本章小结10分钟试讲教案

§6相遇及追及问题

教学目标：1、进一步理解和掌握相遇及追及问题的解题方法

2、能灵活分析、解决相遇及追及问题。

教学重点：物理过程的分析。

教学难点：知识的灵活运用。

教学方法：讲练结合，计算机辅助教学

教学过程：

一．相遇及追及问题

1．特点：

追及问题是两个物体运动的问题。两个物体的速度相等往往是解题的关键，此时两物体间的距离可能最大，也可能最小。

2．解题方法：

选同一坐标原点、同一正方向、同一计时起点，分别列出两个物体的位移方程及速度方程。

解题的关键是找出两物体间位移关系、速度关系。

当位移相等时，两物体相遇；两物体速度相等时，两物体相距最远或最近。

这类问题如能选择好参照物，可使解题过程大大简化。巧用运动图象亦可使解题过程大大简化。

例1、车从静正开始以1m/s2的加速度前进，车后相距s0为25m处，某人同时开始以6m/s的速度匀速追车，能否追上？如追不上，求人、车间的最小距离。

解析：依题意，人与车运动的时间相等，设为t。当人追上车时，两者之间的位关系为：

s人+s0=s车

即： v人t+ s0= at2／2 由此方程求解t，若有解，则可追上；若无解，则不能追上。

代入数据并整理得：

t2－12t+50=0 △=b2－4ac=122－4×50×1=－56＜0 所以，人追不上车。

在刚开始追车时，由于人的速度大于车的速度，因此人车间的距离逐渐减小；当车速当于人的速度时，人车间的距离逐渐增大。因此，当人车速度相等时，两者间距离最小。

at′=6 t′=6s 在这段时间里，人、车的位移分别为：

s人=v人t=6×6=36m s车=at′2/2=1×62/2=18m v △s=s0+s车－s人=25+18－36=7m 练习：A、B两质点从同一位置沿同一方向同时开始运动，其v—t图线如

6 图所示，则A、B相距最远的距离是______m，______s末B追上A，B追上A

3

1

2

3 4 时的速度大小是_____m/s。

解：9m；6s；12m/s 例2、甲车在前以15m/s的速度匀速行驶，乙车在后以9m/s的速度行驶。当两车相距32m时，甲车开始刹车，加速度大小为1m/s2。问经多少时间乙车可追上甲车？

分析：乙此追上甲车可能有两种不同情况：甲车停止前被追及和甲车停止后被追及。究竟是哪一种情况，应根据解答结果，由实际情况判断。

解答：设经时间t追上。依题意：

v甲t-at2/2+L=v乙t 15t-t

2/2+32=9t t=16s t=-4s(舍去) 甲车刹车的时间

t′=v0/a=15s 显然，甲车停止后乙再追上甲。

甲车刹车的位移

s甲=v02/2a=152/2=112.5m 乙车的总位移

s乙=s甲+32=144.5m t=s乙/v乙=144.5/9=16.06s 二．避碰问题

两物体恰能“避碰”的条件是：两物体在同一位置时，两物体的相对速度为0。

例、(《金版教程》P65 例3)为了安全，在公路上行驶的汽车之间应保持必要的距离．已知某高速公路的最高限速v＝120km／h．假设前方车辆突然停止，后车司机从发现这一情况，经操纵刹车，到汽车开始减速所经历的时间（即反应时间）t＝0.50s．刹车时汽车受到阻力的大小f为汽车重力的0.40倍．该高速公路上汽车间的距离s至少应为多少？取重力加速度2g=10m／s．(99·全国) 解析：相遇时，若后车与前车速度相等，则不会出相危险。

后车匀速运动的位移 s1=v0t=50/3 m 后车的加速度 a=f/m=μg=4m/s2

后车匀减速的位移 s2=v02/2a=138.9m 汽车间距 s=s1+s2=155.6m 三．求解追击问题的常用方法

1、通过运动过程的分析，找到隐含条件，从而顺利列方程求解，例如：

⑴、匀减速物体追赶同向匀速物体时，能追上或恰好追不上的临界条件：

即将靠近时，追赶者速度等于被追赶者速度（即当追赶者速度大于被追赶者速度时，能追上；当追赶者速度小于被追赶者速度时，追不上）

⑵、初速为零的匀加速物体追赶同向匀速物体时，追上前两者具有最大距离的条件：追赶者的速度等于被追赶者的速度。

2．利用二次函数求极值的数学方法，根据物理现象，列方程求解。

3．在追击问题中还常常用到求“面积”的方法，它可以达到化繁为简，化难为易，直观形象的效果。

例1、甲乙两车同时同向从同一地点出发，甲车以v1=16m/s的初速度，a1=-2m/s2的加速度作匀减速直线运动，乙车以v2=4m／s的速度，a2=1m／s2的加速度作匀加速直线运动，求两车再次相遇前两车相距最大距离和再次相遇时两车运动的时间。

解法一：

两车同时同向出发，开始一段由于甲车速度大于乙车速度，将使两车距离拉开，由于甲车作匀减速运动，乙车作加速运动，总有某一时刻两车速度相同，此时两车相距最远，随着甲车进一步减速，乙车进一步加速，动车速度大于甲车速度，使两车距离变小，当乙车追上甲车时．两车运动位移相同。

