相似三角形的对应线段的关系教案1

4.7 相似三角形的性质（一）教学设计

成都八中

陈玉英

一、学生知识状况分析

学生在之前七年级已经学习了全等图形判定和性质，对全等三角形的对应边的比已有所了解。在本章又学习了相似图形的判定条件，对相似图形，特别是相似三角形已有一定的认识。通过前面的学习学生已经历了一些关于相似三角形性质的探究。例如，利用相似三角形测量旗杆的高度等实际问题，感受到了数学的实际价值，利用相似三角形的性质的解决问题的活动经验。本节主要研究相似三角形对应高的比、对应角平分线的比、对应中线的比都等于相似比这一性质，九年级学生在以前的数学学习中已经经历了很多合作学习过程，具有了一定的学习经验，学生间相互评价、相互提问的积极性高，因此，参与有关性质的实践探究活动的热情应该是比较高的。

二、教学任务分析

教材基于学生对相似三角形的性质的基础上，提出了本课的学习任务：理解相似三角形的性质，让学生经历探索相似三角形性质的过程，并在探索过程中，发展学生积极的情感、态度、价值观、体现解决问题策略的多样性，同时也力图在学习过程中，逐步达成学生的有关情感态度目标。为此本节课的教学目标是：

（一）知识目标：经历探索相似三角形中对应线段比值与相似比的关系的过程，理解相似三角形的性质。利用相似三角形的性质解决一些实际问题. （二）能力目标：培养学生的探索精神和合作意识；通过运用相似三角形的性质，增强学生的应用意识.在探索过程中发展学生类比的数学思想及全面思考的思维品质. （三）情感与价值观目标：在探索过程中发展学生积极的情感、态度、价值观，体现解决问题策略的多样性. 三、教学过程分析

本节课设计了五个教学环节：第一环节：知识回顾，复习相似三角形的判定方法和定义；第二环节：探究相似三角形对应高的比，类比探究相似三角形对应中线的比、对应角平分线的比，并且拓展引申为相似三角形的对应线段之比等于

相似比；第三环节：学以致用（相似三角形性质的应用）；第四环节：课堂小结（初步升华所学内容）；第五环节：布置作业。

第一环节：知识回顾

1、相似三角形的判定方法：

（1）定义法： （2）平行法: （3）判定方法1：两角对应相等的两个三角形相似； 判定方法2：两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似； 判定方法3：三边对应成比例的两个三角形相似。 特别的，满足斜边和一条直角边对应成比例的两个直角三角形相似。 2、相似多边形的对应边、对应角有什么关系吗？

第二环节：探究相似三角形的性质

1、探究相似三角形对应高的比

已知：如图，△A B C ∽

△A′B′C′，相似比为k, CD 和

C′D′分别是

AB 和A′B′上的高。 求证：CD: C′D′ = k 2、类比探究相似三角形对应角平分线、对应中线的比

如图：已知△ABC∽△A′B′C′，相似比为k，AD平分∠BAC，A/D/平分∠B/A/C/；E、E/分别为BC、B/C/的中点。试探究AD与 A/D/的比值关系，AE与A/E/呢？

要求：类比探究，小组合作，至少证明其中一个结论. A

B D E C B/

D

E

//A/

C/

证明：∵△ABC∽△A′B′C′

∴BACB/A/C/ ∠B=∠B′AB=k

//AB∵AD平分∠BAC，A/D/平分∠B/A/C/

∴BADB/A/D/

∴△BAD∽△B/A/D/（两个角分别相等的两个三角形相似）

∴ABBDAD===k

A/B/B/D/A/D/证明：∵△ABC∽△A′B′C′

∴

∠B=∠B′/ABBC==k

A/B/B/C///∵E、E分别为BC、BC的中点

∴BE11BC,B/E/B/C/

22∴BEBC=

B/E/B/C/∵ABBC==k ////ABBCABBE==k A/B/B/E/∴∵∠B=∠B′

∴△BAE∽△B/A/E/（两边成比例且夹角相等的两个三角形相似）

∴ABBEAE===k

A/B/B/E/A/E/小结：. 相似三角形对应的高的比、对应角平分线的比和对应中线的比都等于相似比. 3、拓展相似三角形的性质

我们已经得到了相似三角形中特殊线段的关系，如果把角平分线、中线变为对应角的三等分线、四等分线、…n等分线，对应边的三等分线、四等分线、…n等分线，那么它们也具有特殊关系吗？下面请同学们独立探索以下问题：

