一元二次方程的概念教学内容

《认识一元二次方程》教学设计

黄陵中学

徐颖

1．教学内容分析：

《认识一元二次方程》是北师大版九年级数学上册第二章第一节的内容，是一元二次方程这一章的起始课，共分2课时，本节课为第1课时.本节内容是通过丰富的现实情境，让学生寻找等量关系，然后再用方程来刻画等量关系，抽象出一元二次方程的概念，发展模型思想.本节要解决的是一元二次方程“是什么”的问题，对于本节内容来说，要打通一元二次方程与数、式、一元一次方程、二元一次方程组等之间的关系，让学生明晰一元二次方程与其他内容之间的内在逻辑，要把一元二次方程的概念学透，让学生明确一元二次方程的本质要义，属于内涵层面的内容. 一元二次方程来源于现实世界，是刻画现实世界数量关系的一个有效数学模型.一元二次方程是在一元一次方程基础上

“次”的推广，它是解决诸多实际问题的桥梁. 一元二次方程的学习是一次方程、方程组及不等式知识的延续和深化，也是函数等重要数学思想方法的基础.本节课是研究一元二次方程的导入课，它为进一步学习一元二次方程的解法及简单应用起到铺垫作用. 2．学科价值定位

基于上述教学内容分析，本节内容蕴含的数学学科核心素养要求主要是数学抽象、数学建模和推理能力，让学生再次经历用方程刻画现实世界数量关系的过程，体会一元二次方程概念的本质，形成方程观念，发展模型思想和推理能力.逐步认识数学与生活的联系，形成用数学知识解决问题的习惯，发展应用意识.这一要求的达成细化于在丰富的问题情境中寻找等量关系，列方程的过程以及通过观察对比，归纳一元二次方程的定义等过程. 3．认识知识间联系

纵向联系——小学：认识了方程的概念，会用方程描述简单的数量关系，会用等式的性质解简易方程，会列方程解决简单的实际问题. 初中：学习过一元一次方程、二元一次方程（组）、分式方程，本章将研究一元二次方程，研究方法基本相同，概念都源于现实情境，解法体现转化思想. 高中：继续研究高次方程、多元方程和无理方程的解法，以及其他非代数方

程及其解法和应用. 横向联系——代数式、方程、不等式和函数等都是刻画现实世界的重要模型，其学习过程都蕴含模型思想和抽象思维，都能体会数学与生活的联系，发展学生的应用意识. 4．课标解读与教学目标

《课标》对本节课的要求：

能根据具体问题中的数量关系列出方程，体会方程是刻画现实世界数量关系的有效模型. 核心名词：方程，对应本节课指的是一元二次方程. 行为动词：能，体会. 分解核心名词——一元二次方程：包括一元二次方程的实际情境？定义形式？与其他知识的联系？体现的学科素养和教育价值？

分解行为动词——“能”，同类词是“掌握”，是指在理解的基础上，把对象用于新的情境. “体会”，同类词是“体验”，是指参与特定的数学活动，主动认识或验证对象的特征，获得一些经验. 基于以上的分析和《课标》对本节课的要求，确定如下的教学目标：

（1）

通过建立一元方程解决相关的实际问题，让学生体会一元二次方程存在的实际背景，感受一元二次方程是重要的数学模型，培养学生分析问题和解决问题的能力及用数学思维的意识. （2）将不同形式的一元二次方程统一为一般形式，让学生从数学符号的角度，完善一元二次方程的概念．学生能够将一元二次方程整理成一般形式，准确的说出方程的各项系数．

（3）通过学生动手观察、分析、概括归纳得出一元二次方程的概念，体现研究代数学问题的一般方法，培养他们的抽象概括能力及类比思想，提高学生分析问题和解决问题的能力. 5．学生经验与困惑分析