当两车速度相同时，两车相距最远，此时两车运动时间为t1，两车速度为v 对甲车： v=v1+a1t1

对乙车： v=v2+a2t1

两式联立得 t1=(v1-v2)/(a1-a2)=4s 此时两车相距 △s=s1-s2=(v1t1+a1t12/2)- (v2t1+a2t12/2)=24m 当乙车追上甲车时，两车位移均为s，运动时间为t．则：

v1t+a1t2/2=v2t2+a2t2/2 得 t=8s 或t=0(出发时刻，舍去。) 解法二：

甲车位移 s1= v1t+a1t2/2 乙车位移 s2= v2t2+a2t2/2 某一时刻两车相距为△s △s=s1-s2= (v1t+a1t2/2)-(v2t2+a2t2/2) =12t-3t2/2 当t=-b/2a时，即t=4s时，两车相距最远

2 △s=12×4-3×4/2=24m 当两车相遇时，△s=0，即12t-3t2/2=0 ∴ t=8s 或t=0(舍去) 例2、(《金版教程》P52 例6)一辆汽车在十字路口等候绿灯，当绿灯亮时汽车以3m/s2的加速度开始行驶，恰在这时一辆自行车以6m/s的速度匀速驶来，从后边超过汽车。试求：汽车从路口开动后，在追上自行车之前经过多长时间两车相距最远？此时距离是多少？ 解法一、利用二次函数极值法求解

设经过时间t汽车和自行车之间的距离ΔS，由如图1可得

ΔS

= S自

- S汽

= 31v自t -

at2 =6t -t2 22S汽

二次函数求极值的条件可知：

b6当t= -=（s）= 2（s）时两车之间的距离△S

2a33有极大值，且ΔSma x =6×2 -×22 =6（m）

S自

2

解法二、利用分析法求解

自行车在追击汽车的前一阶段过程中，由于汽车的速度小于自行车的速度，汽车与自行车之间的距离越来越大；当汽车的速度大于自行车的速度以后，汽车与自行车之间的距离便开始缩小，很显然，当汽车的速度与自行车的速度相等时，两车之间的距离最大。 由上述分析可知当两车之间的距离最大时有 v汽

=at = v自

v自6 ∴ t ==（s）=2（s）

a3 ∵ΔSma x = S自

- S汽

31∴ΔSma x = v自t -

at2 =6×2 -×22 =6（m） 22解法三、利用图象求解

v/m/s 在同一V---t图中画出自行车和汽车的速度图线，如图2所示，其中Ⅰ表示自行车的速度图线，Ⅱ表示汽车的速度图线，自行车的位移S自等于图Ⅱ

线Ⅰ与时间轴围成的矩形的面积，而汽车的位移S汽 则等于图线Ⅱ与时间轴围成的三角形的面积。两车之间的距离则等于图中矩形的面积与三角形6

Ⅰ

θ

0

t0

t/s

面积的差，不难看出，当t=t0时矩形与三角形的面积之差最大，

1即： ΔSma x =6t0 - t0×6 （1）

2因为汽车的速度图线的斜率等于汽车的加速度大小

6∴tgθ==a

t0∴

t0

==（s）=2（s） （2）

由上面（1）、（2）两式可得ΔSma x =6 （m）

解法四、利用相对运动求解

选自行车为参照物，则从开始运动到两车相距最远这段过程中，汽车相对此参照物的各个物理量的分别为：v相初 = 6m/s，a相 = -3 m/s2，

v相末 = 0

。

22由公式 2a相S相

= v相末-

v相初 得

S相

=v相末v相初2a相226a63062=

2(3) =6（m）

练习：1、在一条公路上并排停着A、B两车，A车先启动，加速度a1=20m/s2，B车晚3s启动，加速度a2=30m/s2，以A启动为计时起点，问：在A、B相遇前经过多长时间两车相距最远？这个距离是多少？

解一、两车速度相等时，相距最远。

a1t=a2(t-3) 得 t=9s ∴ △s=a1t2/2-a2(t-3)2/2=270m 解二、 △s=a1t2/2-a2(t-3)2/2=-5t2+90t-135=-5(t2-18t+27) 二次项系数为负，有极大值。

△s=-5(t-9)2+270 当t=9s时，△s有极大值

△s=270m 解三、用图象法求。

作出v—t图如图。由图可知，在t=9s时相遇。△s即为图中斜三角形的面积。

△s=3×180/2=270m 2、A、B两车在一条水平直线上同向匀速行驶，B车在前，车速v2=10m/s，A车在后，车速72km/h，当A、B相距100m时，A车用恒定的加速度a减速。求a为何值时，A车与B车相遇时不相撞。

解一：作物理情景示意图如图所示。

对A： s1=v1t-at2/2 ① v2=v1-at ②

对B： s2=v2t ③

且 s1-s2=100m 由①、③得 100=20t-at2/2-10t=10t-at2/2 ④

由②、④得 t=20s a=0.5m/s2

解二、利用平均速度公式。

s1=(v1+v2)t/2=15t

v s2=v2t=10t 20 s1-s2=15t-10t=100 10 θ

∴ t=20s

由v2=v1-at得 a=0.5m/s2

0

t

t 解三、作出v—t图，如图。

图中三角形面积表示A车车速由20m/s到10m/s时，A比B多之的位移，即s1-s2=100m。

100=10×t/2 ∴ t=20s |a|=tgθ=1/2=0.5m/s2

解四、以B车为参照物，用相对运动求解。

A相对于B车的初速度为10m/s，A以a减速，行驶100m后“停下”，跟B相遇而不相撞。

22 vt=v0-2as 0=102-2a100 2a=0.5m/s

v2=v1-at 得 t=20s

教学后记：