6.7 用相似三角形解决问题教学设计

6.7 用相似三角形解决问题(1) 学习目标：

1．了解平行投影的意义；

2.知道在平行光线照射下，不同物体的物高与影长成比例，会利用平行投影画出图形并能利用其原理测量物体的高度；

学习重点：根据实际问题，依据相似三角形的有关知识，构建数学模型，解决实际问题；

学习难点：将实际问题抽象、建模以辅助解题．

学习过程：

导学预习：

1．一根1.5米长的标杆直立在水平地面上，它在阳光下的影长为2.1米；此时一棵水杉树的影长为10.5米，这棵水杉树高为(

) A.7.5米

B.8米

C.14.7米

D.15.75米

2．如图，在河两岸分别有A、B两村，现测得A、B、D在一条直线上，A、C、E在一条直线上，BC//DE，DE=90米，BC=70米，BD=20米。则A、B两村间的距离为

。

3．一棵高3米的小树影长为4米，同时一座楼房的影长是24米，那么这座楼房高

米．

合作探究：

活动一

阅读教材81页，完成下列问题：

1．阅读“平行投影”的概念，了解平行投影；

_______________________________________________________称为平行投影。

2．数学实验：测量阳光下物体的影长．

在操场上，分别竖立长度不同的甲、乙、丙3根木杆，在同一时刻分别测量这3根木杆在阳光下的影长，并将有关数据填入下表：

通过观察、测量，你发现了什么？请与同学交流．

结论：

1．在阳光下，在同一时刻，物体高度与物体的影长存在的关系是：物体的高度越高，物体的影长就越____________．

2．在平行光线照射下，不同物体的物高与影长______________．

活动二

思考操作

如图6-42中，甲木杆AB在阳光下的影长为BC．试在图中画出同一时刻乙、丙两根木杆在阳光下的影长．

思考：如何用相似三角形的知识说明在平行光线的照射下，不同物体的物高与影长成比例？

1

活动三

应用举例

背景故事：古埃及国王为了知道金字塔的高度，请一位学者来解决这个问题．在某一时刻，当这位学者确认在阳光下他的影长等于他的身高时，要求他的助手测出金字塔的影长，这样他就十分准确地知道了金字塔的高度．

问题：如图6-43，AC是金字塔的高，如果此时测得金字塔的影DB的长为32 m，金字塔底部正方形的边长为230 m，你能计算这座金字塔的高度吗？

拓展：你能用这种方法测量出学校附近某一物体的高度吗？

练一练：

1．身高为1.5m的小华在打高尔夫球，她在阳光下的影长为2.1m，此时她身后一棵水杉树的影长为10.5m，则这棵水杉树高为

(

)．

A．7.5m

B．8m

C．14.7m

D．15.75m 2．在阳光下，身高为1.68m的小强在地面上的影长为2m．在同一时刻，测得旗杆在地面上的影长为18m．求旗杆的高度（精确到0.1m）．

3．在阳光下，高为6m的旗杆在地面上的影长为4m．在同一时刻，测得附近一座建筑物的影长为36m．求这座建筑物的高度．

拓展延伸：

小丽利用影长测量学校旗杆的高度．由于旗杆靠近一个建筑物，在某一时刻旗杆影子中的一部分映在建筑物的墙上．小丽测得旗杆AB在地面上的影长BC为20m，在墙上的影长CD为4m，同时又测得竖立于地面的1m长的标杆影长为0.8m，请帮助小丽求出旗杆的高度．

2

小结：

课堂作业：课本习题6．7第1、2、3题．

课后练习：

1．某人身高1.7米，某一时刻影长2.04米，同时一棵树影长为10.2米，则此树高

米。

2．小刚身高1.7m，测得他站立在阳光下的影子长为0.85m，紧接着他把手臂竖直举起，测得影子长为1.1m，那么小刚举起的手臂超出头顶（

）

A．0.5m

B．0.55m

C．0.6m D．2.2m 3．如图，高低杠AB＝2.5m，EC＝2m，已知四边形ABCD和四边

形ECGF都是矩形，若AB在地面上的影长为3m，则E′D′＝

. 4．某旅游风景区中某两个景点之间的距离为75米，在一张比例尺为1：2000的导游图上，它们之间的距离大约相当于

（

）

A．一根火柴的长度

B．一支钢笔的长度

C．一支铅笔的长度

D．一根筷子的长度

5．利用镜面反射可以计算旗杆的高度，如图，一名同学(用AB表示)，站在阳光下，通过镜子C恰好看到旗杆ED的顶端，已知这名同学的身高是1.60米，他到影子的距离是2米，镜子到旗杆的距离是8米，求旗杆的高. E

A

DBC6．如图，小明在打网球时，使球恰好能打过网，而且落在离网5米的位置上，求球拍击球的高度h.

