2.2.1 直线的参数方程教学设计及教案分析

§2.1 直线的参数方程

课型 新授课 课时 第一课时 教材分析

参数方程是以参变量为中介来表示曲线上点的坐标满足的方程，是曲线在同一坐标系下的又一种表达形式. 参数方程的学习有助于学生进一步体会解决问题数学方法的灵活多变. 本章主要介绍参数方程的基本概念、参数方程和普通方程的互化、直线和圆锥曲线的参数方程，是“解析几何初步”“平面向量”“三角函数”等内容的补充和完善，也是这些内容的综合应用和进一步深化. 本节内容位于第二节，在处理的时候将其与第一节《参数方程的概念》放到一节课中，通过具体实例《直线的参数方程》，使学生更好的理解参数方程的概念；并且通过本节课让学生对曲线参数方程的学习有一个整体感知（参数方程的推导、参数方程的应用），为下一节课的学习打好基础. 课时分配为2课时. 教学目标

1、知识与技能：理解曲线参数方程的概念，能选取适当的参数建立参数方程；推导并掌握直线的参数方程，并理解其参数的几何意义，会用参数的几何意义解决与距离有关的问题；

2、过程与方法：通过直线参数方程的推导和应用，培养学生综合运用所学知识分析和解决问题的能力，进一步体会数形结合、转化与化归、类比等数学思想；

3、情感态度与价值观：经历直线参数方程的探究过程，激发学生求知欲，培养积极探索、勇于钻研的科学精神和严谨的求学态度. 教学重点 直线的参数方程及其简单应用

教学难点 参数t的几何意义

学情分析

在知识方面，学生已有直线的直角坐标方程、三角函数、平面向量等相关知识的基础；在物理中，学生已经学***抛运动，由此引入参数方程，使学生了解参数的作用. 从能力上来看，本班学生在解题能力，特别是抽象思维的能力比较欠缺，而本节课对学生的分析推理能力有一定的要求，学习起来有一定的难度，1

所以需要老师逐步引导.

教学方法

在教学中采用启发、引导、探索、讨论交流的方式进行组织教学，结合多媒体使用充分调动学生的主动性、积极性，使其真正成为学习的主体.

教学过程

一、创设情境，引入新课

情境1：

当两个齿轮接触时，蓝齿轮会带动红齿轮转动；而当两个齿轮没有接触时，蓝齿轮要带动红齿轮转动，可以加入一个新的齿轮，使之与红蓝两个齿轮均接触.（由此让学生感受中间变量的作用，为参数方程中参变量的引出作铺垫）

情境2：

设飞机以v150m/s匀速作水平飞行，若在飞行高度h588m处投弹（设炸弹的初速度等于飞机的速度），求炸弹离开飞机后的轨迹方程. （通过学生熟悉的物理问题引入曲线参数方程的概念）

二、探究新知，建构概念

1、曲线的参数方程：

一般地，在取定的坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标(x,y)都是某个变数t的函数

xf(t) ①

yg(t)并且对于t取的每一个允许值，由①式所确定的点P(x,y)都在这条曲线上，那么称①式为这条曲线的参数方程，联系x,y之间的变数t叫作参变数，简称参数. P.S. （1）参数方程中，应明确参数t的取值范围；若不明确写出其范围，则t的2

取值范围即yf(t)与yg(t)这两个函数的自然定义域的交集；

（2）若能从参数方程中消去t，就得到联系x,y的方程F(x,y)0，即曲线的直角坐标方程（普通方程）. 例如，在引例中，y5884.9(2、直线的参数方程：

探究1：已知一条直线过点M0(x0,y0)，倾斜角为，求这条直线的参数方程. ——直线的点斜式方程为yy0tan(xx0)( 即

记上式的比值为t，则

xx0yy0

cossinx2)

1502)

xx0tcos (t为参数)

yy0tsin称其为直线参数方程的标准形式. P.S.

