一元二次方程的根的判别式PPT及课堂实录内容

一元二次方程的根的判别式

一、教学内容分析

《一元二次方程的根的判别式》这一节在整个中学数学中占有重要的地位，既可以根据它来判断一元二次方程的根的情况，又可以为今后研究不等式，二次三项式，二次函数等奠定基础，并且用它可以解决许多其它综合性问题。通过这一节的学习，培养学生的探索精神和观察、分析、归纳的能力，以及逻辑思维能力、推理论证能力，并向学生渗透分类的数学思想，渗透数学的简洁美。

教学重点：根的判别式的正确理解和运用

教学难点：根的判别式的运用。

教学关键：对根的判别使用条件的透彻理解。

二、学情分析

学生已经学过用公式法解一元二次方程，并对根的判别式的作用已经有了初步了解，在此基础上来进一步研究根的判别式的作用，它是前面知识的深化与总结。从思想方法上来说，学生对分类讨论思想、整体思想，方程思想已经有所接触。所以本堂课可以通过让学生动手、动脑来培养学生探索精神和观察、分析、归纳的能力，以及逻辑思维能力、推理论证能力。

二、教学目标

知识和技能：

1、感悟一元二次方程的根的判别式的产生的过程；

2、能运用根的判别式，判别方程根的情况和进行有关的推理论证；

3、会运用根的判别式求一元二次方程中字母系数的取值范围；

过程和方法：

1、培养学生的探索、创新精神；

2、培养学生的逻辑思维能力以及推理论证能力。

情感态度价值观：

1、向学生渗透分类的数学思想和数学的简洁美；

2、加深师生间的交流，增进师生的情感；

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3、培养学生的合作精神。

四、教学策略：

本着“以学生发展为本”的教育理念，同时也为了使学生都能积极地参与到课堂教学中，发挥学生的主观能动性，本节课主要采用了引导发现、讲练结合的教学方法。

五、教学流程：

（一）情境引入

用公式法解下列一元二次方程

（1））2x2-4x-1=0

（2）x2+9=6x

（3）x2-2x+3=0

设计意图：这样设计，使学生亲身感知一元二次方程根的情况，培养了学生的探索精神，变“老师教”为“自己钻”，从而发挥了学生的主观能动性。

（二）

探索新知

问题1：观察上面三个方程根的情况，你有什么发现？

问题2：从这三个方程的解题过程，不难发现在把系数代入求根公式之前，都是先确定了a、b、c的值，然后求出b-4ac ，那么b-4ac起什么作用呢？

22【学生】它能决定方程是否有解。

设计意图：（1）是为了让学生明白：a,b,c 的值的符号在解一元二次方程中所起的重要作用，从而很自然地引出了根的判别式概念。（2）是为了培养学生从具体到抽象的观察、分析与概括能力并使学生从感性认识上升到理性认识。

问题3、一元二次方程根的情况果真有三种吗？

请同学们认真阅读课本的内容，书上从理论方面给我们做了很好的解释。

设计意图：这样设计是为了培养学生思维的严谨性，养成严格论证问题的习惯以及自学能力的培养。

概括总结：

（1）△＞0 方程有两个不相等的实数根

△ =0 则方程有两个相等的实数根

△＜0则方程没有实数根

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【教师】由此可见：在解一元二次方程时，b2-4ac起着重要的作用，显然我们可以根据b2-4ac的值的符号来判断一元二次方程的根的情况，因此，我们把△=b2-4ac 叫做一元二次方程的根的判别式，通常用符号“△（读作delta，它是希腊字母）”来表示，即△=b2-4ac 。用一个简单的符号来表示一个数学式子的情况，在今后的数学学习中还会遇到，它体现了数学的简洁美。

设计意图：这样设计是为了培养学生学会如何用数学语言来阐述发现的结论，如何将感性认识上升到理性认识，以及加深学生对两个定理的认识，为定理及逆定理的正确运用做好铺垫。

（三）典例赏析

例1：不解方程判别下列方程根的情况

（1）2x2+5=7x （2）4x（x-1）+3=0 （3）9x2+6x+1=0 分析：要判别方程根的情况，就是要确定△值的符号，

例2：

关于x的一元二次方程x2-4x+k-5=0，当 k的何值时？

(1)

有两个相等的实数根；

(2)

有两个不相等的实数根；

(3)

没有实数根；

变式1：当m为何值时，关于x的一元二次方程（m-2）x2+2x+1=0有实数根？

变式2、当m为何值时，关于x的方程（m-2）x2+2x+1=0有实数根？

（四）拓展提升

已知关于x的一元二次方程x2－(2k＋1)x＋k2＋k＝0. (1)求证：无论k为何值时，方程总有两个不相等的实数根； (2)若△ABC的两边AB，AC的长是这个方程的两个实数根．第三边BC的长为5，当△ABC是等腰三角形时，求k的值．

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设计意图：通过几个不同类型，不同层次的的例题，规范学生的解题格式，促使不同层次的学生都得到不同的发展。

（五）总结提高

本节课你有哪些收获？

（1）知识方面

（2）思想方法

设计意图：这样设计是想帮助学生理清知识结构，掌握知识间的内在联系，构建知识体系。

（六）巩固训练

1、不解方程判定下列方程根的情况：

(1)2x2+3x-4=0

（2）3x2+5x-2=0 （3）x2+2x-4=0 2、k取何值时，关于x的一元二次方程2x2-(k+2)x+2k-2=0有两个相等的实数根？

3、当m为何值时，关于x的方程（m-1）x2＋3x＋1= 0有实数根？

4、已知关于x的方程x2＋ax＋a－2＝0.求证：不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根. 5、已知a、b、c是三角形ABC的三边长,且关于x的一元二次方程（c-b)x²+2(b-a)x+a-b=0有两个相等实数根,那么这个三角形的形状如何? 设计意图：这样设计是为了使学生能及时巩固本节课所学知识，培养学生自觉学习的习惯，同时对学有余力的学生留出自由的发展空间。

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