7．阳光通过窗口照到教室内，竖直窗框在地面上留下2.1 m长的影子。已知窗框的影子DE的E点到窗下墙脚距离CE=3.9 m。窗口底边离地面的距离BC=1.2 m。试求窗口的高度。（即AB的值）

8．如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标作为点A，再在河的这一边选点B和C，使AB⊥BC，然后，再选点E，使EC⊥BC，用视线确定BC和AE的交点D.此时如果测得BD=120米，DC=60米，EC=50米，求两岸间的大致距离AB.

3

9．一位同学想利用树影测量树高(AB)，他在某一时刻测得长为1m的竹竿影长为0.9m，但当他马上测量树影时，因树靠近一幢建筑物，影子不全落在地面上，有一部分影子在墙上(CD)，他先测得留在墙上的影高(CD)为1.2m，又测得地面部分的影长(BC)为2. 7m，他求得树高应为多少?

10．已知，如图，AB和DE是直立在地面上的两根立柱.AB=5m，某一时刻AB在阳光下的投影BC=3m. D （1）请你在图中画出此时DE在阳光下的投影；

A （2）在测量AB的投影时，同时测量出DE在阳光下的投影

长为6m，请你计算DE的长.

E C B

11．如图，甲楼AB高18米，乙楼坐落在甲楼的正北面，已知当地冬至中午12时，物高与影长的比是1: 0.5，已知两楼相距21米，那么甲楼的影子落在乙楼上有多高?

CA

E

BD

12．小明在某一时刻测得1m的杆子在阳光下的影子长为2m，他想测量电线杆AB的高度，但其影子恰好落在土坡的坡面CD和地面BC上，量得CD=2m，BC=10m，CD与地面成45°，求电线杆的高度. A

D

B

C

E

F

4

6.7 用相似三角形解决问题(1)参考答案

导学预习：

1．解：根据，列方程可得到结论，设水杉的高是x米．则

即=，解得：x=7.5则这棵水杉树高为7.5米．故选A．2. BC//DE70x，x=70 90x203.

解：∵在同一时刻物高与影长成正比例∴3：4=楼房的高度：24∴楼房的高度为18米．

练一练：

1．解：设这棵树高度为hm，∵同一时刻物高与影长成正比，∴1.5h，

2.110.5解得h=7.5．故答案为：A．

2. 15.1m

3. 54m 拓展延伸：20+3.2=23.2m 课后练习：1．8.5m

2.A

3.0.4m

4.A(3.75cm)

5.6.4m

6.2.4m

7.

解答：解：由于阳光是平行光线，即AE∥BD，所以∠AEC=∠BDC．又因为∠C是公共角，

所以△AEC∽△BDC，从而有．又AC=AB+BC，DC=EC-ED，EC=3.9，ED=2.1，BC=1.2，

于是有，解得AB=1.4（m）．答：窗口的高度为1.4m．

8.100m

9. 解：过D作DE∥AB交AB于点E，

设墙上的影高CD落在地面上时的长度为xm，树高为hm，

∵某一时刻测得长为1m的竹竿影长为0.9m，墙上的影高CD为1.2m，

∴=，解得x=1.08（m），∴树的影长为：1.08+2.7=3.78（m），

∴=，解得h=4.2（m）．答：测得的树高为4.2米

10. 解：（1）（连接AC，过点D作DE//AC，交直线BC于点F，线段EF即为DE的投影）

（2）∵AC//DF，

∴∠ACB=∠DFE. ∵∠ABC=∠DEF=90°

∴△ABC∽△DEF∴DE=10（m）

11. 解：设冬天太阳最低时，甲楼最高处A点的影子落在乙楼的E处，那么图中ED的长度就是甲楼的影子在乙楼上的高度，

设FE⊥AB于点F，那么在△AEF中，∠AFE=90°，EF=20米．

∵物高与影长的比是1：，∴=，则AF=EF=10，

m．

故DE=FB=18-10．答：甲楼的影子落在乙楼上有18-1012. 作DE⊥BC交BC延长线于E，作DF⊥AB于F，

由题意可知：∠DCE=45°，∵CD=2m，∴DE=CE=m，

∴DF=BE=BC+CE=（10+）m，

又∵某一时刻测得1m的杆子在阳光下的影子长为2m，

∴，∴AF=，∵四边形BFDE为矩形，

+5 ∴DE=BF=

m，∴电线杆的高度AB=AF+BF==m．