14.5 等腰三角形的性质教学设计第二课时

课题：等腰三角形三线合一

课型：复习课

班级：

七（7）班

课时:1 一、教材分析：

执教日期：5月20日

执教老师：吴日芳

等腰三角形的性质是沪教版七年级第二学期第十四章第3节的内容。等腰三角形三线合一是等腰三角形的一条很重要的性质，在几何证明、计算以及现实生活中都有重要应用。这个性质的逆命题不作为定理直接使用，但是它可以为解决一类问题提供一种很好的思路。因此，本节课主要探究等腰三角形三线合一的逆命题的正确性，并用逆命题辅助学生解题，为学生提供一种添辅助线的方法。

二、学情分析：

七7班是实验班，学生学习态度较好，但是逻辑思维能力较弱，不够灵活。通过平行线、三角形的学习，该班学生已经掌握了基本的几何说理过程，能运用等腰三角形三线合一的性质解决简单的问题。但是有时能用等腰三角形三线合一直接求解的题，学生会利用三角形全等解决，使过程变得繁杂；另一方面，对于复杂的几何图形以及需要添加辅助线的图形，许多学生毫无思路。

三、教学目标：

1.掌握等腰三角形三线合一的性质，并能理解其逆命题的正确性；

2.经历观察、说理等活动，养成从多角度分析问题的习惯，提高解决问题的能力、逻

辑思维能力以及创新能力；

3.通过等腰三角形三线合一逆命题的探究，体验几何发现的乐趣，形成认真严谨、勇于探索的良好品质。

四、教学重点：

等腰三角形“三线合一”的探究及应用。

五、教学难点：

等腰三角形“三线合一”的灵活应用以及辅助线的添加。

六、教法与教具：

主要采用引导、启发式的教学方法，并利用多媒体辅助教学。

一、

情景引入

学生活动

木工师傅在验证等腰三角形屋顶的横梁BC是否

水平时，通常在顶角处挂一条铅垂线，然后根据个别学这条铅垂线与BC的交点位置，就可以判断横梁生回答

BC是否水平，你知道他是怎样做到的吗？

A

教学过程

设计意图

感受数学在现实生活中的应用，引出等腰三角形三线合一课题

B1 DC

二、

知识回顾

预答：铅垂线如果过BC的中点，说明横梁BCS平。

因为铅垂线如果过中点D，则说明它是底边上的中

线，而△ABC是等腰三角形，所以它还是BC的高，

即铅垂线是垂直BC的，而铅垂线只与水平方垂直

所以，BC就一定是水平的。

师：这节课我们就一起来进一步研究等腰三角形

学生思的三线合一性质，并会利用“三线合一”的性质考，个别回答

解决问题。

（出示并板书课题）

首先我们先来回顾一下这个重要的性质，并转化

成符号语言。

等腰三角形的顶角平分线,底边上的中线和底边

上的高互相重合。(简称:等腰三角形的三线合一)

根据已知条件的不同，A

性质有三种不同的表达形

12

式：

1)∵AB=AC，∠1=∠2

∴AD⊥BC，BD = CD BCD

2)∵AB=AC ,BD=DC

∴ AD⊥BC，∠1=∠2

3)∵AB=AC ,AD⊥BC

∴

∠1 =∠2，BD = CD

学生观A例1：如图,已知察、思考并完成AB=AC,AE=AD , 练习

你能用等腰三角形三线

合一说明BE=CD吗？

BEDC2 ，

复习等腰三角形三线合一的性质，转化成符号语言

加深对等腰三角形三线合一性质的理解

三、

探究新知

解：过A点作AF⊥BC,垂足为F ∵AE=AF,AD⊥BC ( 已知 ) ∴EF=DF(等腰三角形三线合一)

∵AB=AC,AD⊥BC ( 已知 ) ∴BF=CF(等腰三角形三线合一) ∴BF-EF=CF-DF(等式性质) 即 BE=CD

回到前面的图形，我们可以得出4个事项：

（1）AB=AC; (2) ∠1=∠2; (3) AD⊥BC; （4) BD=CD; 12A下面我们就要来探究一下，至少知道其中的几个事项就可以推出其他的事项也成立呢？

BDC1)如果只知道一个事项，可以推出其他的3个事项成立吗？

2)那么如果知道其中的两个呢？

现在我们分小组来讨论一下，看看都可以有怎样的搭配， 预答：可能毫无规律的组合. 师：像这样没有规律的找法，可能会出现重复或遗漏的情况，谁有更好的办法呢？

（1）（2）（3）(4) （1）（3）（2）(4) （1）（4）（2）(4) （2）（3）（1）(4) （2）（4）（1）(3) （3）（4）（1）(2)

