练习一课件配套优秀教案设计

《正方形与内切圆的面积关系》教学设计

永春县达埔中心小学 陈辉东

教学内容：北师大版数学六年级上册第一单元圆与正方形关系复习内容。

教学目标：

1、使学生掌握正方形和它里面最大的圆的面积的关系，并能够运用这种关系解决问题。

2、通过操作、观察、计算、思考、探索、再思考，培养学生比较、分析、概括等思维能力，发展学生的空间想象能力。

教学重点：使学生掌握正方形和它里面最大的圆的面积的关系，并能够运用这种关系解决问题。

教学难点：正方形和它里面最大的圆的面积关系的变式运用。

教学准备：多媒体课件

教学过程：

一、初定模型

正方形与圆的关系

师：请大家把我们准备的图形拿出来，这种图形中的圆我们通常叫做内切圆。

师：思考一下，内切圆和正方形中它们之间有什么量会相等？

生：正方形的边长等于圆的直径。

师：也就是说，正方形的边长是圆半径的2倍。

师：请猜测下，正方形的面积与内切圆面积之间有什么关系？

生：圆的面积是正方形的面积一半多一些；圆的面积是正方形的面积3/4；圆的面积是正方形的面积4/5；圆的面积是正方形的面积π/4……）

师：请同学想一想，怎样验证我们的猜测？

方法一：我们假设正方形的边长是2厘米，我们分别算出它们的面积来，正方形是2乘2等于4厘米，圆的面积是1乘1乘π等于π平方厘米，那么我们就很快发现内切圆的面积π是正方形面积4的π/4这种方法通常称为假设法。

方法二：如果想在一个面积为12平方分米的正方形内，剪下一个最大的圆，

这个最大圆的面积是多少平方分米？这时能不能通过已知正方形面积12

求出边长？进而求圆的半径，再求圆的面积的方法呢？可想想，哪个正方

形的“边长平方”是12呢？没有。

怎么办？我们可以把正方形平分为四个小正方形，每个小正方形的面积是

12÷4＝3平方分米，它的面积正好是半径的平方数，这样就可以把半径的平方数看作一个整体，则圆的面积：3.14×3＝9.42平方分米。

也就是正方形面积12的π/4，则12×π/4＝9.42（平方分米）。这种方法叫整体法。

方法三：假如我们能将已知条件“夸张”一点儿。即扩大或缩小若干倍，就可另辟一条蹊径来。

如果把正方形的面积扩大到原来的3倍，即可知道现在的正方形面积是12×3＝36因为36＝6×6，所以扩大后的正方形的边长为6厘米，即扩大后的圆的半径为3厘米，它的面积为3.14×3×3＝28.26平方厘米，原来圆的面积是28.26÷3＝9.42平方厘米。

如果把正方形的面积缩小到原来的3倍，也可得到一个完全平方数，12÷3＝4，这缩小后的正方形面积是4平方厘米，,因为4＝2×2，所以缩小后的正方形的边长为2厘米，

即缩

小后的圆的半径为1厘米，它的面积为3.14×1×1＝3.14平方厘米，原来圆的面积是3.14×3＝9.42（平方厘米）

不管是扩大或缩小，圆的面积总是9.42平方厘米，也就是正方形面积12的π/4，则12×3.14÷4＝9.42（平方分米）

我们再来详细分解一下这其中的道理：

正方形面积： 边长 × 边长

内切圆的面积： 半径

× 半径 ×π

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（ 边长×1/2 ）×（边长×1/2 ） ×π

1/4边长×边长×π=π/4×正方形面积

二、运用模型

1、基本运用

有了规律，我们的思路就越来越宽了，让数学更奇妙。下面老师再来把它变形，如下图，正方形的面积是6平方厘米，圆的面积是多少呢？

如果我们想从正方形的面积来想边长，用现在水平还真想不出哪个数的平方是6了，还是从圆与正方形关系入手，大家思考一下，怎样能设计出一个正方形和内切圆呢，对呀，只要拼四个这样的小正方形后，我们又可以变回原来的内切圆与正方形了，那么圆的面积是6×4×π/4=18.84平方厘米。

看来我们探索出来的规律给我们带来很大帮助。接下来，我们一起来玩转这个规律！

2、拓展运用

王师傅有个模型如下图，在一个等腰直角三角形中切下半圆，三角形面积是10平方米，你知道半圆的面积吗？

圆和三角形似乎关系远点，但圆和正方形关系密切啊，刚好两个完全一样的这样三角形可以拼一个正方形，我们来试试！

现在问题又回到原来内切圆与正方形的关系上了，那么正方形的面积就是10×2=20平方米，圆的面积就是20×π/4=15.7平方米，半圆面积15.7÷2=7.85平方米。

三、小结

看来圆与正方形息息相关，利用正方形与内切圆面积关系，我们可以解决生活中的一些数学难题，圆与正方形的规律远远不止这些，希望大家能继续探究出更多的数学规律。