参数t的几何意义：|t|表示直线上任一点M到定点M0的距离

t0：MM0向上，|MM0|t；

t0：M与M0重合； ②

t0：

MM0向下，|MM0|t. 探究2：已知一条直线过点M0(x0,y0)，方向向量为a(l,m)，求这条直线的参数方程. ——设点M(x,y)为直线上任意一点，则M0M//a，从而

xx0yy0

lm3

记上式的比值为t，则

xx0lt (t为参数)

yymt0称其为直线参数方程的一般形式. P.S.

此时，参数t一般不具有几何意义②；

l22xx(lmt)022lm 可将其化为标准形式：当m0时，(t为参数)，myy0(l2m2t)l2m2xx0t'cos可写作(t'为参数)，t'具有几何意义②. yy0t'sin三、巩固概念，理解应用

例1、选取适当参数，将直线方程y2x3化为参数方程. 解：选tx，则y2t3

xt从而直线的参数方程为. y2t3（选tx1，则y2t1

xt1从而直线的参数方程为.）

y2t1x53t例2、设直线的参数方程为. y10-4t（1）求直线的直角坐标方程；（2）化为直线参数方程的标准形式. 解：（1）将tx5代入y的表达式得：

3y104x5，

3即4x3y500. 3322x5(34t)5(5t)22534（2）方程变形为，

44y10(3242t)10(5t)532424

3x5u5令u5t，则方程变为. 4y10u5x5ucos34 记cos，sin([0,))，则方程即(u为参数). 55y10usin例3、设直线l经过点M0(1,5)，倾斜角为（1）求直线l的参数方程；

（2）求直线l和直线l':xy230的交点P到点M0的距离；

（3）求直线l和圆C:x2y216的两个交点到点M0的距离的和与积. . 31x1tx1tcos23(t为参数). 解：（1）直线l的参数方程为，即y5tsiny53t32（2）将直线l的参数方程代入xy230得：

131t（-5t）-230，

22从而t1063，|PM0||t|1063. （3）将直线l的参数方程代入x2y216得：

132(1t)2（5t）16，

22即t2（153t）100. 设直线l与圆的两个交点A,B分别对应参数t1,t2，则

t1t2(153)0,t1t2100，

从而|AM0||BM0||t1||t2||t1t2|153，

|AM0||BM0||t1||t2||t1t2|10.

牛刀小试：

x3tsin201、直线(t为参数)的倾斜角ytcos20为 . 5

xx0tcos分析：对比直线参数方程的标准形式有

yytsin0cossin20,sincos20，

又[0,)，故70. x12txs2、直线l1:则k . (t为参数)与l2:(s为参数)垂直，y2kty12sxx0ltk,kl22，又分析：对比直线参数方程的一般形式有kl12yymt0kl1kl21，故k1.

3、直线xy10的参数方程的标准形式为 . 3分析：已知直线过点(1,0)，斜率为1，从而倾斜角为，故参数方程的标准423x1tx1tcos4，即2. 形式为y0tsin3y2t425-4)，倾斜角为. 4、设直线l1过点A(2，6①求直线l1的参数方程；

②若直线l2:xy10与l1交于点B，求|AB|. 53x2tcosx2t62分析：直线l1的参数方程为，即. 5y-4tsiny41t62将其代入直线l2方程得：t7(31)，

从而|AB|t7(31). 四、归纳小结，深入认识

1、曲线的参数方程：

xf(t)(t为参数)；

yg(t)6

2、直线的参数方程：

xx0tcos（1）标准形式：(t为参数)

yytsin0 ——表示过点M0(x0,y0)，倾斜角为的直线

（此时，关注参数t的几何意义）

xx0lt（2）一般形式：(t为参数)

yy0mt ——表示过点M0(x0,y0)，方向向量为a(l,m)的直线

（此时，参数t一般不具有几何意义）

3、数学思想方法：数形结合、转化与化归、类比

作业布置

课本上本节课后练习

板书设计

§2.1 直线的参数方程

1、曲线的参数方程：

例题板演区 PPT展示区

2、直线的参数方程：

（1）标准形式： （2）一般形式：

7