1.3 曲线的极坐标方程课堂实录及点评

三简单曲线的极坐标方程

课1.了解极坐标方程的意义，了解曲线的极坐标方程的求法．

标2．会进行曲线的极坐标方程与直角坐标方程的互化；了解简单图形(如解过极点的直线、过极点或圆心在极点的圆)表示的极坐标方程．

读

3．能够运用直线和圆的极坐标方程解决问题.

1．曲线与方程的关系

在平面直角坐标系中，平面曲线C可以用方程f(x，y)＝0表示．曲线与方程满足如下关系：

(1)曲线C上点的坐标都是方程f(x，y)＝0的解；

(2)以方程f(x，y)＝0的解为坐标的点都在曲线C上．

2．曲线的极坐标方程

一般地，在极坐标系中，如果平面曲线C上任意一点的极坐标中至少有一个满足方程f(ρ，θ)＝0，并且坐标适合方程f(ρ，θ)＝0的点都在曲线C上，那么方程f(ρ，θ)＝0叫做曲线C的极坐标方程．

3．常见曲线的极坐标方程

曲

线

图

形

极坐标方程

圆心在极点，半径为r的圆

圆心为(r,0)，半径为r的圆

ρ＝r(0≤θ<2π)

ρ＝2rcos_θ

ππ－2≤θ≤2



π圆心为r，2，半径为r的圆

过极点，倾斜角为α的直线

过点(a,0)，与极轴垂直的直线

ρ＝2rsin_θ

(0≤θ<π)

θ＝α或θ＝α＋π

ρcos_θ＝a

ππ－2<θ<2



π过点a，2，与极轴平行的直线

ρsin_θ＝a

(0<θ<π)

1．曲线的极坐标方程是否惟一？

【提示】

由于平面上点的极坐标的表示形式不惟一，所以曲线上的点的极坐标有多种表示，曲线的极坐标方程不惟一．

2．如何求圆心为C(ρ1，θ1)，半径为r的圆的极坐标方程？

【提示】

如图所示，设圆C上的任意一点为M(ρ，θ)，且O、C、M三点不共线，不妨以如图所示情况加以说明，在△OCM中，由余弦定理得|OM|2＋|OC|2－2|OM|·|OC|·cos∠COM＝|CM|2，

2∴ρ2＋ρ1－2ρρ1cos(θ－θ1)＝r2，可以检验，当O、C、M三点共线时的点M的坐标也适合上式，当θ<θ1时也满足该式，所以半径为r，圆心在C(ρ1，θ1)的2圆的极坐标方程为ρ2＋ρ1－2ρρ1cos(θ－θ1)－r2＝0.

圆的极坐标方程

3π

求圆心在C2，2处并且过极点的圆的极坐标方程，并判断5π点－2，sin6是否在这个圆上．

【思路探究】

解答本题先设圆上任意一点M(ρ，θ)，建立等式转化为ρ，θ的方程，化简可得，并检验特殊点．

【自主解答】

如图，由题意知，圆经过极点O，OA为其一条直径，设M(ρ，θ)为圆上除点O，A以外的任意一点，则|OA|＝2r，连接AM，则OM⊥MA. 在Rt△OAM中，|OM|＝|OA|cos∠AOM，

3π即ρ＝2rcos2－θ，

∴ρ＝－4sin θ，

3π经验证，点O(0,0)，A4，2的坐标满足上式．

∴满足条件的圆的极坐标方程为ρ＝－4sin θ. 5π1∵sin6＝2，

5π∴ρ＝－4sin θ＝－4sin6＝－2，

5π∴点－2，sin6在此圆上．



1．求曲线的极坐标方程通常有以下五个步骤：(1)建立适当的极坐标系(本题无需建)；(2)在曲线上任取一点M(ρ，θ)；(3)根据曲线上的点所满足的条件写出等式；(4)用极坐标(ρ，θ)表示上述等式，并化简得曲线的极坐标方程；(5)证明所得的方程是曲线的极坐标方程．(一般只要对特殊点加以检验即可)．

2．求曲线的极坐标方程，关键是找出曲线上的点满足的几何条件，并进行坐标表示．

(2012·江西高考)曲线C的直角坐标方程为x2＋y2－2x＝0，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C的极坐标方程为________．

