1.2.2 极坐标系与直角坐标的关系教案2

极坐标系与直角坐标系

一、创设情境，导入新课

1．极坐标系的概念

(1)极坐标系的建立：在平面内取一个定点O，叫做极点，自极点O引一条射线Ox，叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系．

(2)极坐标系内一点的极坐标的规定：设M是平面内一点，极点O与M的距离|OM|叫做点M的极径，记为ρ；以极轴Ox为始边，射线OM为终边的角xOM叫做点M的极角，记为θ.有序数对(ρ，θ)就叫做点M的极坐标，记为M(ρ，θ)．

2．极坐标和直角坐标的互化

(1)互化的前提条件：①极坐标系中的极点与直角坐标系中的原点重合；②极轴与x轴的正半轴重合；③两种坐标系取相同的长度单位．

x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，(2)互化公式

ρ＝x＋y，ytan θ＝xx222

二、展示目标，明确方向

1、了解极坐标系与直角坐标系的联系。

2、能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置。

三、自主探究，感受新知

已知点Q(ρ，θ)，分别按下列条件求出点P的极坐标．

(1)点P是点Q关于极点O的对称点；

π(2)点P是点Q关于直线θ＝的对称点．

2

确定一点的极坐标关键是确定它的极径和极角两个量，为此应明确它们的含义．

(1)由于P，Q关于极点对称，得极径|OP|＝|OQ|，极角相差(2k＋1)π(k∈Z)．所以，点P的极坐标为(ρ，(2k＋1)π＋θ)(k∈Z)或(－ρ，2kπ＋θ)(k∈Z)．

π(2)由P，Q关于直线θ＝对称，

2得它们的极径|OP|＝|OQ|，

点P的极角θ′满足θ′＝π－θ＋2kπ(k∈Z)，

所以点P的坐标为(ρ，(2k＋1)π－θ) 或(－ρ，2kπ－θ)(k∈Z)．

四、合作交流，整合信息

设点M的极坐标是(ρ，θ)，则M点关于极点的对称点的极坐标是(－ρ，θ)或(ρ，

θ＋π)；M点关于极轴的对称点的极坐标是(ρ，－θ)；M点关于过极点且垂直于极轴的直线的对称点的极坐标是(ρ，π－θ)或(－ρ，－θ)．

另外要注意，平面上的点与这一点的极坐标不是一一对应的．

五、展演成果，评价优化

π1．设点A1，，直线l为过极点且垂直于极轴的直线，分别求：

3(1)点A关于极轴的对称点；

(2)点A关于直线l的对称点；

(3)点A关于极点的对称点．(规定ρ>0，－π＜θ≤π)．

π解：如图所示：(1)点A关于极轴的对称点为B1，－. 3(2)点A关于直线l的对称点为

C1，2π. 3(3)点A关于极点O的对称点为

D1，－2π. 3π2．在极坐标系中，点A的极坐标是3，，求点A6π关于直线θ＝的对称点的极坐标(规定ρ>0，θ∈)．

2ππ解：作出图形，可知A3，关于直线θ＝的对625π称点是3，. 6

六、迁移深化，再析异同

7π(1)把点A的极坐标2，化成直角坐标；

6(2)把点P的直角坐标(1，－3)化成极坐标．(ρ>0，0≤θ<2π)．

依据极坐标与直角坐标互化的公式解题．

7π7π

(1)x＝2cos＝－3，y＝2sin＝－1，

66故点A的直角坐标为(－3，－1)．

(2)ρ＝1＋－322－3＝2，tan θ＝＝－3. 15π又因为点P在第四象限且0≤θ<2π，得θ＝. 35π因此点P的极坐标是2，. 3

(1)极坐标和直角坐标互化的前提条件有三，即极点与原点重合，极轴与x轴正半轴重合，有相同的长度单位，三者缺一不可．

(2)熟记互化公式，必要时可画图来分析．

七、检测达标，促进同化

1．点P的直角坐标为(－2，2)，那么它的极坐标可表示为(

) πA.2， 43π5πB.2， C.2， 447πD.2，

43π解析：选B 点P(－2，2)在第二象限，与原点的距离为2，且与极轴的夹角为. 42．若以极点为原点，极轴为x轴正半轴建立直角坐标系．

5π(1)已知点A的极坐标4，，求它的直角坐标；

3(2)已知点B和点C的直角坐标为(2，－2)和(0，－15)，求它们的极坐标．(ρ＞0,0≤θ＜2π) 5π解：(1)∵x＝ρcos θ＝4cos＝2. 3y＝ρsin θ＝4sin5π＝－23. 3∴A点的直角坐标为(2，－23)．

(2)∵ρ＝x＋y＝2＋－－2tan θ＝＝－1. 2且点B位于第四象限内，

7π∴θ＝，

47π∴点B的极坐标为22，. 4又∵x＝0，y＜0，

3 π∴ρ＝15，θ＝. 2

2222＝22，

3π∴点C的极坐标为15，. 2