5.1 二次函数板书设计

5.1

二次函数

苏州工业园区星洋学校 徐存 215000 [教材简解] 二次函数是初中阶段研究的最后一个具体的函数，也是最重要的，在历年来的学业水平测试中占有较大比例。同时，二次函数和以前学过的一元二次方程有着密切的联系。进一步学习二次函数将为它们的解法提供新的方法和途径，并使学生更为深刻的理解“数形结合”的重要思想。而本节课的二次函数的概念是学习二次函数的基础，是为后来学习二次函数的图象做铺垫。所以这节课在整个教材中具有承上启下的重要作用.

[目标预设] （1）掌握二次函数的概念，并会辨析二次函数. （2）复习旧知，通过实际问题的引入，经历二次函数概念的探索过程，提高学生解决问题的能力．

（3）通过观察、操作、交流归纳等数学活动加深对二次函数概念的理解，发展学生的数学思维，增强学好数学的信心．

[重点、难点] 重点：对二次函数概念的理解。

难点：加深对函数概念的理解．

[设计理念] 新课改的教学过程始终以学生为学习的主体，教师是学习的组织者，教学的一切活动都必须以强调学生的主动性、积极性为出发点。根据这一教学理念，结合本节课的内容特点，本节课我采用启发、讨论以及讲练结合（以练为主）的教学方法，以问题的提出、问题的解决为主线，通过基础的练习题目让学生主动参与课堂学习，以独立思考和相互交流的形式，在教师的指导下发现、分析和解决问题，在引导分析时，给学生流出足够的思考时间和空间，让学生去联想、探索，从真正意义上完成对知识的自我建构。

[设计思路] 1复习旧知，埋下伏笔；

2问题导入，引出概念；

3深入分析，理解概念；

4例题精练，应用概念；

5基础闯关，巩固概念；

6拓展延伸，提高能力；

7归纳小结，强化思想；

8分层作业，各尽发展。

[教学过程] （一）复习旧知，埋下伏笔

1．什么叫函数？我们之前学过了那些函数？

（一次函数，正比例函数，反比例函数）

2．它们的形式是怎样的? y=kx+b(k≠0)；y=kx ( k≠0)；y=k（k≠0) x3．一次函数(y=kx+b)的自变量是什么？函数是什么？常量是什么？为什么要有k≠0的条件？ k值对函数性质有什么影响？

【设计意图】复习这些问题是为了帮助学生弄清自变量、函数、常量等概念，加深对函数定义的理解．强调k≠0的条件，以备与二次函数中的a进行比较．

（二）问题导入，引出概念；

函数是研究两个变量在某变化过程中的相互关系，我们已学过正比例函数，反比例函数和一次函数。看下面问题中两个变量之间存在怎样的关系。

问题1 若周长为16的矩形，一边长为x,则矩形面积y与x之间的关系？

yx(8x)x28x

问题2 水滴激起的波纹不断向外扩展,，扩大圆的面积s (cm²)与半径r之间的关系是什么? sr2

问题3 某种服装，平均每天可销售20件，每件盈利44元;若每件降价1元，则每天可多售5件。如果每件降价x元,求总利润y与x之间关系？ y(205x)(44x)5x2200x880

【设计意图】用问题串的方式，引导学生经历探究实际问题中两个变量之

间的数量关系，写出函数关系式的过程，感受将实际问题数学化的基本方法．

教师提问：

以上三个例子所列出的函数与一次函数有何相同点与不同点？你能类比一次函数的形式,说出二次函数的一般形式吗? 定义：一般地，形如y＝ax2＋bx＋c（a≠0，a、b、c为常数）的函数叫二次函数．其中x是自变量，y是x的函数．

通常，二次函数的自变量x可以是任意实数，如果二次函数的自变量表示实际问题中的某个量，那么它的取值范围受到实际意义的限制．

【设计意图】

学生类比一次函数一般式归纳总结二次函数的概念．通过观察、思考、交流等活动，让学生归纳二次函数的定义，明确二次函数自变量的取值范围．

（三）深入分析，理解概念；

巩固对二次函数概念的理解：

1、强调“形如”，即由“形”来定义函数名称。二次函数即y 是关于x的二次多项式(关于的x代数式一定要是整式）。

2、在 y=ax2+bx+c 中自变量是x ,它的取值范围是一切实数。但在实际问题中，自变量的取值范围是使实际问题有意义的值。

（如例1中要求0x8）

3、为什么二次函数定义中要求a≠0 ？

(若a=0，ax2＋bx+c就不是关于x的二次多项式了) 4、二次函数成立的条件？

（二次项的系数不等于零，未知数的最高次必须为二次）

5、在例3中，二次函数y5x2200x880中，a=-5，b=200，c=880．

6、b和c是否可以为零？

由例1,例2可知，b和c均可为零．

若b=0，则y=ax2＋c；

若c=0，则y=ax2＋bx；

若b=c=0，则y=ax2．

注明：以上三种形式都是二次函数的特殊形式，而y=ax2+bx+c是二次函数

的一般形式．

【设计意图】这里强调对二次函数概念的理解，有助于学生更好地理解，掌握二次函数的具体特征，特别是形式上的具体特征，为接下来能够准确的判断二次函数做好铺垫，打下基础。

