章前引言及二元一次方程组优质课教案推荐

8.1二元一次方程组

襄阳市实验中学

杨

慧

一、内容和内容解析

1.内容

人教版《义务教育教科书·数学》七年级下册第八章“二元一次方程组”第一节8.1“二元一次方程组”.

2.内容解析

根据《课程标准（2011年版）》的要求，方程是刻画现实世界实际意义的必要模型，在实际生活中有着广泛的应用。学生在七年级上册已学过一元一次方程，已经具备列一元一次方程解决实际问题的经验基础，为本节的学习已做好知识储备，本章再次重建方程教学的内容体系，本节课以激发学生的认知冲突为目标，为后继其它方程的学习做好迁移和铺垫。教学中从实际问题出发，通过引导学生经历自主探索和合作交流等活动，认识二元一次方程、二元一次方程组及其解等基本概念，突出建模思想，使学生逐步认识到建立方程（组）是解决实际问题的基本途径之一，逐步培养学生的类比分析和归纳概括能力，渗透变与不变的辨证统一思想。

在实际问题中，根据两个等量关系直接列二元一次方程，比列一元一次方程更容易，而二元一次方程有无数个解，是与一元一次方程的解不同之处。二元一次方程组的解是两个方程的公共解。

基于以上分析，确定本节课的教学重点是：掌握二元一次方程及二元一次方程组的相关概念。

二、目标和目标解析

1.目标

（1）掌握二元一次方程（组）及其解的概念，会判断一对数是否是二元一次方程（组）的解。

（2）会用类比的思想进行知识迁移，会用方程的思想解决实际问题，初步体会数学建模思想. （3）在经历数学活动的过程中,体会探索的乐趣，培养学生的合作意识、数学应用意识和探索创新精神. 2.目标解析

达成目标（1）的标志是：学生会判断哪些是二元一次方程（组），会判断一对数是否是二元一次方程（组）的解。

达成目标（2）（3）的标志是：学生能主动参与数学活动，自主的发现问题、分析问题和解决问题，增强数学应用意识. 三、教学问题诊断分析

方程、一元一次方程既是学生原有的认知经验，也是新知学习的生长起点。学生在学习了二元一次方程组后，还要继续学习新的方程和方程组，甚至是不等式和不等式（组）等，二元一次方程（组）的学习过程具有承上启下的桥梁作用，是贯通方程（组）、函数、不等式（组）的重要纽带。

本节课的内容对培养学生的数学抽象、数学运算和数学建模等素养有非常重要的作用，

在教学中应让学生充分观察、分析、讨论、归纳，在形象直观感知的基础上得出结论，加深认识，从而对“元”的认识得到进一步深化，对方程思想、类比思想的感悟逐渐得到强化。

所以，本节课教师要大胆放手，给学生空间，让他们自主去探索；给学生时间，让他们自主去体会，使教学活动收到更好的效果。

基于以上分析，确定本节课的教学难点: 类比一元一次方程，了解二元一次方程（组）这一章的学习内容。

四、教学支持条件分析

本节课以多媒体课件为主，采用引导发现法等，通过动感的画面，选择学生感兴趣的问题作为例子，调动了学生的学习积极性，让学生自主获取新知，提高他们应用数学知识解决问题的能力. 五、教学过程设计：

活动一：观看球赛——我来说

2019篮联篮球世界杯将在中国举行，学校也进行了篮球联赛，请看大屏幕。作为一名中学生，你对篮球赛了解多少？

【设计意图】这一环节通过创设生活情境，学生体会到数学来源于生活，激发学生的学习兴趣，同时培养学生的民族自豪感。

活动二：解决问题——我来列

问题一：在篮球比赛中，每场比赛都要分出胜负，每队胜一场得2分，负一场得1分．某队在10场比赛中得到16分，那么胜负场数分别是多少?

思路一：设一个未知数，根据其中一个等量关系表示另一个未知量，借助于另一个等量关系列出方程。

思考：1、所列的是什么方程？

2、解这个方程的一般步骤和依据是什么？

3、列方程的等量关系是什么？

问题（1）（2）指引学生回顾一元一次方程的相关知识，问题（3）引导学生找到更多的等量关系，并发现另一个等量关系的用途。

思路二：设两个未知数，根据等量关系，直接列两个方程。

问题：这两种方法有什么异同？

学生通过对比发现：

相同点：都有两个未知量，两个等量关系。

不同点：列一元一次方程，设一个未知数，根据一个等量关系用一个未知量表示另一个未知量，根据另一个等量关系列出方程。设两个未知数，则是根据两个等量关系直接列出两个方程。

