测试教学设计与反思

第六章

实数

考点一、实数的概念及分类

1、实数的分类

2、无理数

在理解无理数时，要抓住“无限不循环”这一点，归纳起来有四类

（1）开方开不尽的数，如7,32等；

（2）有特定意义的数，如圆周率π，或化简后含有π的数，如π+8等；

3（3）有特定结构的数，如0.1010010001…等；

（4）某些三角函数，如sin60o等（这类在初三会出现）

0判断一个数是否是无理数，不能只看形式，要看运算结果，如,16是有理数，而不是无理数。

3、有理数与无理数的区别

（1）有理数指的是有限小数和无限循环小数，而无理数则是无限不循环小数；

（2）所有的有理数都能写成分数的形式（整数可以看成是分母为1的分数），而无理数则不能写成分数形式。

考点二、平方根、算术平方根、立方根

1、概念、定义

（1）如果一个正数x的平方等于a，即，那么这个正数x叫做a的算术平方根。

，那么x叫做a（2）如果一个数的平方等于a，那么这个数就叫做a的平方根（或二次方跟）。如果的平方根。

（3）如果一个数的立方等于a，那么这个数就叫做a 的立方根（或a 的三次方根）。如果叫做a的立方根。

2、运算名称

（1）求一个正数a的平方根的运算，叫做开平方。平方与开平方互为逆运算。

（2）求一个数的立方根的运算，叫做开立方。开立方和立方互为逆运算。

3、运算符号

（1）正数a的算术平方根，记作“a”。

（2）a(a≥0)的平方根的符号表达为。

，那么x

- 1 -

（3）一个数a的立方根，用4、运算公式

表示，其中a是被开方数，3是根指数。

4、开方规律小结

（1）若a≥0，则a的平方根是a，a的算术平方根a；正数的平方根有两个，它们互为相反数，其中正的那个叫它的算术平方根；0的平方根和算术平方根都是0；负数没有平方根。

实数都有立方根，一个数的立方根有且只有一个，并且它的符号与被开方数的符号相同。正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0。

（2）若a<0，则a没有平方根和算术平方根；若a为任意实数，则a的立方根是。

（3）正数的两个平方根互为相反数，两个互为相反数的实数的立方根也互为相反数。

考点三、实数的性质

有理数的一些概念，如倒数、相反数、绝对值等，在实数范围内仍然不变。

1、相反数

（1）实数a的相反数是-a；实数与它的相反数是一对数（只有符号不同的两个数叫做互为相反数，零的相反数是零）

（2）从数轴上看，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称，如果a与b互为相反数，则有a+b=0，a=-b，反之亦成立。

2、绝对值

（1）要正确的理解绝对值的几何意义，它表示的是数轴上的点到数轴原点的距离，数轴分为正负两半，那么不管怎样总有两个数字相等的正负两个数到原点的距离相等。|a|≥0。

（2）若|a|=a，则a≥0；若|a|=-a，则a≤0，零的绝对值是它本身。

（3）a(a0)a(a0)

3、倒数

（1）如果a与b互为倒数，则有ab=1，反之亦成立。实数a的倒数是1/a（a≠0）

（2）倒数等于本身的数是1和-1。零没有倒数。

考点四、实数的三个非负性及性质

1、在实数范围内，正数和零统称为非负数。

2、非负数有三种形式

（1）任何一个实数a的绝对值是非负数，即|a|≥0；

（2）任何一个实数a的平方是非负数，即≥0；

- 2 -

（3）任何非负数的算术平方根是非负数，即

()。

3、非负数具有以下性质

（1）非负数有最小值零；（2）非负数之和仍是非负数；

（3）几个非负数之和等于0，则每个非负数都等于0. 考点五、实数大小的比较

实数的大小比较的法则跟有理数的大小比较法则相同：

（1）正数大于0，0大于负数，正数大于一切负数，两个负数比较，绝对值大的反而小；

（2）实数和数轴上的点一一对应，在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大；

（3）两个数比较大小常见的方法有：求差法，求商法，倒数法，估算法，平方法。

（4）对于一些带根号的无理数，我们可以通过比较它们的平方或者立方的大小。常用有理数来估计无理数的大致范围，要想正确估算需记熟0～20之间整数的平方和0～10之间整数的立方．

