Mx,y，那么t。设OMr，那么由三角函数定义，有xrcostxycost,sint,即rryrsint(t为参数)

来源学&科&网Z&X&X&K][来源:Zxxk.Com]这就是圆心在原点O，半径为r的圆的参数方程，其中参数t有明确的物理意义（质点作匀速圆周运动的时刻）。考虑到t，也可以取为参数，于是有

xrcosyrsin二、新知总结

(为参数)

1、参数方程的定义：

一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线C上任一点M的坐标x和y都可以表示为某xf(t)个变量t的函数：，反过来，对于t的每个允许值，由方程组

所yg(t)确定的点M(x,y)都在曲线C上，那么方程

xf(t)叫做曲线C的

，联系yg(t)变数x和y的变数t是参变数，简称

，相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做

。

2、关于参数几点说明：

（1）参数方程中参数可以是有物理意义，几何意义，也可以没有明显意义。

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（2）同一曲线选取的参数不同，曲线的参数方程形式也不一样

（3）在实际问题中要确定参数的取值范围

3、参数方程的意义：

参数方程是曲线点的位置的另一种表示形式，它借助于中间变量把曲线上的动点的两个坐标间接地联系起来，参数方程与变通方程同等地描述，了解曲线，参数方程实际上是一个方程组，其中x，y分别为曲线上点M的横坐标和纵坐标。

4、参数方程求法

（1）建立直角坐标系，设曲线上任一点P坐标为(x,y)

（2）选取适当的参数

（3）根据已知条件和图形的几何性质，物理意义，建立点P坐标与参数的函数式

（4）证明这个参数方程就是所由于的曲线的方程

5、关于参数方程中参数的选取

选取参数的原则是曲线上任一点坐标当参数的关系比较明显关系相对简单。

（1）与运动有关的问题选取时间t做参数

（2）与旋转的有关问题选取角做参数

（3）或选取有向线段的数量、长度、直线的倾斜斜角、斜率等。

2、圆的参数方程：

（1）若圆心为(0,0)，半径为r，则圆的普通方程为

，圆的极坐标方程为

（2）若圆心为(a,b)，半径为r，则圆的普通方程为

，圆的极坐标方程为

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三、探究训练

探究一：参数方程的概念

例1：已知曲线C的参数方程是x3t2y2t1

(t为参数) （1）判断点M1(0,1),M2(5,4)与曲线C的位置关系；

（2）已知点M3(6,a)在曲线C上，求a的值。

xsin变式训练1：下列哪个点在曲线ycos2(为参数)上（

）

1211A．(2,7)

B．(,)

C．(,)

D．(1,0)

3322变式训练2：对于曲线上任一点Mx,y，下列哪个方程是以t为参数的参数方程（

）

A、yx2tx3

B、yt22t1

x2cosxt2C、

D、

2y2siny1t探究二：圆的参数方程

例2：圆O的半径为2，P是圆上的动点，Q6,0是x轴上的定点，M是PQ的中点，当点P绕O作匀速圆周运动时，求点M的轨迹的参数方程. 变式训:3：下列参数方程中，表示圆心在(1,0)，半径为1的圆的参数方程为（ ）

A、xcosx1cosxcosx1cos

B、

C、

D、

ysinysiny1siny1sin探究三：圆的参数方程的应用

例3：已知P(x,y)是圆心在(1,1)，半径为2的圆上任意一点，求xy的最大值和最小值。

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