一元二次方程的概念教学设计(第一课时)

认识一元二次方程

第1课时

一元二次方程

教学目标

一、基本目标

1．通过从实际问题中抽象出方程模型来认识一元二次方程，培养学生良好的研究问题的习惯，使学生逐步提高自己的数学素养。

2．理解一元二次方程及相关概念．

2．掌握一元二次方程的一般形式，即ax＋bx＋c＝0(a≠0)。

2二、重难点目标

【教学重点】

一元二次方程的概念及其一般形式。

【教学难点】

能准确判断一元二次方程的二次项、二次项系数、一次项、一次项系数及常数项。

教学过程

一、情境导入

幼儿园某教室矩形底面的长为8米,宽为5米,现准备在地面正中间铺设一块面积为18平方米的地毯如图所示,四周未铺地毯的条形区域的宽度都相同,你能求出这个宽度吗?如果设所求的宽度为x米,那么你能列出怎样的方程? （1）如果设未铺地毯区域的宽为xm，那么地毯中央长方形图案的长为 m，宽为为 m。

根据题意，可得方程 （2）试再找出(10、11、12、13、14以外)其他的五个连续整数，使前三个数的平方和等于后两个数的平方和： ；

如果设五个连续整数中的第一个数为x，那么后面四个数依次可表示为 、 、 、 ，根据题意可得方程： （3）根据图2-2，由勾股定理可知，滑动前梯子底端距墙 m，如果设梯

子底端滑动xm，那么滑动后梯子底端距墙 m，梯子顶端距地面的垂直距离为 m，根据题意，可得方程： 。

二、自学提纲、生成问题

阅读教材P31～P32的内容，完成下面练习．

1．方程中只含有一个未知数x的整式方程(等号两边都是关于未知数的整式的方程，称为整式方程)，并且可以化成ax2＋bx＋c＝0(a、b、c为常数，a≠0)的形式，这样的方程叫做一元二次方程。

2．我们把ax2＋bx＋c＝0(a、b、c为常数，a≠0)称为一元二次方程的一般形式．其中ax是二次项，a是二次项系数，bx是一次项，b是一次项系数，c是常数项。

三、合作探究

探究点1

一元二次方程的定义

例1

下列方程中,为一元二次方程的是

(只填序号).

①

x2=16；②x2+2y-3=0；③x(x-5)=x2-2x；④x2-5x-12=0；⑤

+x2-3=0；⑥x2=0。

[解析]

判断一个方程是一元二次方程需同时满足以下三个条件:①是整式方程；②只含有一个未知数；③未知数的最高次数是2。只有同时满足以上三个条件的方程才是一元二次方程。

[答案]

①④⑥

探究2 合作探究，解决问题

1、小组讨论(师生互学) 1【例1】将方程2x－4x＋2＝5(x－1)化成一元二次方程的一般形式，并2指出各项系数

【互动探索】(引发学生思考)一元二次方程的一般形式是怎样的？

【解答】去括号，得x－2x2＋2＝5x－5。

移项，合并同类项，得一元二次方程的一般形式：2x2＋4x－7＝0. 其中二次项系数是2，一次项系数是4，常数项是－7。

【互动总结】(学生总结，老师点评)将一元二次方程化成一般形式时，通常要将首项化负为正，化分为整．

2、巩固练习

2

（1）、下列方程是一元二次方程的是( D ) A．ax2＋bx＋c＝0 B．3x2－2x＝3(x2－2) C．x3－2x－4＝0 D．(x－1)2＋1＝0 （2）、在一幅长80 cm，宽50 cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形图．如果要使整个挂图的面积是5400 cm2，设金色纸边的宽为x

cm，那么满足的方程是( B ) A．x＋130x－1400＝0 B．x2＋65x－350＝0 C．x2－130x－1400＝0 D．x2－65x－350＝0[来源:学。科。网]

（3）、把一元二次方程(x＋1)(1－x)＝2x化成二次项系数大于0的一般式是x2＋2x－1＝0，其中二次项的系数是1，一次项的系数是2，常数项是－1. 3、拓展延伸

【例2】求证：关于x的方程(m2－8m＋17)x2＋2mx＋1＝0，不论m取何值，该方程都是一元二次方程．

【互动探索】已知关于x的方程，且含有字母系数，要证明该方程是一元二次方程，则该方程的二次项系数必须满足什么条件？[来源:学科网]

【证明】m2－8m＋17＝m2－8m＋42＋1＝(m－4)2＋1. ∵(m－4)2≥0，

∴(m－4)2＋1≥1，即(m－4)2＋1≠0，

∴不论m取何值，该方程都是一元二次方程．

【互动总结】(学生总结，老师点评)要证明不论m取何值，该方程都是一元二次方程，只需证明二次项系数不为0，即m2－8m＋17≠0. 四、课堂小结，当堂达标

2

是整式方程必须满足的三要素只有一个未知数一元二次方程未知数的最高次数是2一般形式：ax＋bx＋c＝0a≠02