学生独自思考，交流讨论

探究等腰三角形逆命题的正确性

3

这就是数学中非常重要的分类讨论的思想。 我们再一起来看一下列出来的6种情况。

前三种成立吗？为什么？

这实际就是等腰三角形三线合一性质的叙述。

试一试：已知∠1=∠2， BD=CD ，说明AB=AC,AD⊥BC的理由. 分析：现在根据条件无法直接证明图中的2个三角形全等，遇到这种情况怎么办呢？用我们以前学过的哪种加辅助线的方法可以构造新的三角形全等呢？

倍长中线（学生口述思路）

解：延长AD到点E,使DE=AD,连接CE 在△ABD和△ECD中，

BD=CD（已知）

∠BDA= ∠CDE（对顶角相等）

AD=ED（所作）

∴ △ABD≌△ECD（SAS）

∴ AB=EC（全等三角形对应边相等）

∠1= ∠3（全等三角形对应角相等）

∵

∠1= ∠2（已知）

∴

∠2= ∠3（等量代换）

∴ AC=EC（等角对等边）

∴ AB=AC（等量代换）

师：通过刚才的探索，我们可以得到什么结论呢？

A12BDCE

学生思考如何添加辅助线，并完成说理

分类讨论的六种情况中此种情况比较难推导，考查学生倍长中线的辅助线方法

4

四、

例题讲解

五、拓展

重要结论：

在△ABC中,(1) AB=AC; (2) ∠1=∠2; (3) AD⊥BC; (4) BD=CD. 如果满足以上四个事项中的两个事项成立，则其他两个事项也成立. 师：这一结论可以为我们今后解决一类问题提供思路。

例2.如图，已知AD平分∠BAC的平分线，CD⊥AD于D，试说明∠ACD=∠B+∠BCD 分析：AD既是角平分线又是高，所以可以构造等腰三角形，使得AD是三线合一。

A所以可以延长CD交AB于点E.

D

BC

练习：

如图,已知EA平分∠BAC,D是AE的

中

点，

DF⊥AE与BC的延长线交于点F. 试说明∠CAF=∠B 分析：DF既是AE边的中线又是AE上的高，可以得到△AEF是等腰三角形，然后利用外角性质

A

D

B

ECF

如图,已知AD平分∠BAC,AC⊥BC, FBD⊥AD,AC=BC.试说明AE=2BD 的理由. C分析：AD是角平分线，又是高，D所以有等腰三角形，但是这E个三角形没出现，需要添加辅助线，构成AB等腰三角形。

5 总结探索的结论

学生独自思考，并讨论

学生独自思考并完成说理

学生独自思考，并讨论

梳理探究过程，掌握得到的结论，用于后面解题

根据上面得到的重要结论启发如何添加辅助线

利用探究得到的重要结论解决复杂图形中的角相等

利用得到的结论解决线段的倍半关系问题

五、

总结

六、

作业布置

学生思1. 在△ABC中,(1) AB=AC; (2) ∠1=∠2; (3) AD考，个别回答

⊥BC; (4) BD=CD.

如果满足以上四个事项中的两个事项成立，

则其他两个事项也成立.

2. 分类讨论和转化的数学思想。

作业：

1. 如图，△ABC中，AB=AC，点D、E、F分别

在BC、AB、AC上，且BD=CF，BE=CD，G是

EF的中点，说明：DG⊥EF 全体学

生完成

说理过

程

2.△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，AB=AC,若D为BC的中点，过点D作DM⊥DN分别交AB、AC于M、N，求证：DM=DN.

A

M

N

C

DB变式1：若DM⊥DN分别和BA、AC延长线交于M、N。问DM和DN有何数量关系。

M

A

C

DB

N变式2. △ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，AB=AC,D是BC的中点，P为BC上任一点，作PE⊥AB，PF⊥AC，垂足分别为E、F,问：直线DE和DF的关系。

总结：

6

总结本节课知识点

巩固所学知识

板书设计：

AEBDPFC等腰三角形三线合一拓展课

试一试的分析及证明过程

例2的分析及证明过程

等腰三角形

（顶）角平分线

（底边上的）高

（底边上的）中线

辅助线方法：底边上的高

倍长中线

构造等腰三角形

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