2.2.1 直线的参数方程优秀教学设计

直线的参数方程及应用

姓名：_____班级：_____ 1．

掌握直线参数方程的标准形式和一般形式，理解参数的几何意义；

2．

熟悉直线的参数方程与普通方程之间的互化；

3．

利用直线的参数方程求线段的长，求距离、求轨迹、与中点有关等问题；

一、知识梳理

问题1：（直线由点和方向确定）

求经过点M0(x0,y0)，倾斜角为的直线l的参数方程. 分析：从l上任取一点M(x,y)，则M0Mxx0,yy0，

yl

e

M(x,y)

(h l向上方向上单位向量为ecos,sin，M0M与e共线，

存在唯一实数t使得M0Mte即



0h Mx

xx0,yy0tcos,sin于是xx0tcos，yy0tsin

因此经过点M0(x0,y0)，倾斜角为的直线l的参数方程为

x,yxx0tcos（t为参数，tR）

yy0tsin称之为直线参数方程的标准形式

特别地，若直线l的倾斜角＝0时，直线l的参数方程为 若直线l的倾斜角＝0时，直线l的参数方程为：________________

结论1：

问题2：直线l上的点与对应的参数t是不是一

对应关系？

结论2：参数t的几何意义是：___________________________

结论3：M1、M2为直线l上两点，所对应的参数分别为t1、t2

，

（1）∣M1M2∣=________________________________

0xx0t

yy0yM0M(x,y) x

（2）若M3是M1、M2的中点，则M3对应的参数为______，|M0M3|=_______

特别地

若M0是M1、M2的中点，则_________ 二、例题&练习

考点1、参数方程与普通方程的互化

例1：写出过点1,0且倾斜角为

5的直线的参数方程和普通方程. 6x13t变式1：将参数方程②化为普通方程，并说明②式中参数的几何意义. yt

1

问题：直线的参数方程

x1t能否化为标准形式？

y33 t

x1tsin25变式1：直线l的方程：（t为参数），那么直线l的倾斜角(

) y2tcos25 A 65° B 25° C 155° D 115°

变式2：写出经过点M0（－2，3），倾斜角为3的直线l的标准参数方程，并且

4

求出直线l上与点M0相距为2的点的坐标.

考点2.直线与圆锥曲线的位置关系

（1）

中点问题

例2.（2018全国II）在直角坐标系为（为参数）.

中，曲线的参数方程为（为参数），直线的参数方程（1）求和的直角坐标方程；

（2）若曲线截直线所得线段的中点坐标为

，求的斜率．

x4cos变式1.在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为

（为参数）

y2sin（1）求曲线C的普通方程

（2）经过点M2,1（平面直角坐标系xOy中的点）作直线l交曲线C于A,B两点，若M2,1恰好为线段AB的三等分点，求直线l的斜率.

2

（2）

弦长问题

x2tcos例3．在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），在极坐标系（与y4tsin直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以O为极点，x轴正半轴为极轴）中，圆C的方程为12sin. （1）

求圆C的直角坐标方程

（2）

设圆C与直线l交于点A,B，若点P的坐标为2,4，求PAPB的最小值.

点拨：利用直线l的标准参数方程中参数t的几何意义，在解决诸如直线l上两点间的距离、直线l上某两点的中点以及与此相关的一些问题时，比用直线l的普通方程来解决显得比较灵活和简捷. （3）其他应用

x2y221的一个焦点

例4.已知抛物线C:y2pxp0的焦点F为椭圆M:95（1）

在x轴的正半轴上，是否存在某个确定的点M，过该点的动直线l与抛物线C交于A,B两点，使11得为定值？如果存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由. 22AMBM

点拨：利用直线标准参数方程中的参数t的几何意义解决距离问题、距离的乘积（或商）的问题，比使用直线的普通方程，与另一曲线方程联立先求得交点坐标再利用两点间的距离公式简便.

练习：

1．（2018全国III,22,10分）在平面直角坐标系点且倾斜角为的直线与交于中，两点．

的参数方程为（为参数），过（1）求的取值范围；

（2）求中点的轨迹的参数方程．

3

x2t,x2y21，直线l：2.（2014全国卷I）已知曲线C:（t为参数）.

49y22t,（I）写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程；

（II）过曲线C上任意一点P作与l夹角为30的直线，交l于点A，PA的最大值与最小值．

3．已知曲线的参数方程是（为参数），直线的参数方程为（为参数）

（1）求曲线的直角坐标方程和直线的普通方程.

（2）设点，若直线与曲线交于、两点，且，求实数的值.

4.（课本例题）经过抛物线C:y2pxp0外一点A2,4且倾斜角为45的直线l与抛物线分别2交于M1,M2.如果AM1,M1M2,AM2成等比数列，求p的值.

、

4

5

6

7

8