问题二：七（1）班胜5场，负4场，总积分12分场；七（6）班胜3场，负7场，总积分13；那么篮球联赛中胜1场、负1场分别得多少分？

在问题1的基础上，学生多数设了两个未知数，列了两个方程。

【设计意图】让学生初步感受求两个未知量的实际问题，列二元一次方程组比一元一次方程更容易，同时引导学生用类比的学习方法建构本章节的知识框架，学会运用类比探索新知的方法．

活动三：形成概念——我会比

一、二元一次方程的概念

问题：类比一元一次方程的定义，什么是二元一次方程？

生：含有两个未知数，未知数的次数为1的整式方程是二元一次方程

练习1、辨一辨：判断下列方程是否是二元一次方程？为什么？

（1）xy3z7(2)st6（第2个方程，学生产生了认知冲突，从而进一步完善二元一次方程的定义。）

【设计意图】学生在已有的一元一次方程知识的基础上,进行知识迁移,在此过程中能充分体会类比的数学方法，注重学生获取知识的过程和采用的方法，实现知识与方法的整体构建。让学生经历概念的形成过程，突出数学概念的本质。

继续判断下列方程是否是二元一次方程？为什么？

(3)2x3y-1(4)xy1(6)3y122(5)1y2x【设计意图】学生对方程的认识也从一元方程扩充到了二元方程，几道练习题各有侧重，加深学生对二元一次方程概念的理解。只有掌握了二元一次方程的定义，就能快速判断、准确判断方程是否是二元一次方程。

二、二元一次方程组的概念

方程①②中的x、y表示的实际意义相同吗？（x都表示胜场数，y都表示负场数）

两个方程合在一起就组成了方程组，含有两个未知数，每个未知数的项的次数都是1，并且一共有两个方程，像这样的方程组叫做二元一次方程组．

追问：二元一次方程组必须具备什么条件？

从定义中分析出二元一次方程组需要满足的条件，这是理解概念的重要方法。

练习2、你能从下面几个方程中选取两个方程组成二元一次方程组吗? （1）xy3z7(3)2x3y-1(2)st6(4)xy1(6)3y122(5)1y2x追问：1、去掉第一个方程中的y，（1）（6）组合是二元一次方程组吗？

2、组成二元一次方程组的两个方程必须是二元一次方程吗？

【设计意图】从问题中发现两个方程相同未知数的意义是一样的，引出二元一次方程组的概念。设计开放性的练习题，引导学生从多种情况考虑问题，既提高了学生全面分析、解决问题的能力，也培养了学生的创新意识，通过追问，加深对二元一次方程组的理解。

三、二元一次方程（组）的解

问题1：类比一元一次方程的解，什么是二元一次方程的解？

填一填：章引言中满足下列方程，且符合问题的实际意义的值有哪些？填入表。

x

x

y

10

①

…

y

…

追问： 1、你是如何确定x，y的值的？ （确定一个未知数的值，再带入求另一个未知数）

2、这些x，y的值都是什么数？（非负整数解）

3、二元一次方程的解有多少个？（无数个）

2xy16②

的解又是哪些？

问题2：方程 问题3：观察方程①②的解，有什么新发现？

x=6,y=4，既满足方程①，也满足方程②，即x=6,y=4是两个方程得公共解。

【设计意图】学生通过对具体数值代入方程，经历猜想——探索——列举——总结的过程，得出结论：（1）二元一次方程的解是成对出现的；（2）二元一次方程的解有无数多个。这与一元一次方程有显著的区别。在此基础上，进一步学习二元一次方程组解的概念，层次推进。

活动四：学以致用——我拓展

x3x2x1①②③1、在 3对数中，

y2y9y1

3xy8 是方程组



2

x

y



7

的解. 

x52、写出一个以为解的二元一次方程组是_________．

y7变式：将二元一次方程变成二元一次方程

3、在“答案”奶茶店中，一杯果汁和一杯奶茶共28元，佳佳买了3杯果汁和1杯奶茶，共花费54元．设果汁和奶茶的单价分别为x、y元，则列方程组为

拓展：

x+y=28 小组讨论：上述问题3中的二元一次方程组

3x+y=54

的解是多少

？为什么？

预设：

思路一：由①得，y=28-x，再代入方程②；

思路二：②-①得，2x=26,x=13,再代入方程①或②；

思路三：将x+y=28整体代入方程②. 【设计意图】设计这组课堂练习，使学生熟练的掌握知识，形成技能，提高分析、解决问题的能力，同时培养严瑾的逻辑思考能力和举一反三的学习习惯，小组讨论充分发挥学生自主学习的能力，培养探究精神和良好的思维品质，为本章接下来系统学习二元一次方程组的解做铺垫。

