5　不确定性关系课堂实录【3】

不确定性关系

教学目标

知识目标

1．知道位置和动量的不确定关系．

2．了解时间和动量的不确定关系．

能力目标

培养学生的观察、分析能力。

德育目标

培养学生严谨的科学态度，正确地获取知识的方法。

教学难点

如何理解位置和动量的不确定关系．

教学方法

启发式综合教学法

导

入

新

课 在经典力学中，粒子（质点）的运动状态用位置坐标和动量来描述，而且这两个量都

可以同时准确地予以测定。然而，对于具有二象性的微观粒子来说，是否也能用确定的坐标和确定的动量来描述呢？下面我们以电子通过单缝衍射为例来进行讨论。

一、电子衍射中的不确定度

下面以单缝衍射为例来进行研究，设有一束电子沿Oy轴射向AB屏上的狭缝，缝宽为a，于是，在照相底片CD上，可以观察到衍射图样. 如果我们能用坐标x和动量p来描述这电子的运动状态，那么，我们不禁要问：一个电子通过狭缝的瞬时，它是从缝上哪一点通过的呢？也就是说，电子通过狭缝的瞬时，其坐标x

为多少？显然，这一问题我们无法准确地回答，因为该电子究竟在缝上哪一点通过，我们是无法确定的，即我们不能准确地确定该电子通过狭缝时的坐标．

然而，该电子确实是通过了狭缝，因此，我们可以认为电子在Ox轴上的坐标的不确定范围为

Δx＝ a．

在同一瞬时，由于衍射的缘故，电子动量的方向有了改变，由图可以看到，如果只考虑一级衍射图样，则电子被限制在一级最小的衍射角范围内，有sinφ＝λ/a＝λ/Δx．因此，电子h动量在Ox轴上的分量的不确定范围为Δpx＝psinφ＝px，由德布罗意公式λ＝p上式可h写为Δpx＝x，即ΔxΔpx＝h式中Δx是在Ox轴上电子位置的不确定范围，Δpx是在Oxh轴上电子动量的不确定范围．如果把衍射图样的次级也考虑在内，一般说来应为ΔxΔp≥4，这个关系叫做不确定关系，它不仅适用于电子，也适用于其他微观粒子，不确定关系表明：对于微观粒子不能同时用确定的位置和确定的动量来描述，不确定关系是德国理论物理学家海森伯于1927年提出的．

h二、不确定关系：ΔxΔp≥4

1、不确定关系的物理意义：

微观粒子的坐标测得愈准确，动量就愈不准确；

微观粒子的动量测得愈准确，坐标就愈不准确。

但这里要注意，不确定关系

不是说微观粒子的坐标测不准；

也不是说微观粒子的动量测不准；

更不是说微观粒子的坐标和动量都测不准；

而是说微观粒子的坐标和动量不能同时测准。

正如我们在经典力学中所知道的，对于宏观粒子，它在任意时刻的位置和动量都可同时确定，而对微观粒子来说，同时确定其位置和动量是没有意义的．这是因为Δx和Δp都不可能同时为零．当欲精确地确定粒子的位置(即Δx→0)时，其动量必然更不精确( 即px→∞)；反之亦然．微观粒子的这个特性是由于它既具有粒子性，也同时具有波动性的缘故．

2、微观本质：是微观粒子的波粒二象性及粒子空间分布遵从统计规律的必然结果。

为什么微观粒子的坐标和动量不能同时测准? 这是因为微观粒子的坐标和动量本来就不同时具有确定量。

这本质上是微观粒子具有波粒二象性的必然反映。

由上讨论可知，不确定关系是自然界的一条客观规律,不是测量技术和主观能力的问题。

3、许多相同粒子在相同条件下实验,粒子在同一时刻并不处在同一位置。

4、用单个粒子重复,粒子也不在同一位置出现。

5、如果粒子的尺寸和动量远大于各自的不确定量，

微观粒子的位置和动量近似认为确定.看成经典粒子.若已知粒子运动范围为L,

hh而

LΔx

Δpp

也可用代替 R >>x 作为判断依据.

h三、能量与时间的不确定关系：ΔEΔt≥4

［例1］一颗质量为10 g的子弹，具有200 m·s－1的速率，动量的不确定量为0．01%,我们确定该子弹的位置时，有多大的不确定量？

解析：子弹的动量为p＝mv＝0．01×200 kg·m·s－1＝2 kg·m·s－1 动量的不确定量为Δp＝0.01%×p＝1.0×10－4×2 kg·m·s－1＝2×10－4 kg·m·s－1 由不确定关系式，得子弹位置的不确定范围为

这个不确定范围是微不足道的，可见，不确定关系对宏观物体来说实际是不起作用的．

［例2］一电子具有200 m·s－1的速率，动量的不确定范围为0.01%，我们确定该电子的位置时，有多大的不确定范围？

解析：电子的动量为p＝mv＝9.1×10－31×200 kg·m·s－1＝1.8×10－28 kg·m·s－1

动量的不确定范围为Δp＝0.01%×p＝1.0×10－4×1.8×10－28 kg·m·s－1＝1.8×10－32 kg·m·s－1 由不确定关系式，得电子位置的不确定范围为

我们知道原子大小的数量级为10－10 m，电子则更小，在这种情况下，电子位置的不确定范围比电子本身的大小要大几亿倍以上．

从以上的讨论中可以看到，对于低速运动的宏观粒子，用经典力学来描述它的运动规律是足够准确的，但对于微观粒子的运动规律，就不能用经典力学来描述它了．不确定原理对任何物体都成立，但因为h是一个极小的量，其数量级是10－34，所以，对宏观尺度的物体，不确定范围小得可以忽略不计了．在德布罗意假设的基础上，薛定谔、海森伯等人又进一步建立了量子力学．量子力学能较好地反映微观粒子的运动规律．

四、物理模型与物理现象（简略介绍）