（四）例题精练，应用概念；

例1.判断下列函数是否为二次函数，如果是，请指出其中的a、b、c的值。

(1) y13x2； (2)y=x(x－5)； (3) y3x233x2；

1 (4)y＝(x＋2)(2－x)； (5) y = 2

； (6) y = x2+2x-4 ； 3x+2x+1(7) y =x4+2x2-1 ； (8)y=ax2+bx+c

练习：下列函数中，二次函数是（ ）

662A．y=6x＋1 B．y=6x＋1 C．y=x＋1 D．y=x2＋1 例2. (1) m取哪些值时，函数y(m1)x23x1是以x为自变量的二次函数？

(2) m取哪些值时，函数是y3x

变式：当k为何值时，函数y(m1)x

【设计意图】理论学习完二次函数的概念后，让学生在实践中感悟什么样的函数是二次函数，将理论知识应用到实践操作中。在这儿一定强调清楚如：例1中（5）（6）（7）（8）等不是二次函数的原因，旨在让学生从二次函数的形式与实质两方面理解二次函数的概念。例2是先从系数考虑，再从指数考虑，层层深入最后变式将其综合在一起，提高了综合解题能力。

（五）基础闯关，巩固概念；

1.

函数y=（m－n）x2＋mx＋n是二次函数的条件是（ ）

A．m、n为常数，且m≠0

B．m、n为常数，且m≠n C．m、n为常数，且n≠0

D．m、n可以为任何常数

2.

二次函数y=x2﹣x﹣2=0的二次项系数是

，一次项系数是

，常数项是

．

3.

若一个边长为x的无盖正方体纸盒的表面积为ycm2，则y= ,其中

m2mm2m3x1以x为自变量的二次函数？

5x1为二次函数？

x的取值范围是 . 【设计意图】通过简单题目的练习巩固，让学生体验到成功的欢愉，激发他们学习数学的兴趣，建立学好数学的信心。

（六）拓展延伸，提高能力；

1. 已知二次函数y=ax2＋bx＋c，当 x=0时，y=0；x=1时，y=2；x= -1时，y=1．求a、b、c．

【设计意图】在此稍微渗透简单的用待定系数法求二次函数解析式的问题，既复习了三元一次方程的解法，也为后面的教学做个铺垫。

（七）归纳小结，强化思想；

本节课你有哪些收获？还有什么不清楚的地方? 【设计意图】让学生来谈本节课的收获，培养学生自我检查、自我小结的良好习惯，将知识进行整理并系统化。而且由此可了解到学生还有哪些不清楚的地方，以便在今后的教学中补充。

（八）分层作业，各尽发展；

必做题：

2121.

下列函数：（1）y=3x2++1；(2)y=x2+5；(3)y=(x-3)2-x2；(4)y=1+x-2x，

6x属于二次函数的是

(填序号). 2.

某厂今年一月份新产品的研发资金为a元，以后每月新产品的研发资金与上

月相比增长率都是x，则该厂今年三月份新产品的研发资金y（元）关于x

的函数关系式为y= ．

3.

如图，用50m长的护栏围成一块靠墙的矩形花园，则花园的面积y（m2）与

边长x（m）之间的函数关系式为_____________，x的取值范围是___________。

x

_4.如图，在长200m，宽80m的矩形广场内修建等宽的十字形道路，则陆地面积

y（m）与路宽边长x（m）之间的函数关系式为_____________。

2选做题：

1.已知函数y(m3)xm27是二次函数，求m的值。

2.试在平面直角坐标系画出二次函数y=x2和y=-x2图象

【设计意图】作业中分为必做题与选做题，实施分层教学，不同的人得到不

同的发展。另外通过预习二次函数的图象的画法，旨在激发学生继续学习二次函数图象的兴趣，为学习下节课打下基础。

板书设计: 5.1 二次函数

例1 二次函数的概念

二次函数一般式

注意点: ①

② 例2 ③

设计感言:

本节的一个知识点就是二次函数的概念，教学中教师不能直接给出，而要让学生自己在分析、揭示实际问题的数量关系并把实际问题转化为数学模型的过程中，使学生感受函数是刻画现实世界数量关系的有效模型，增加对二次函数的感性认识，侧重点通过实际问题的探究引导学生自己归纳出这种新的函数——二次函数，进一步感受数学在生活中的广泛应用。