2.2.1 直线的参数方程课堂实录【2】

直线的参数方程

平江一中 杨振远

教材：人教版普通高中课程标准实验教科书《数学》（A版）选修4—4 坐标系与参数方程P35~P39，分两节课完成，本教案是第一节课，内容主要在P35~P37．

教材内容解析

本节内容是人教A版选修4—4第二讲第三部分的内容．直线是学生最熟悉的几何图形，在教材《必修2》中学生已经学习了直线的五种方程.教科书先引导学生回顾了用倾斜角的正切表示的直线的点斜式方程，这是为推导直线的参数方程做准备，从代数变换的角度看，教材P35的直线参xx0+tcos,数方程就是点斜式的变形．在提出“如何建立直线的参数方程？”后，教（t为参数）yy0+tsin.材引导学生借助向量工具探究直线的参数方程．这一过程，教师引导学生通过类比、联想的思想方法，将直线和单位方向向量联系起来，引入恰当的参数，从而建立直线的参数方程．

学情分析

学生对事物的认识多是从直观到抽象，从感性到理性．而对事物的理解多以自己的经验为基础来建构或解释现象，而并不是把知识从外界直接搬到记忆中．高二学生的学习过程更是如此．

之前圆锥曲线的参数方程学生已经熟悉，也能够理解各种曲线的参数的几何意义，但是直线的参数方程还能否用角作为参数呢？这是完全不同的，应该选择那个量作为直线的参数呢?需要引入“方向向量的概念”，之前的必修教材从未学习过，所以，应在讲本节课之前，提前对方向向量的知识作了补充学习，为本节课的学习提前进行知识储备．

教学方法与教学手段

教学方法：启发探究式（教师设问引导，学生自主探究、合作解决）．

教学手段：多媒体辅助教学（利用计算机和实物投影辅助教学）．

教学目标

1．利用直线的单位方向向量推导直线的参数方程，体会直线的普通方程与参数方程的联系；

2．理解并掌握直线的参数方程中参数t的几何意义；

3．通过直线参数方程的探究，体会参数的形成过程，培养严密地思考和严谨推理的习惯；

4．在学习过程中渗透类比、归纳、推理的数学思想方法，以及引领学生体会“根据几何性质选取恰当的参数，建立参数方程”的几何问题代数化的解析思想．

教学重点

1．分析直线的几何条件，选择恰当的参数写出直线的参数方程；

2．直线的参数方程中参数t的几何意义．

教学难点

1．直线的参数方程中参数t的几何意义；

2．直线参数方程中参数t的几何意义的初步应用．

1

教学过程

一．课题引入

问题1．已知直线l：xy10与抛物线yx2交于A，B两点，求M(1,2)

到A，B两点的距离之积．

解：解析法

xy1015351535由可知两交点坐标分别为，A(,)B(,)

22222yx所以MAMB(11523521+52352)(2)(1)(2)

2222 (35)(35)=2．

【设计意图】

通过几何法求解距离，让学生真切感受“计算过程”的繁琐，为引入本节课题做铺垫．

问题2．有没有比这种方法更简便的算法？

问题3

一架救援飞机在离灾区地面500m高处100m/s的速度作水平直线飞行。为使投放救援物资准确落于灾区指定的地面（不记空气阻力）飞行员如何确定投放时机呢？

【设计意图】

通过这个实际问题的解决，感受参数方程的应用价值，为本节课的研究做好铺垫。接着引入本节课题“直线的参数方程”

