2.1.2 曲线的参数方程教学设计与反思

2.2.2 双曲线的参数方程

甘肃省秦安县第二中学

杨宁芳

三维目标：

【知识与技能】：1.了解双曲线的参数方程及其参数方程中参数的几何意义．

2.会写出双曲线的参数方程. 3.应用双曲线的参数方程解决有关问题．

【过程与方法】：能根据双曲线的几何条件，写出双曲线的参数方程与参数的意义. 【情感态度与价值观】：通过观察、探索、发现的创造性过程，培养学生的创新意识. 教学重点：会写出双曲线的参数方程．

教学难点：应用双曲线的参数方程解决有关问题．

多媒体：PPT，几何画板. 教学过程过程：

一、课前准备：

阅读教材P29P31的内容，理解双曲线的参数方程的推导过程，并注意以下问题：

1.（1）写出圆x

（2）写出圆

2y2x2.写出椭圆221的参数方程，并说明参数的几何意义. ab2y2r2参数方程，并说明参数的几何意义. xa2ybr2的参数方程，并说明参数的几何意义. 2

3.将下列参数方程化为普通方程：

x3cosx8cos（1） ； （2）y5siny10sin

二、新课导学：

（一）新知：

1 . yAB'OBMA'x

1.如图，以原点O为圆心，分别以a，b（a0,b0）为半径作两个同心圆C1、C2. 设A为圆C1上的任意一点，作直线OA，过点A作C1的切线AA与x轴交于A，过圆C2与x轴的交点B作圆C2的切线BB与直线OA交于点B，过点A、B分别作y轴、x轴的平行线AM、BM交于点M.设Ox轴为始边，OA为终边的角为θ点，点M的坐标为（x,y），求点M的轨迹方程. 【分析】点M的横坐标与点A的横坐标相同，点M的纵坐标与点B的纵坐标相同. 而A、B的坐标可以通过引进参数建立联系. 问题1：点M的坐标(x,y)随着哪个量的变化而变化呢?

问题2：如何求点M的参数方程呢?

问题3：求出点M的参数方程后，如何根据方程指出曲线类型呢？

【解析】由已知xOA，M(x,y)，则A(x,0)，B(b,y)，

因为A(acos,

a

sin)

所以OA(acos,asin),AA(xacos,asin)

因为OAAA，所以OAAA0，

即acos(xacos)a2sin20，x由三角函数的定义得，

tanaasec，

cosy，ybtan，所以点M的轨迹方程为

b3xasec（θ为参数）（[0,2)，且,）. 22ybtanx2y2 消参化为普通方程是221. abxasecx2y22.双曲线221的参数方程：（θ为参数）（[0,2)，且abybtan2,3）中，θ点M的离心角，注意离心角的几何意义. 2

2

x2y23. 双曲线221上任意一点M的坐标可设为(asec,btan)。

ab练习：

【练习1】把下面普通方程化为参数方程. x2y2x2y21. （1）

1

； （2）251649把下面参数方程化为普通方程. （3）x8secx3sec； （4）. y10tany5tan

（二）典型例题

22xy例2、如图，设

M为双曲线221(a0,b0)任意一点，O为原点，ab过点M作双曲线两渐近线的平行线，分别与两渐近线交于A，B两点。探求平行四边形MAOB的面积，由此可以发现什么结论？

YAMObx.

a

解：双曲线的渐近线方程为：yBXb

.

a不妨设M为双曲线右支上一点，其坐标为（asec,btan）,b则直线MA的方程为：ybtan(xasec). ①a设AOx=,则tan将y=bx代入①，解得点A的横坐标为a

xAa

xA=（sectan）.OA.

cos2

a同理可得，点B的横坐标为x=（sectan）.B

2xB

OB.cos

xAxBsin2=所以

MAOB的面积为SMAOB=|OA||OB|sin2coscos

22a2(sec2-tan2)aabab=sin2=tan.4cos23 22a2

由此可见，平行四边形MAOB的面积恒为定值，与点M在双曲线上的位置无关。

变式练习：教材34页第3题.（学生板演）

三、小结：

(1)双曲线的参数方程. (2)双曲线的参数方程与普通方程的互化. (3)双曲线的参数方程的应用. 四、作业：

（一）1. 双曲线x2tan为参数的离心率是

（

C

）

y4sec

A．35

B．2

C．

D．2

22x2tan2.已知双曲线的参数方程为

，则此双曲线的实轴长为 ，5（为参数）ycos虚轴长为 ，焦点坐标是 ，离心率是 。

3.

设P为等轴双曲线x2y21上的一点，F1、F2为两个焦点，证明

F1PF2POP.

【证明】设P(sec,tan)，双曲线两个焦点的坐标是F1(2,0)、F2(2,0)，

22所以|F1P|(sec2)tan22sec222sec1|2sec1|，

|F2P|(sec2)2tan22sec222sec1|2sec1|，

222所以F1PF2P|2sec1||2sec1||2sec1|sectan，

22而OPsectan，

2所以F1PF2POP. （二）新坐标第102页。

五、学后反思：

4 2

5