知识与活动经验：

学生经历了学习一元一次方程、二元一次方程以及分式方程等概念的过程，

具备了一定的思维活动经验，在学习各类方程、不等式以及函数的过程中积累了一定的数学建模经验，学生还具备了进行整式运算的能力. 可能出现的困难：

（1）对于情境复杂的实际问题.学生寻找等量关系，列方程会存在困难；

（2）“二次”的特征不直观，不利于学生概括定义; （3）学生对一元二次方程的定义的形式会感到陌生. 6．教学过程中教学策略分析

（1）关注社会热点问题“第18届亚运会”，通过中国女足小组赛的比赛场数与球队个数之间的数量关系出发，开始用方程刻画现实问题中的等量关系，激发了学生的学习兴趣以及爱国情怀，替换了教材中的问题情境，还把另外两个情境调整顺序，以便于学生能够更好地理解题意，找准等量关系，顺利列出方程.体会“方程是刻画现实世界数量关系的重要模型”这一思想，以发展学生数学抽象的核心素养以及模型思想，有助于发展学生的学科核心素养. （2）学生不容易问题情境中所列方程是“二次”的特征，因此需要引导学生分析，动手操作，利用整式乘法等相关知识将方程进行整理、变形，体会二次生成原因是出现两个一次项相乘.从而更好地发现一元二次方程的本质特征，进而概括出一元二次方程的定义. （3）为了解决学生对一元二次方程的定义的形式会感到陌生的问题，采用了让学生类比一元一次方程以及二元一次方程等概念，让学生概括出一元二次方程的本质，即只含有一个未知数，未知数的最高次数为2的整式方程，这恰恰也是人教版，华师大版教材中给出的一元二次方程的定义，那么为什么北师大版教材中的定义是只含有一个未知数的整式方程，并且可以化成ax²+bx+c=0（a、b、c为常数，a≠0）的形式呢？这样的定义一方面是对一元二次方程另一个角度的理解，是对数学符号语言的应用能力的提升．同时也为后续研究公式法解一元二次方程奠定扎实的基础.因此在这个环节的处理上，采用让学生观察问题情境中的三个方程化简后的结构，让学生表示这种结构特征的一般形式，进而顺利的与北师大版教材中的一元二次方程定义的对接. 教学过程分析

（一）情境引入

首先PPT呈现图片——2018雅加达亚运会的会徽，学生观察，联想有关2018雅加达亚

运会的具体情况以及中国在这次亚运会的成绩.

再呈现中国女足的一张图片，了解女足在这次亚运会中的表现，在这次亚运会中，进入决赛的女足小组分组分成了3组，中国队被分在了B组，B组的参赛队伍还有朝鲜队、中国香港队和塔吉克斯坦队，比赛规则是每两个队之间都要比赛一场，那么这个小组一共进行多少场比赛呢？

学生可以用列举法得到结果：中国队与朝鲜队；中国队与中国香港对；中国队与塔吉克斯坦队；朝鲜队与中国香港队；朝鲜队与塔吉克斯坦队；中国香港队与塔吉克斯坦队，一共有6场比赛. 学生也可以用算式3+2+1=6得到结果. 学生还可以用1436得到结果. 21队数×（队数-1）=场数，只要将队数用具体2引导学生发现这个问题中的等量关系：数字代替就能求出比赛场数. 设计意图：设计亚运会的相关信息目的是激发学生的学习兴趣以及爱国情怀，借助女足小组赛的比赛场次与参赛队个数之间的关系让学生从4个球队的问题中发现等量关系，为后面的第一个问题列方程做准备，体会“方程是刻画现实世界等量关系的重要模型”这一思想.以发展学生数学抽象的核心素养以及模型思想，有助于发展学生的学科核心素养.

（二）新知探究

问题1：要组织一场足球联赛，赛制为单循环形式（每两队之间都要赛一场），计划安排55场比赛，应邀请多少个球队参加比赛？

学生先独立思考再交流讨论，分析已知条件得到等量关系：设邀请x个球队参加比赛，根据题意得：

问题2：某学校校园一角有一个长为2m，宽为1.5m的宣传板，学校准备在宣传板的正中间喷绘一块宣传“担复兴大任，做时代新人”的图片，其面积为2m²，四周未喷绘的条形区域的宽度都相同，你能求出这个宽度吗？

1队数×（队数-1）=场数，

21xx155. 21.5m

学生分析已知条件得到等量关系：长×宽=面积，

2m

设这个宽度为xm，根据题意得：22x1.52x2.

问题3：《九章算术》是我国古代最重要的数学著作之一，在“匀股”章中记载了：“今有二人同所立，甲行率七，乙行率三．乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会．问甲乙行各几何”．

大意是说，已知甲、乙二人同时从同一地点出发，甲的速度为7，乙的速度为3．乙一直向东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇．那么相遇时，甲、乙各走了多远？

学生分析已知条件，如果设甲乙行走的时间为x，可得到直角三角形的两条直角边分别为3x和10，斜边长为（7x-10），可以利用勾股定理建立等量关系，即两条直角边的平方和2等于斜边的平方，则可列出方程：3x107x10.

22设计意图：设计本活动的目的是引导学生通过自主探究，合作交流对具体问题从形象到抽象认识，训练学生从实际问题中抽象出数学知识，旨在培养学生的问题意识，提高学生的抽象思维能力，同时也为后续归纳一元二次方程的概念提供材料.同时设计这三个实际问题的目的是引导学生对数学文化和社会热点问题的关注，落实学生发展核心素养的培养.