二、直线参数方程探究1．回顾数轴，引出向量

数轴是怎样建立的？数轴上点的坐标的几何意义是什么？

教师提问后，让学生思考并回答问题．

教师引导学生明确：如果数轴原点为O，数1所对应的点为A，数轴上点M的坐标为t，那么：

①OA为数轴的单位方向向量，OA方向与数轴的正方向一致，且OMtOA；②当OM与OA方向一致时（即OM的方向与数轴正方向一致时），t0；

当OM与OA方向相反时（即OM的方向与数轴正方向相反时），t0；

当M与O重合时，t0；

③|OM|t．

2

【设计意图】回顾数轴概念，通过向量共线定理理解数轴上的数的几何意义，为选择参数做准备．

2.类比分析，异曲同工

问题：（1）类比数轴概念，平面直角坐标系中的任意一条直线能否定义成数轴？

（2）把直线当成数轴后，直线上任意一点就有两种坐标．怎样选取单位长度和方向才有利于建立这两种坐标之间的关系？

教师提出问题后，引导学生思考并得出以下结论：选取直线l上的定点M0为原点，与直线l平行且方向向上(l的倾斜角不为0时)或向右（l的倾斜角为0时）的单位向量e确定直线l的正方向，同时在直线l上确定进行度量的单位长度，这时直线l就变成了数轴．于是，直线l上的点就有了两种坐标（一维坐标和二维坐标）．在规定数轴的单位长度和方向时，与平面直角坐标系的单位长度和方向保持一致，有利于建立两种坐标之间的联系．

【设计意图】使学生明确平面直角坐标系中的任意直线都可以在规定了原点、单位长度、正方向后成为数轴，为建立直线参数方程作准备．

3. 选好参数，柳暗花明

问题（1）：当点M在直线l上运动时，点M满足怎样的几何条件？

让学生充分思考后，教师引导学生得出结论：将直线l当成数轴后，直线l上点M运动就等价于向量M0M变化，但无论向量怎样变化，都有M0Mte．因此点M在数轴上的坐标t决定了点M的位置，从而可以选择t作为参数来获取直线l的参数方程．

【设计意图】明确参数．

问题（2）：如何确定直线l的单位方向向量e？

教师启发学生：如果所有单位向量起点相同，那么终点的集合就是一个圆．为了研究问题方便，可以把起点放在原点，这样所有单位向量的终点的集合就是一个单位圆．因此在单位圆中来确定直线的单位方向向量．

教师引导学生确定单位方向向量，在此基础上启发学生得出e(cos,sin)，从而明确直线l的方向向量可以由倾斜角来确定．

当0时，sin0，所以直线l的单位方向向量e的方向总是向上．

【设计意图】综合运用所学知识，获取直线的方向向量，培养学生探索精神，体会数形结合思想．

4. 等价转化，深入探究

问题：如果点M0,M的坐标分别为(x0,y0)、(x,y)，怎样用参数t表示x,y？

3

教师启发学生回顾向量的坐标表示，待学生通过独立思考并写出参数方程后再全班交流．过程如下：

0[)）因为e(cos,sin)，（,，MMxy(,)x(y,)0(0xxy,y0)00，

又M0M//e，所以存在实数tR，使得M0Mte，即

(xx0,yy0)t(cos,sin)．

于是xx0tcos，yy0tsin，

即xx0tcos，yy0tsin．

因此，经过定点M(x0,y0)，倾斜角为的直线的参数方程为

xx0tcos  （t为参数）． yy0tsin教师提出如下问题让学生加强认识：

①直线的参数方程中哪些是变量？哪些是常量？

②参数t的取值范围是什么？

③参数t的几何意义是什么？

总结如下：①x0,y0，是常量，x,y,t是变量；

②tR；

③由于|e|1，且M0Mte，得到M0Mt，因此t表示直线上的动点M到定点M0的距离．当M0M的方向与数轴（直线）正方向相同时，t0；当M0M的方向与数轴（直线）正方向相反时，t0；当t0时，点M与点M0重合．

