三元一次方程组的解法2设计意图

*8.4 三元一次方程组的解法

*8.4 三元一次方程组的解法

【知识与技能】

1.理解三元一次方程组的定义；

2.掌握三元一次方程组的解法；

3.会解简单的三元一次方程组应用题. 【过程与方法】

先运用实际问题引入三元一次方程组的概念，再类比解二元一次方程组的思想方法，学习三元一次方程组的解法，最后学习三元一次方程组应用题. 【情感态度】

让学生学会“举一反三”的学习方法，体会数学的魅力. 【教学重点】

1.三元一次方程组的解法；

2.三元一次方程组的应用. 【教学难点】三元一次方程组的应用.

一、情境导入，初步认识

问题1 师：同学们带零花钱了吗？（向学生借钱）今天这节课我们就一起研究怎样用数学知识解决身边的实际问题。

给出三个条件，分别是：

①

面额为1元、5元和10元共 张。

②

总共 元。

③

其中 元纸币的数量是 元纸币数量的 倍。

思考1：1元、5元、10元纸币各多少张？

【设计意图】

通过学生实际生活中的问题，提高数学的学习兴趣，激发学生强烈的探究欲望，使学生了解三元一次方程和三元一次方程组的概念及本节课要解决的问题。

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解：设1元、5元、10元的纸币分别为x张、y张、z张，

_________________，①根据题意，得方程组_________________，②

_________________. ③【设计意图】抓住三个等量关系，从而表示成以上三个方程，这个问题的解答必须同时满足这三个条件，因此，这三个方程联立起来。

思考2：什么叫三元一次方程组？

预测学生回答：

①含有三个未知数；

②含未知数的项的次数是1次

【归纳结论】

①三个整式方程

。

②方程组中含有三个相同的未知数

。

③每个方程中，含未知数的项的次数都是1次。

【设计意图】类比旧知探新知，可以帮助学生缩小思考范围，把握关键点.

课堂练习：下列方程组中，是三元一次方程组的是(

) A.y＋z＝0，xz＝2x2－y＝1，

B.x＋1＝1，1y＋z＝2，1＋x＝6z1

C.a＋b＋c＋d＝1，

a－c＝2，b－d＝3m＋n＝18，D.n＋t＝12，

t＋m＝0

思考3：怎样解这个方程组呢？

能不能类比二元一次方程组的解法，设法消去一个或两个未知数，把它化成二元一次方程组或一元一次方程呢？

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（学生小组交流，探索如何消元．）

解三元一次方程组的思想方法：

【设计意图】结合情境问题中列出的方程组，类比前面所学二元一次方程组的解法，得到解三元一次方程组的整体思路，引导学生回顾前面所学二元一次方程组解法的基本指导思想——消元。

问题2 上例中，把_____分别代入_____、_____得只含_____、_____的二元一次方______________.程组再消元，转化为____________方程. ______________.从而得到解三元一次方程组的思想方法是：

师：你还有不同的解题方法吗？（鼓励学生一题多解）

解法2：

方程_____只含_____、______，因此，可由____、_____消去______，得到一个只含x，y的方程_____________，与_____组成一个二元一次方程组______________.x_____，解这个方程组得进而求得z=_____.因此，原方程______________.y_____.x_____，组的解为y_____,

z_____.【设计意图】解三元一次方程组问题以填空题形式出现，大大降低了学生自主学习的难度，所以鼓励学生先独立完成，再交流成果.教师对学生的想法给予肯定并总结解三元一次方程组的基本思路：通过“代入”或“加减”进行消元，把“三

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元”化为“二元”，使解三元一次方程组转化为解二元一次方程组，进而转化为解一元一次方程．

二、思考探究，获取新知

①例题精选：解三元一次方程组

②

③思考：应选用什么方法将“三元”转为“二元”？

预测学生做法：可以把方程①、②相加消去y,方程②、③相加消去y，得到关于x、z的二元一次方程组。

【设计意图】板书用加减消元的求解过程，强调解题的格式，通过层层设问引导，把方程①、②相加,方程②、③相加消去同一个未知数y，从而顺利把“三元”化“二元”，总结三元一次方程组的求解思路：三元→二元→一元，关键在于消元。

课堂练习：看谁反应快——请说说你会如何进行消元？

①

③

①

③(1)

② (2)

② 【设计意图】由于书写求解三元一次方程组的过程需要较多的时间，所以在课堂有限的45分钟内希望借助这种观察、引导学生找到方程组特点，比较消不同未知数、用不同消元方法的优劣，让学生意识到解方程组要先观察，进一步让学生熟练掌握选择消“谁”，用什么方法消，提高学生的解题能力.这里采用只说不解，意在检查学生对三元一次方程组解法的理解是否到位，对方程组的观察及对解法的流程是否熟练，提高课堂效率.

三、运用新知，深化理解

《九章算术》分为9章，并因此而得名．其中第8章为“方程”，里面有这样一道题目:

今有上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，实三十九斗；

上禾二秉，中禾三秉，下禾一秉，实三十四斗；

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上禾一秉，中禾二秉，下禾三秉，实二十六斗。

问上、

中、下禾实一秉各几何？

(用现代汉语表述)：

3束上等的稻，2束中等的稻，1束下等的稻，共出谷39斗；

2束上等的稻，3束中等的稻，1束下等的稻，共出谷34斗；

1束上等的稻，2束中等的稻，3束下等的稻，共出谷26斗．

问：上、中、下三种稻，每束的出谷量各是多少斗？

【教学说明】引用《九章算术》的练习题，唤起学生的民族自豪感。

四、师生互动，课堂小结

解多元一次方程组的思想方法是不断消元，最终转化为一元一次方程.

某汽车在相距70km的甲、乙两地往返行驶，因途中有一坡度均匀的小山．该汽车从甲地到乙地需要2.5h，而从乙地到甲地需要2.3h.假设汽车在平路、上坡路、下坡路的时速分别是30km、20km、40km，则从甲地到乙地的过程中，上坡路、平路、下坡路的长度各是多少？

解析：题中有三个等量关系：

①上坡路长度＋平路长度＋下坡路长度＝70km；

②从甲地到乙地的过程中，上坡时间＋平路时间＋下坡时间＝2.5h；

③从乙地到甲地的过程中，上坡时间＋平路时间＋下坡时间＝2.3h. 解：设从甲地到乙地的过程中，上坡路、平路、下坡路的长度分别是xkm，ykm和zkm. x＋y＋z＝2.5，x＝12，由题意，得203040

解得y＝54，

z＝4.zyx20＋30＋40＝2.3.

5 x＋y＋z＝70，

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答：从甲地到乙地的过程中，上坡路是12km，平路是54km，下坡路是4km. 【方法总结】

解此题的关键是理解汽车在往返行驶的过程中，如果从甲地到乙地是上坡路段，那么从乙地到甲地时就变成了下坡路段．

本节课在学习三元一次方程组解法过程中，采取了类比迁移、举一反三的方法，类比二元一次方程组的知识学习三元一次方程组.根据方程组的特点灵活选择恰当的解法，在应用过程中形成技能技巧，并且培养了学生分析题目特点、选择合适方法的学习能力.通过对二元一次方程组的类比学习，让学生感受把新知转化为已知，把不会的问题转化为学过的问题，把难度大的问题转化为难度较小的问题这一化归思想．感受数学知识之间的密切联系，增强学生的数学应用意识，初步培养学生建立数学模型解决问题的良好思维习惯。

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