提出问题：

问：上面三个问题中所列出的方程属于原来学过的哪类方程？一共学过哪些方程？

学生思考并回答：之前学过一元一次方程，二元一次方程组和分式方程，这三个方程不属于上面的任何一种. 问：你判断的依据是什么？

答：根据方程的定义，由于这三个方程都是整式方程，因此都不是分式方程；这三个方程都含有一个未知数，因此都不是二元一次方程，由于方程中最高次数不是1，因此不是一元一次方程. 1xx155不是一次方程的呢？

2121答：可以将方程的左边用整式的乘法法则乘开，得到xx55，未知数最高次数22问：怎么发现方程为2，因此不是一次方程. 引导学生进一步将方程变形为121xx550. 222接下来把另外两个方程也化为这种形式. 于是可得到方程4x7x10，40x140x0. 问：你们将这类方程起个名字吗？

答：一元二次方程. 问：那么什么是一元二次方程呢？你能给它下个定义吗？

答：（1）只含有一个未知数；

2

（2）所含未知数的最高次数为2；

（3）是整式方程. 在学生总结的基础上进行补充：都能够化成axbxc0（a、b、c为常数，且a≠0）的形式，我们把axbxc0（a、b、c为常数，且a≠0）成为一元二次方程的一般形式，其中ax，bx，c分别称为二次项，一次项和常数项，a，b分别称为二次项系数和一次项系数.

222（三）巩固应用

1.下列方程中，哪些是关于

x

的一元二次方程？如果不是，请说明理由. （1）-5x20

（2）2xx3

23（3）3xx0

（4）2x211

3x2（5）x2xy30

（6）xx5x2x

设计意图：通过辨析加深学生对一元二次方程的定义的理解，把握一元二次方程的本质特征.

2. 根据题意列出一元二次方程，并将所列方程化成一元二次方程的一般形式，然后写出它的二次项系数，一次项系数和常数项：

（1）一个边长为x的正方形的面积为18；

（2）已知直角三角形的三边为连续整数，求它的三边长. 设计意图：通过这个练习使学生进行分析等量关系，列出方程，进一步体会方程是刻画现实世界中等量关系的有效模型，同时能够确定一元二次方程的各项及其对应系数，掌握一元二次方程的构成.最后借助第一个小问题中列出的方程x²=18提出问题：x的值是多少？，通过这个简单的问题让学生初步体会一元二次方程的解与其他所学过的方程一样，都是使方程两边相等的未知数的值，然后再进行两个有关方程解的应用，为下节课探究方程的近似解及后续准确求解一元二次方程作铺垫.

3.中考链接

（2014•山西22（2）题）某新建火车站站前广场需要绿化的面积为46000米2..该项绿化工程中有一块长为20米，宽为8米的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，它们的面积之和为56米2，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道（如图所示），问人行通道的宽度是多少米？

设计意图：通过中考链接这个环节，使学生了解到本节课所学知识的重要作用，体现了解中考的考试方向，极大程度上调动学生学习的积极性.

（四）感悟收获

谈谈本节课的收获和体会？你还有哪些问题？

学生发言，互相补充，教师点评完善. 既要关注知识的整理与归纳，更要关注本节课研究问题的过程以及运用的数学思想方法.

设计意图：鼓励学生回顾本节课知识方面有哪些收获，解题技能方面有哪些提高，引导学生建立知识之间的内在联系，概括本节课的核心知识及运用的数学思想和研究方法，旨在使学生生成组织良好的数学认知结构网络.

（五）当堂检测

1.把一元二次方程

(x+1)(1-x)=2x化成一般形式是

. 2. 一元二次方程4x²+x=1的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（

）

A. 4, 0, 1

B. 4, 1, 1

C. 4, 1, -1

D. 4, 1, 0 3.如图，在一块长为22米、宽为17米的矩形地面上，要修建同样宽的两条互相垂直的道路（两条道路各与矩形的一条边平行），剩余部分种上草坪，使草坪面积为300平方米．若设道路宽为x米，则根据题意可列出方程

.

设计意图：紧扣目标点设计达标测评题，全面了解学生学***，及时发现学生认识中存在的问题，给予有效指导，保证当堂落实. （六）布置作业

（必做题）习题2.1 第1、2、3题

（选做题）某商场国庆节期间搞促销活动，一件800元的商品第一次降价后，销售较慢，于是又进行了第二次降价，第二次降价的百分率是第一次的2倍，结果以476元的价格迅速销售一空，那么每次降价的百分率各是多少？

设计意图：考虑学生的实际情况分层布置作业，必做题面向全体，让学生在巩固知识的同时，有一定的创新空间，选做题供学有余力的同学研究、提高.