活动五：整理归纳——我善学

通过本节课的学习，你有什么收获？

1、知识:

二元一次方程

概念

二元一次方程组

本章的主要内容

二元一次方程（组）的解

2、思想：类比

3、方法：比较、归纳、观察

本章主要内容：

解法……

二元一次方程（组）的解

实际问题

二元一次方程（组）

本章主要思想：类比、建模、方程

【设计意图】本节课从知识、思想、方法三个方面展开, 既有本节课的小结，也有本章的主要内容，既有知识的总结,又有方法的提炼，培养养了学生归纳概括能力,发展他们的语言表达能力.

活动六：当堂检测——我能行

21．方程

2

x

-

3

y



4

，

2

x





4

，



3

y



4，

2

x



3

y



z





y



1

是二元一次5

,

x3yx2方程的有（

）

A．1个

B．2个

C．3个

D．4个

2、二元一次方程

5a－11b=21

（

）

A．

有且只有一解

B．有无数解

C．无解

D．有且只有两解



13、方程

y



x

与

3

x



2

y



5

的公共解是（

）

x3

A．y2x3B.y4x3C.y2x3

D.y24、某班有40名同学去看演出，购买甲、乙两种票共用去370元，其中甲种票每张10元，乙种票每张8元，设购买了甲种票x张，乙种票y张，由此可列出方程组：________________.

【设计意图】通过一组达标测评题，及时了解学生对本节知识掌握的情况，也是对教学重难点的一个考查。

活动七、课后作业——我行动

必做题：

1、课本P89练习

2、设计一个实际问题，并列二元一次方程组。

选做题：

我国古代数学著作《孙子算经》中有“鸡兔同笼”题：今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何？你能列二元一次方程组表示？其中的数量关系吗？试找出问题的解。

【设计意图】作业设计了一个开放题，让学生感受数学来源于生活，并运用于实际生活。采用分层的形式面向全体，让不同的学生在数学上得到不同的发展。

六、板书设计

类比思想

实际问题

方程

一元一次方程

二元一次方程

二元一次方程组

定义

一个未知数

未知数的项的

两个方程

方

建

未知数的次数是1

次数是1

模

程

x=a 思

思

解

x=a

无数个

y=b 想

想

解方程

等式的性质

等式的性质

？

解决问题

七、教学设计说明

1、两条主线：一明一暗相呼应

本节课以“篮球联赛”为主线，

“类比思想”为暗线，通过观察总结出二元一次方程（组）的定义，随后教师进一步通过问题驱动，引导学生归纳二元一次方程（组）的解的概念。使各个教学环节之间紧密联系在一起，很好地实现了最初的预设效果。在数学中，每一个研究对象都是一个系统，系统内部往往有某种稳定的结构，抓住这种结构进行类比学习，可以简化新系统的学习过程，有效提高学习效率。本节课在设计和实施过程中注重了对数学思想的渗透。

2、三次类比：一浅一深凸核心

从概念到解法，类比的思想从浅到深。学生回顾一元一次方程的整章学习过程后，通过类比迁移、归纳概括展开学习，逐步向学生渗透长远的学习方法和基本套路，学生研究意识进一步强化。形成概念的过程中，比较了二元一次方程与一元一次方程的异同，归纳了二元一次方程组具备的条件，通过观察发现了二元一次方程（组）的解特点。拓展的多种二元一次方程组的解法，依据依然是等式的性质。二元一次方程的学习过程完全类比一元一次方程，从实际问题出发，列二元一次方程组，解二元一次方程组，再回到实际问题。通过更深层次的类比，学生了解了本章的主要内容。

3、三轮重构:一节一章为整体

《义务教育数学课程标准（2011年版）》指出：数学知识的教学，要注重知识的“生长点”与“延伸点”。对于二元一次方程组来说，它的知识生长点是一元一次方程，通过一元一次方程的概念、解法、应用，可以迁移到二元一次方程组中来，通过引导学生回顾已有经验、已熟悉的研究路径继续研究新的内容，这有利于学生今后学习“一元二次方程”等一系列方程。让学生经历“再创造”，从整体上对学习内容有初步的感悟和体验，理清知识的脉络，形成科学完善的数学。同时学生的数学素养得到提升：学会数学建模、学会归纳概括、学会类比分析、学会逻辑推理、学会直观想象……