【设计意图】把向量转化为坐标，获得了直线的参数方程，在此基础上分析直线参数方程的特点，体会参数的几何意义．

直线参数方程的文字表述：直线上任意动点的纵横坐标等于定点相应坐标加上参数乘以倾斜角的正余弦．

注意：直线上的任意一个点都唯一对应一个参数t．

【设计意图】

引导学生思考讨论后获取共识，直线的参数t具有两点意义：符号决定了动点相对于定点的位置，绝对值表示动点到定点的距离．为后面参数的应用做铺垫．

问题3．如果直线水平放置，那么直线上的定点和动点的关系可以和我们学过的那个知识联系起来？

【设计意图】

4

回顾数轴概念，理解数轴上的任意一点对应一个实数，点的坐标的绝对值刚好是对应的点到原点的距离．

问题4．数轴是怎样建立的？数轴上任意一点的坐标的几何意义是什么？

规定了原点、单位长度和正方向的直线叫数轴。

已知数轴上两点A，B的坐标分别为xA，xB，则线段AB的中点坐标为的距离为ABxAxB．

类似地，有向直线类似于x轴，则A，B两点间的距离为ABtAtB，线段AB的中点对应的参数为tA+tB．

2xA+xB，A，B两点间2【设计意图】

教材中在有向直线上确定两点间的距离，以及两点对应的参数，有些同学不能立刻理解，而用数轴上两点间的距离以及线段中点的坐标来类比，就可以帮助学生很好的理解，这里类比思维起到了重要作用．

四．直线参数方程的应用

3例1．已知直线l过点M(1,2)，倾斜角为，写出直线l的参数方程．

43解：因为直线l过点M(1,2)，且l的倾斜角为，

4所以它的参数方程为

2x1t,2（t为参数）

y22t.2变式1．已知直线l过点M(1,2)，斜率为1，写出直线l的参数方程．

解：因为直线l过点M(1,2)，且l的斜率为1，

2x1t,32（t为参数）所以它的倾斜角为，从而直线的参数方程为

4y22t.2

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解决引例：

变式2．已知直线l过点M(1,2)，斜率为1，且与抛物线yx2交于A，B两点．求线段AB的长和点M(1,2)

到A，B两点的距离之积．

解：解法一（解析法）：

因为直线l过点M(1,2)，且l的斜率为1，

所以它的普通方程为y2(x1)，即xy10

由xy101535x可知两交点坐标分别为A(,)y222，B(152,352)

所以AB=10，MAMB2．

解法二（参数法（一））：

x12t,

将直线l的参数方程2（t为参数）代入抛物线方程得

y222t.

t22t20

解之得t2101=2，t2102=2．

所以由参数t的几何意义得

AB=MAMBt1t210，

MAMBt1t2t1t22

解法三（参数法（二））：

x12t,

将直线l的参数方程2（t为参数）代入抛物线方程得

y222t.

t22t20

所以由韦达定理可知t1+t22t

t122

所以由参数t的几何意义得

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AB=MAMBt1t2t1t2(t1+t2)24t1t210，

MAMBt1t2t1t22

变式3．已知直线l过点M(1,2)，斜率为1，且与抛物线yx2交于A，B两点．求线段AB中点Q的坐标．

AB中点Q对应的参数t=解：由变式2的解法2可知，t1+t22，

2221x1t,22即Q(1,3)

所以22y22t3.22【设计意图】

这是教材中的一道例题，做了适当的改动，变成两个问题求解，这样安排便于学生更容易熟悉直线的参数方程，其次在变式2中，设计了三种方法求解，第一种刚好就是课题引入前的引例让学生在自主解答的过程中去感受和体会引入参数的优越性，解析法容易想，但是不容易算，参数法的引入就使问题的计算趋于简单化，这也是引入参数方程的目的所在．

例题小结：

（1）体会参数法在解决几何问题时的方便性；

（2）数轴任意一点对应的坐标x相当于直线上任意一点对应的参数t；

（3）数轴上任意两点x1，x2之间的距离是x1x2=(x1+x2)24x1x2，直线上任意两点间的距离刚好等于A，B两点对应的参数之差的绝对值ABt1t2(t1+t2)24t1t2．

五．本课小结 xx0+tcos,1．直线的参数方程; （t为参数）yy0+tsin.2．直线参数方程中参数t的几何意义；

3．何时选择直线的参数方程？

直曲相交比较难；

只是计算有点繁；

已知直线过定点；

用参！

六．作业

教材P39习题2．3 第1，2，3，4题．

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附：板书设计

直线的参数方程

一．直线的参数方程

四．参数方程的应用

xx0+tcos,



例1．解法一、解法二、解法三

（t为参数）yy+tsin.0二．参数t的几何意义

变式1、变式2、变式3 五．本课小结

三．参数t的符号的意义

六．作业布置

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