【解析】

直角坐标方程x2＋y2－2x＝0可化为x2＋y2＝2x，将ρ2＝x2＋y2，x＝ρcos θ代入整理得ρ＝2cos θ. 【答案】

ρ＝2cos θ

直线或射线的极坐标方程

π

求过点A(1,0)，且倾斜角为4的直线的极坐标方程．

【思路探究】

画出草图―→设点M(ρ，θ)是直线上的任意一点―→建立关化简于ρ，θ的方程――→检验

【自主解答】

法一

设M(ρ，θ)为直线上除点A以外的任意一点．

π3π则∠xAM＝4，∠OAM＝4，

π∠OMA＝4－θ. 在△OAM中，由正弦定理得

|OM||OA|＝，

sin∠OAMsin∠OMAρ12π4－θ＝，

即3π＝，故ρsin2πsin4sin4－θπ2π即ρsin4cos θ－cos4sin θ＝2，



化简得ρ(cos θ－sin θ)＝1，

经检验点A(1,0)的坐标适合上述方程，

所以满足条件的直线的极坐标方程为

ρ(cos θ－sin θ)＝1，

π5π其中，0≤θ<4，ρ≥0和4<θ<2π，ρ≥0. 法二

以极点O为直角坐标原点，极轴为x轴，建立平面直角坐标系xOy. π∵直线的斜率k＝tan4＝1，

∴过点A(1,0)的直线方程为y＝x－1. 将y＝ρsin θ，x＝ρcos θ代入上式，得ρsin θ＝ρcos θ－1，

∴ρ(cos θ－sin θ)＝1，

π5π其中，0≤θ<4，ρ≥0和4<θ<2π，ρ≥0.

法一通过运用正弦定理解三角形建立了动点M所满足的等式，从而集中条件建立了以ρ，θ为未知数的方程；法二先求出直线的直角坐标方程，然后通过直角坐标向极坐标的转化公式间接得解，过渡自然，视角新颖，不仅优化了思维方式，而且简化了解题过程．

若本例中条件不变，如何求以A为端点且在极轴上方的射线的极坐标方程？

【解】

由题意，设M(ρ，θ)为射线上任意一点，

2π根据例题可知，ρsin4－θ＝，

2化简得ρ(cos θ－sin θ)＝1. 经检验点A(1,0)的坐标适合上述方程．

因此，以A为端点且在极轴上方的射线的极坐标方程为ρ(cos θ－sin θ)＝π1其中ρ≥0，0≤θ<4. 

极坐标方程与直角坐标方程的互化

若曲线C的极坐标方程为ρ＝2sin θ＋4cos θ，以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立直角坐标系．

(1)求曲线C的直角坐标方程；

π(2)若直线ρsinθ－4＝0与曲线C相交于A、B，求|AB|. 【思路探究】

利用极坐标化为直角坐标的公式将直线和圆的极坐标方程化为直角坐标方程求解．

x＝ρcos θ，【自主解答】

(1)因为所以ρ2＝x2＋y2，

y＝ρsin θ，由ρ＝2sin θ＋4cos θ，得ρ2＝2ρsin θ＋4ρcos θ

∴x2＋y2－4x－2y＝0，即(x－2)2＋(y－1)2＝5. π(2)由ρsinθ－4＝0，

22得ρsin θ－cos θ＝0，

22即ρsin θ－ρcos θ＝0，∴x－y＝0. 由于圆(x－2)2＋(y－1)2＝5的半径为r＝5，圆心(2,1)到直线x－y＝0的距离为d＝|2－1|1＝，

22

∴|AB|＝2r2－d2＝32.

1．直角坐标方程化为极坐标方程，只需把公式x＝ρcos θ及y＝ρsin θ直接代入并化简即可；而极坐标方程化为直角坐标方程要通过变形，构造形如ρcos θ，ρsin θ，ρ2的形式，进行整体代换．其中方程的两边同乘以(或同除以)ρ及方程两边平方是常用的变形方法．但对方程进行变形时，方程必须保持同解，因此应注意对变形过程的检验．

2．对方程进行合理变形，并注重公式的正向、逆向与变形使用．