平面直角坐标系中的位似优秀教学设计

25.3位似（第二课时）

梁屯学校

周艳丽

教材分析：

《位似》是人教版九年级下册第二十七章《相似三角形》的第二节。本节课内容是在平面直角坐系下研究位似图形的点的坐标的变化特点及应用这个特点画图，是在平面直角坐标系下研究相似变换的基础，在学习本节课前学生已学***面内画位似图形，在平面直角坐标系中画平移、轴对称和旋转（中心对称），由于一般的相似变换在平面直角坐标系下的描述比较复杂，所以只研究平面直角坐标系下的位似变换，而且是位似中心在原点的特殊情况，也是最简单的情况。在生活和生产中有时需要放大（或缩小）一个图形，利用位似（特别是利用平面直角坐系下的位似）可以很方便地将一个图形放大或缩小，学习本节知识有一定的实际意义。

教学目标：

知识目标：（1）理解平面直角坐标系中，位似图形对应点的坐标之间的联系．

（2）能够熟练准确地利用坐标变化将一个图形放大与缩小．

能力目标：

（1）学生会在平面直角坐标系中将一个图形放大或缩小，画出其位似图形

（2）通过对问题的分析,能够熟练准确地利用坐标变化将一个图形放大与缩小．

情感目标：培养学生动手操作的良好习惯，以积极进取的思想探究数学学科知识，体会本节知识的实际应用价值和文化价值。

教学重点：

（1）理解平面直角坐标系中，位似图形对应点的坐标之间的联系．

（2）能够熟练准确地利用坐标变化将一个图形放大与缩小．

教学难点：平面直角坐标系中，位似图形对应点的坐标之间的联系

学情分析：

位似是相似的延续，学生已经学习了相似的相关知识，对图形已经有了丰富的认知基础，教学中通过实际生活中的图形引入，对位似图形有一个直观的认识，同时也体现了位似知识存在的必要性，增强学习的兴趣和信念．本节教学中应该注重学生自我动手操作能力的培养，使

1

学生重视作图的准确性和规范性． 在形成位似图形的概念，探索位似图形的性质过程中，强调讨论和探究，提高学生分析问题、解决问题、发现和创新的能力，对初三学生是必须的，也是适可的．

本课的教学重点是

理解平面直角坐标系中，位似图形对应点的坐标之间的联系．并能够熟练准确地利用坐标变化将一个图形放大与缩小值得注意的是在解决位似图形中对应点的坐标关系时，不可忽略坐标比为－k这种情况．在平面直角坐标系中，以原点为位似中心作一个图形的位似图形可以作两个．当位似图形在原点同侧时，其对应顶点的坐标的比为k；当位似图形在原点两侧时，其对应顶点的坐标的比为－k．当k＞1时，图形扩大为原来的k倍；当0＜k＜1时，图形缩小为原来的k倍．

学生学法：自主探究，小组合作

教学准备：ppt

，学案

教学过程：

一、创设情景 明确目标

在前面几册教科书中，我们学***面直角坐标系中，如何用坐标表示某些平移、轴对称、旋转（中心对称）等变换，相似也是一种图形的变换，一些特殊的相似（如位似）也可以用图形坐标的变化来表示．

本节课就来学习这方面的知识．

二、合作探究

达成目标

探究点一：坐标系中的位似

问题：活动1：阅读教材第48页“探究”及第49页的例题．

思考：1. 如图所示，△AOB的A、B两顶点的坐标分别为A（3，0），B（3，2），若△AOB与△DOE为位似图形，且位似比为3:2，则D点坐标为__________，E点的坐

标为

．

2

2. 在课本P49页图27.3-4中，画出△ABO在第四象限的位似图形．

【思路分析】

在平面直角坐标系中，如果位似是以原点为位似中心的，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比是k或-k．根据以上性质列方程求解．

【解析过程】

解：设D的坐标（x,0）, 设E的坐标（x,a）, ∵△AOB与△DOE为位似图形，且位似比为3︰2, △AOB的A、B两顶点的坐标分别为A（3，0），B（3，2）

∴解得：x=-2,a=- ∴D(-2，0);E（-2，-4/3）

【答案】D(-2，0);E（-2，-4/3）

【总结】

本题是在平面直角坐标系中，如果位似是以原点为位似中心的，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比是k或-k的直接应用．记牢性质，会列方程就能顺利解决．

