5.4 二次函数与一元二次方程教学实录

5.4二次函数与一元二次方程

一、学习目标: 1、经历探索二次函数与一元二次方程关系的过程，体会方程与函数之间的关系。

2、理解二次函数的图象与x轴公共点的个数与相应的一元二次方程根的对应关系。

3、进一步体验数形结合的数学方法。

二、教学重点：二次函数与一元二次方程关系

三、教学难点：理解二次函数与一元二次方程关系，关键能数形结合。

四、教学过程：

（一）思考与探索：二次函数y=x2-2x-3与一元二次方程x2-2x-3=0有怎样的关系？

1、从关系式看二次函数y=x2-2x-3成为一元二次方程x2-2x-3=0的条件是什么？

2、反应在图象上：观察二次函数y=x2-2x-3的图象，你能确定一元二次方程x2-2x-3=0的根吗？

3、结论：

一般地，如果二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有两个公共点（x1,0）、(x2,0),那么一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根x=x1、x=x2。反过来也成立。

4、观察与思考：

观察下列图象：

（1）观察函数y= x2-6x+9与y= x2-2x+3的图象与x轴的公共点的个数；

（2）判断一元二次方程x2-6x+9=0和x2-2x+3=0的根的情况；

（3）你能利用图象解释一元二次方程的根的不同情况吗？

（二）归纳提高：

一般地，二次函数y=ax2+bx+c图象与一元二次方程ax2+bx+c=0的根有如下关系：

1、如果二次函数y=ax2+bx+c图象与x轴有两个交点（m,0）、(n,0),那么一元二次方程ax2+bx+c=0有

实数根x1=

,x2=

.

2、如果二次函数y=ax2+bx+c图象与x轴有一个交点（m,0）,那么一元二次方程ax2+bx+c=0有

实数根x1=x2=

.

3、如果二次函数y=ax2+bx+c图象与x轴没有交点,那么一元二次方程ax2+bx+c=0

实数根.

反过来，由一元二次方程ax2+bx+c=0的根的情况可以判断二次函数y=ax2+bx+c图象与x轴的交点个数。

当Δ=b4ac>0时，一元二次方程ax2+bx+c=0的根的情况是

，此时二次函数y=ax2+bx+c图象与x轴有

交点；

当Δ=b4ac=0时，一元二次方程ax2+bx+c=0的根的情况是

，此时二次函数y=ax2+bx+c图象与x轴有

交点；

当Δ=b4ac<0时，一元二次方程ax2+bx+c=0的根的情况是

，此时二次函数y=ax2+bx+c图象与x轴有

交点. (三)巩固拓展：

1、不画图象，你能说出函数y=-x2+x+6与x轴的交点坐标吗？

2、判断下列函数的图象与x轴是否有公共点，说明理由. （1）y=x2-x

(2)y=-x2+6x-9

(3)y=3x2+6x+11

3、已知二次函数y=x2-4x+k+2与x轴有公共点，求k的取值范围.

（四）随堂练习：

1、方程

x

2



4

x



5



0

的根是

；则函数

y



x

2

x



5

的图象与x轴的交点有



4个，其坐标是

．

2、方程



x

2



10

x



25



0的根是

；则函数

y





x

2

x



25

的图象与x轴的交点

10有

个，其坐标是

．

3、下列函数的图象中，与x轴没有公共点的是（

）

(A)yx22(D)yx2x2(C)yx26x9(B)yx2x

（五）应用：

1、打高尔夫球时

，球的飞行路线可以看成是一条抛物线，如果不考虑空气的阻力，某次球的飞行高度y（单位：米）与飞行距离x（单位：百米）满足二次函数

：y= -5x2+20x，这个球飞行的水平距离最远是多少米？球的飞行高度能否达到40m？

X(百米)

2、当一枚火箭竖直向上发射时。它的高度h(m)与时间t(s)的关系可以用h=-5t2+150t+10表示，经过多长时间，火箭到达发射的最高点？最高点的高度是多少？

y(米）

10 A o O 1 2 3 4