（1）解：∵△ABC∽△A′B′C′

∴BACB/A/C/

∠B=∠B′AB=k

A/B/∵BAD11BAC,B/A/D/B/A/C/

33∴BADB/A/D/

∴△BAD∽△B/A/D/（两个角分别相等的两个三角形相似）

∴ABBDAD===k

//////ABBDAD（2）解：∵△ABC∽△A′B′C′

∴

∠B=∠B′ABBC==k

////ABBC∵BE11BC,B/E/B/C/

33∴BEBC=

B/E/B/C/ABBC==k ////ABBCABBE==k A/B/B/E/∵∴∵∠B=∠B′

∴△BAE∽△B/A/E/（两边成比例且夹角相等的两个三角形相似）

∴ABBEAE===k A/B/B/E/A/E/小结：相似三角形对应角的n等分线的比和对应边的n等分线的比等于相似比。

相似三角形对应线段的比等于相似比。

第三环节：学以致用（相似三角形的性质的应用）

练习：

(1)已知:△ABC ∽

△ A′B′C′

，相似比为 :1， AD和A′D′为∠BAC 2

和∠ B′A′C′的平分线，AD = 32，

则 A′D′ = 。 (2)如果两个相似三角形对应边的比是2：3，它们的一条对应高的差为5cm，则这两条对应高的长分别是 。 (3) 如图，△ABC 中,DE ∥BC ，AD = 3，DB = 2，AH⊥BC于点 H，

交DE于点

G，若AH =4，则

GH =

。

例题：

如图，△ABC是一张锐角三角形的硬纸片，AD是边BC上的高，BC=40cm，AD=30cm。从这张硬纸片上剪

下一个长是宽2倍的矩形EFGH，使它的一边EF在BC上，顶点G、H分别在AC、AB上，AD和GH的交点为M。

（１）求证： AMHG=

ADBC（２）求这个矩形的面积。

变式练习1：若把题中的矩形EFGH改为“正方形EFGH”,那面积又为多少呢？

变式练习2：现有一块直角三角形的边角材料，两条直角边分别长6cm和8cm，想利用这一边角材料裁剪出一个面积最大的正方形，甲、乙两位同学设计了如下的两种方案，你认为哪位同学的方案更好？试说明理由。

变式练习3：如图,△ABC 中,∠B=45 °，BC=5，高AD=4，矩形EFPQ的一边Q P在BC上，点E、F分别在AB、AC上，AD交EF于点H，设EF=x，当x为何值时，矩形 EFPQ 的面积最大？并求出最大面积。

第四环节：课堂小结（初步升华所学内容）

收获知识：

1、相似三角形对应高的比,对应角平分线的比,对应中线的比都等于相似比。

2、拓展引申：相似三角形对应线段的比等于相似比。

思想方法：

类比的数学思想

第五环节：课后作业

1、完成学案上的例题和练习题；

2、《新课堂》92——94页§4.7第一课时。

四、课后反思

相似图形是现实生活中广泛存在的现象，探索相似图形的一些重要性质的过程，不仅可以是学生更好地认识、描述物体的形状，体会图形相似在刻画现实世界中的重要作用，而且也可以通过解决现实世界中的具体问题，提高学生应用数学的意识和合作交流的能力。因此教学中注意让学生充分经历从具体到抽象，再由抽象上升到具体的学习过程，逐步综合运用以前所学过的研究图形性质的各种方法，逐步加强逻辑推理能力，在教学中，教师要引导学生充分挖掘和利用相似图形中的共同规律，培养学生从图形的角度分析现实问题、提出相关的数学问题

并加以适当解决的自觉意识和能力.教师要有意识地体现从直觉发现到自觉说理的过渡，逐步提高逻辑推理要求.