设计意图：有直观的图形体会数学与实际的关联性，数学知识不是孤立的。引导学生先动手画图，再观察图形变化及与原图形的关系，最后将图形变化与有直观的图形体会数学与实际的关联性，数学知识不是孤立的。说明：关于坐标原点位似的图形的坐标特征。在平面直角坐标系中,如果位似变换是以原点为位似中心,相似比为k,那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k.坐标变化联系起来。

问题1．如图，小朋在坐标系中以A为位似中心画了两个位似的直角三角形，可不小心把E点弄脏了，则E点坐标为（ A ）

A．(4，－3)

3

B．(4，－2) C．(4，－4) D．(4，－6)

师生活动：学生观察图形，依据位似图形的概念进行判断．

利用本题让学生学会使用定义，如何在平面直角坐标系中，以原点为位似中心，理解一个图形的位似图形。

设计意图：

利用本题让学生学会使用定义，如何在平面直角坐标系中，以原点为位似中心，理解一个图形的位似图形。

探究点二：平面直角坐标系中的图形变换

活动2：将图中的△ABC做下列运动，画出相应的图形，指出三个顶点的坐标所发生的变化．

（1）沿y轴正向平移3个单位长度；

（2）关于x轴对称；

（3）以C为位似中心，将△ABC放大2倍；

（4）以C为中心，将△ABC顺时针旋转180°．

思考：截止现在，你总共学了哪些图形变换？它们有何异同点？ 设计意图：引导学生先动手画图，再观察图形变化及与原图形的关系，最后将图形变化与有直观的图形体会数学与实际的关联性，数学知识不是孤立的。

小组讨论2：怎样用坐标变化来表示平移、翻折、旋转（中心对称）、位似这几种变换？

【反思小结】在平面直角坐标系中，图形经过平移、翻折、旋转（中心对称）、位似变换后，点的坐标会发生相应的变化，用坐标变化可以表示平移、翻折、旋转（中心对称）、位似等变换．至于平移、翻折、中心对称变换，请同学们回忆思考．

【针对练二】

2.

如图，△ABC在方格纸中．

（1）请在方格纸上建立平面直角坐标系，使A（2，3），C（6，2），并求出B点坐标；

（2）以原点O为位似中心，相似比为2，在第一象限内将△ABC放大，画出放大后的图形△A′B′C′．

4

（3）计算△A′B′C′的面积S．

解：（1）画出原点O，x轴、y轴．B（2，1）．

（2）画出图形△A′B′C′

（3）S=16

设计意图：

请同学们回忆思考图形变换。在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或－k．在坐标系中进行与位似有关的计算和画图，均是据此进行．

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问：（1）估计时除了观察数据，观察图表，还有其他你觉得误差较小的方法吗？

（2）我们是真做了实验吗？

（3）我们可以据此估计全世界这种幼树的成活率吗？

5小结：通过刚才的探究过程，我们明白了对于非等可能性事件的概率，通常采用实验的方法利用频率去估计概率。当实验次数足够大，频率稳定在某个数值时，我们就把这个数值作为概率的估计值。

总结梳理 内化目标

在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或－k．在坐标系中进行与位似有关的计算和画图，均是据此进行． 达标检测 反思目标

1．将平面直角坐标系中某个图案的各点坐标作

如下变化，其中属于位似变换的是（ C ）

A．将各点的纵坐标乘以2，横坐标不变 B．将各点的横坐标除以2，纵坐标不变

C．将各点的横坐标、纵坐标都乘以2 D．将各点的纵坐标减去2，横坐标加上2 解析：位似图形是相似图形的特例，相似图形不一定是位似图形，故答案应选择C．

设计意图：引导学生理解位似与平面直角坐标系的关系在平面直角坐标系中,如果位似变换是以原点为位似中心,相似比为k,那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k.坐标变化联系起来。