考点六、实数的运算

（1）在实数范围内，可以进行加、减、乘、除、乘方及开方运算

（2）有理数的运算法则和运算律在实数范围内仍然成立

（3）实数混合运算的运算顺序与有理数的运算顺序基本相同，先乘方、开方、再乘除，最后算加减。同级运算按从左到右顺序进行，有括号先算括号里。

（4）在实数的运算中，当遇到无理数时，并且需要求结果的近似值时，可以按照所要求的精确度用相应的近似有限小数去代替无理数，再进行计算。

二、典例剖析，综合拓展

知识点1：算术平方根

1.11111的算术平方根为（ ）

（A） （B）－ （C）± （D）（1691313131691的算术平方根可表示为 ，即 = 1691有算术平方根吗？8的算术平方根是－2吗？

169）

2算术平方根的定义： 2. 算术平方根的表示方法： （用含a的式子表示）

3. －算术平方根具有 性，即⑴被开方数a 0，⑵4、已知5跟踪练习：

①

式子a本身 0，必须同时成立

11的小数部分为m，511的小数部分为n，则mn x3有意义，x的取值范围 x5+5x+3,求xy的值 3ab40，求a+b的值

②

已知：y=

- 3 -

知识点2：平方根

1. 49的平方根是 ，算术平方根是 ，它的平方根可表示为 ；

2、9的平方根是 3、快速地表示并求出下列各式的平方根

⑴19 ⑵|－5| ⑶0.81 ⑷（－9）

162 平方根的定义： 平方根的表示方法 （用含a的式子表示）

平方根的性质： 4、如果一个数的平方根是a1和2a7，求这个数。

5.用平方根定义解方程

⑴16（x+2）=81 ⑵4x-225=0

6、下列说法正确的是( ) A、16的平方根是4 B、6表示6的算术平方根的相反数

2C、

任何数都有平方根 D、a一定没有平方根

知识点3：立方根

1. －8的立方根是 ，表示为 立方根的表示方法： （用含a的式子表示）

2.说出下列各式表示的意义并求值：

⑴3220.512= ⑵－3729= ⑶3(2)33= ⑷（38）= 33.如果x2有意义，x的取值范围为 34.用立方根的定义解方程

⑴x-27 =0 ⑵2（x+3）=512

拓展提高：

1、已知（1）300 ；（2）0.3 ；

31.732，305.477，3 （3）0.03的平方根约为 ；（4）若2、已知3x54.77，则x 31.442，3303.107，33006.694，求（1）30.3 ；

3 （2）3000的立方根约为 ；（3）知识点4：重要公式

公式一: ∵ x31.07，则x 22= = 32= = 42= = (2)2

(3)2(4)2- 4 -

∴a2 = 有关练习： 1.1()2= 199927(a3)2(a3)2= 2.如果如果=a-3，则a的取值范围是 ； =3-a,则a的取值范围是 3.数a,b在数轴上的位置如图：化简：

公式二： ∵（∴((ab)2+|c+a| a b 0

C 4）= （9）= （25）= 222a)2= (a≥0) 综合公式一和二，可知，当满足a 条件时，3a2=(a)2

公式三：

∵ 23= 333= 343= = 3(2)3∴3= 3(3)3= 3(4)3a3= ； 随堂练习：化简：当1＜a＜3时，

公式四： ∵ （∴(33(1a)2 +3(a3)3

8）= （327）= （3125）= 333a)3= 3综合公式三和四，可知，当满足a 条件时，公式五： 3a3=(3a)3

a= 知识点五：实数定义及分类

无理数的定义： 实数的定义： 实数与 上的点是一一对应的

1、判断下列说法是否正确：

- 5 -

（1）实数不是有理数就是无理数。 （ ）（2）无限小数都是无理数。 （ ）

（3）无理数都是无限小数。 （ ）（4）根号的数都是无理数。 （ ） 第六章 实数测试题

一、选择题(每题3分,共36分)

1. 下列等式正确的是（

）

2（A）(3)＝－3

（B）144＝±12

（C）8＝－2

（D）－25＝－5 2. 算术平方根等于3的是（

）

（A）3

（B）3

（C）9

（D）9

3.下列说法：（1）任何数都有算术平方根；（2）一个数的算术平方根一定是正数；（3）a2的算术平方根是a；（4）（－4）2的算术平方根是－4；（5）算术平方根不可能是负数。其中不正确的有（

）

（A）5个

（B）4个

（C）3个

（D）2个

4. 若一个数的平方根与它的立方根完全相同，则这个数是（

）

（A）0

（B）1

（C）－1

（D）±1,

0 5. 若x=x，则实数x是（ ）

(A)负实数 （B）

所有正实数 （C）0或1 （D）不存在

6. 若a2=-a，则实数a在数轴上的对应点，一定在（ ）

(A)原点左侧 （B）原点右侧 （C）原点或原点左侧

（D）原点或原点右侧

6.在实数0．3，0 ，7，(A)2

（B）3 ，0．123456…中，无理数的个数是（

）

2

（C）4

（D）5 7.下列各式中，无意义的是（

）

(A).3

2

（B）.3(3)3

（C）.(3)2

（D）.10

38.414、226、15三个数的大小关系是（

）

(A).414<15<226

（C）414<226<15

（B）226<15<414

（D）226<414<15 9. 化简(2)4的结果是（

）

(A).－4

（B）.4

二、填空题(每题3分,共24分)

10.

如果x3=2,那么(x+3)2=______

（C）±4

（D）无意义

- 6 -

11.

若2a2与|b+2|是互为相反数，则(a－b)2=______. 12.一个正方形的面积扩大为原来的100倍，则其边长扩大为原来的 倍。

13. 点A在数轴上和原点相距5个单位，点B在数轴上和原点相距3个单位，且点B在点A左边，则AB之间的距离为________

2214. 一个三角形的三边分别是a，b，c，则(abc)______;(abc)=________．

15.a是一个两位数的十位数字，b是它的个位数字，则这个数可表示为 . 16.4的算术平方根是______，25的平方根是______，—8的立方根是_______．

217. 已知│a+2│+4b100,则3ab=________．

三、解答题（共60分）

18.计算：（共18分）

（1）

622136 （2）6(1－6) 6

（3）

（5）64x

19.（8分）①已知y33801413822y3640

（4）1250 （6）x1364

x22x3，求yx的平方根. ②已知a是5的整数部分, b是5的小数部分, 求a(b5)2的值.

220.（8分）已知a、b满足2a8b30，解关于x的方程a2xba1。

- 7 -