2. 已知△ABC三个顶点的坐标分别为（1，2），（－2

，3），（－1，0），把它们的横坐标和纵坐标分别

变成原来的2倍，得到点A′，B′，C′．下列说法

正确的是（

）

A．△A′B′C′与△ABC是位似图形，位似中心是点（1，0）

B．△A′B′C′与△ABC是位似图形，位似中心是点（0，0）

C．△A′B′C′与△ABC是相似图形，但不是位似图形

D．△A′B′C′与△ABC不是相似图形考查目的：考查位似图形的概念和性质．

答案：B．

解答：解：∵△ABC三个顶点的坐标分别为（1，2），（-2，3），（-1，0），把它们的横坐标和纵坐标都扩大到原来的2倍

∴点A′，B′，C′的坐标分别为（2，4），（-4，6），（-2，0）

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∴直线AA′，BB′，CC′得解析式分别为y=2x，y=- x，y=0 ∴对应点的连线交于原点

∴△A′B′C′与△ABC是位似图形，位似中心是点（0，0）

故选B．

设计意图：考查了学生位似的相关知识，便于理解位似是相似的特殊形式，位似图形的对应点的连线交于一点．

3．如图所示，某学习小组在讨论

“变化的鱼” 时，知道大鱼与小鱼是位似图形，则小鱼上

的点（a，b）对应大鱼上的点( ) A．（－2a，－2b） B．（－a，－2b） C．（－2b，－2a） D．（－2a，－b） 答案：A

解析：位似图形必定相似，具备相似形的性质，△ADE与△ABC相似比为1∶2，则面积比为1∶4，所以△ADE与四边形DBCE的面积比为1∶3，故答案应选择B．

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设计意图：本题主要考查位似变换中对应点的坐标的变化规律．让学生应用知识在平面直角坐标系中，明白如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为1：2．

4．如图，正方形ABCD和正方形OEFG中, 点A和

点F的坐标分别为 (3，2)，(－1，－1)，则两个

正方形的位似中心的坐标是 ______________________ 答案： （1，0）或（－5，－2）

【解析】若A、E是一对对应点,B、F是另一对对应点。直线AE与BF交于M,过M作MP⊥X轴。因为ME/MA＝EF/AB＝1/2所以ME/EA＝1。因为MN/AB＝EP/EB＝ME/EA＝1。所以MN＝AB＝2,EN＝EB＝4。所以OP＝5，所以M点的坐标是(－5,－2)。

情形一：若A、G是一对对应点,O、B是另一对对应点连接AG交OB于N则ON/BN＝OG/AB＝1/2。因为OB＝3所以ON＝1所以N点的坐标是(1,0)综上所述,两个正方形的位似中心的坐标是(－5,－2)、(1,0) 设计意图：考察学生位似变换中对应点的坐标的变化规律．因而本题应分两种情况讨论，一种是当E和C是对应顶点，G和A是对应顶点；另一种是A和E是对应顶点，C和G是对应顶点．便于学生解位似与平面直角坐标系的关系。

5．已知△ABC的三个顶点坐标如下表：

（1）将下表补充完整，并在直角坐标系中，画出△A′B′C′；

（2）观察△ABC与△A′B′C′，写出有关这两个三角形关系的一个正确结论．

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解：（1）

（2）△A′B′C′是△ABC放大2倍的位似图形．也可写出有关两三角形形状、大小、位置等关系，如△ABC∽△A′B′C′、周长比、相似比、位似比等均给．

设计意图：考察学生直角坐标系，位似图形的知识。让学生在平面直角坐标系中利用周长比、相似比、位似比等解题。

四、自主整理，归纳内化

问题：学到这里，你有哪些收获？

教师追问：1.这里我们是真的做了实验吗？

2.我们可以据此估计全世界这种幼树的成活率吗？

（设计意图：这个环节充分发挥学生的主体意识，培养学生的数学语言概述能。教师追问使得学生的数学思维更为严谨和完备。）

归纳小结，反思提高

请学生总结今天这节课所学内容．

教师引导学生小结：

1．位似图形对应点的坐标之间的联系．

2．能否利用坐标变化将一个图形放大与缩小．

上交作业：教科书第51页第5题

．

9

课后作业：“学生用书”的课后作业部分．五、目标检测设计

板书

设计 1.在平面直角坐标系中,如果位似变换是以原点为位似中心,相似比为k,那么位似图形对

应点的坐标的比等于k或-k. 2.

当位似图形在原点同侧时，其对应顶点的坐标的比为k；当位似图形在原点两侧时，其对应顶点的坐标的比为－k．当k＞1时，图形扩大为原来的k倍；当0＜k＜1时，图形缩小为原来的k倍．

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