3　粒子的波动性教案及板书设计

动 量

一、动量、冲量和动量定律

1、动量：物体的

和

的乘积。

P=

，

单位：

。

2、冲量：

和

的乘积。

I=

,单位

。

3、动量的改变量

（1）动量是

（

矢量、标量）动量

的改变，或动量

的改变，或动量

和

的改变，都说动量发生了改变。

（2）某段过程（或时间间隔）

的动量减去

的动量，称作动量的变化，即PP末P初。求动量变化量时，应利用平行四边形定则，如果物体在同一直线上往复运动，那么选定一个正方向之后，动量的方向可以用

号表示，动量的运算就可以简化为代数运算。

4、动量定理：

（1）内容：物体所受

等于物体的

。

1I2（2）公式：I合P

合冲量的求法○合F合t

○I合I1I2I3。

3、一质量为2千克的滑块，以4米/秒的速度在光滑水平面上向左滑行。从某一时刻起，在滑块上作用一向右的水平力。经过一段时间，滑块的速度方向变为向右，大小为4米/秒。取向左为正方向，在这段时间里滑块的动量变化为：[

]

A

0

B

8kg·m/s

C

16kg·m/s

D

-16kg·m/s

4、球的质量为m，以速度v沿水平方向垂直撞击墙壁，球被反方向弹回，速度大小是4 v/5，球与墙壁撞击时间为t，那么在撞击过程中，球对墙的平均冲力大小是：[

]

mv4mv9mvmvA、

5t B、

5t C、

5t D、t

5、如图所示，光滑水平面上静置一质量为M的木块，由一轻弹簧固连在墙

上，有一质量为m的子弹以速度υ0水平射入木块并留在其中，当木块又回

到原来位置的过程中，墙对弹簧的冲量大小为[

]

A．02m20B．Mm

C．2Mm0MmD．2m0（3）研究对象：单个物体，或可视为单个物体的系统。

（4）物理意义：动量定理描述的是

因

的作用而发生变化。

（5）应用：应用FtPF

P分析一些物理现象，如何增大（或减小）力的作用？

t6、质量为M的金属球与质量为m的木球用细线相连，没入水中，细线竖直绷直．两球从静止开始以加速度a在水中下沉．经过时间t细线断了，球分开，再经过时间t1，木球停止下沉，求此时金属球的速度！（在运动过程中水的阻力不计）

练习：

1、物体的动量变化（

）

A、指末动量减初动量

B、是标量

C、其方向与物体加速度方向一致

D、其方向与速度变化方向相同。

2、关于冲量，下列说法中正确的是（

）

A、冲量是动量变化的原因

B、冲量的方向就是合力的方向

C、冲量的方向与动量的方向一致

D、在国际单位制中，用基本单位表示冲量的单位是kgm/s。

1

二、动量守恒定律

1、动量守恒定律：

（1）内容：

。

（2）表达式：_______________________-（3）研究对象：（有相互作用的一组物体）_____________。（4）适用条件：_______________________ 1系统不受外力；

○2系统所受外力之和为零；

○3系统所受外力之和不为零，但____________，系统动量近似守恒（如碰撞、爆炸等情况）○；

4系统所受外力之和不为零，但________________，或在某一方向上外力比内力小得多，则○系统只在该方向上动量守恒。

练习：

1、物体A的质量是B的2倍，中间压有一弹簧，放在光滑水平面上，由静止同时放开两手的一段时间内，

A、物体A的速率是B的一半

B、物体A的动量小于B的动量

C、物体A和B的总动量为零

D、物体A和B所受的冲量为零。

2、一炮艇在湖面上匀速行驶，突然从船头和船尾同时向前向后各发射一发炮弹，设两炮弹的质量相同，相对于地的速率相同，牵引力、阻力不变，则船的动量和速度的变化情况是

A、动量不变，速度增大。

B、动量变小，速度不变。

C、动量增大，速度增大。

D、动量增大，速度减小。

3、质量为M的小车在光滑水平面上以速度v向东行驶，一个质量为m的小球从距地面H高处自由落下，正好落入车中，此后小车的速度将

A．增大

B．减小

C．不变

D．先减小后增大

4、

如图所示,一辆小车静止在光滑水平面上,甲、乙两人分别站在左右两侧，整个系统原来静止。则当两人同时相向走动时

A、要使小车静止不动，甲、乙动量必须大小相等

B、要使小车向左运动，甲的速率必须比乙的大

C、要使小车向左运动，甲的动量必须比乙的大

D、要使小车向左运动，甲的动量必须比乙的小

5、一质量为M的长木板静止在光滑水平桌面上。一质量为m的小滑块以水平速度v0从长木板的一端开始在木板上滑动，直到离开木板。滑块刚离开木板时的速度为v0/3，则滑块离开木板时木板的速度为

。

6、一小孩质量为30kg，若他以8m/s的水平速度跳上一辆静止在光滑水平面上的小车，车的质量为10kg，

则小车与小孩的共同速度为_____m/s。

7、质量为10g的子弹，以300m/s的速度射入质量为24g静止在水平桌面上的木块，并留在木块中，子弹留在木块中以后，木块运动的速度是多大？如果子弹把木块打穿，子弹穿过后的速度为100m/s，这时木块的速度又是多大？

8、质量为70kg的男运动员和质量为50kg的女运动员，在冰面上进行双人滑表演。当男运动员以2m/s的速度向东滑行时，女运动员以2m/s的速度迎面向西滑来，两人在一条直线上滑行，两人接触后，共同速度的大小为多少？速度的方向如何？

9、如图所示，质量为M的滑块静止在光滑的水平桌面上，滑块的光滑弧面底部与桌面相切，一个质量为m的小球以速度v0向滑块滚来，设小球不会越过滑块，则小球到达最高点时，速度的大小为多少？方向如何？

10、一只质量为M的气球静止在距地面高度为h处，从气球上放下一架质量不计的软梯刚好到达地面，软梯的末端站立一个质量为m的人。不计空气阻力，当人沿软梯攀登到气球中时，气球离地面的高度为多少？

2

三、碰撞、反冲

1、碰撞：

两个物体在极短时间内发生相互作用，这种情况称为碰撞。由于作用时间极短，一般都满足内力远大于外力，所以可以认为系统的动量守恒。碰撞又分弹性碰撞、非弹性碰撞、完全非弹性碰撞三种。

仔细分析一下碰撞的全过程：

v1/ v2/ v1 v

A A B A B

A

B

Ⅰ

Ⅱ

Ⅲ

设光滑水平面上，质量为m1的物体A以速度v1向质量为m2的静止物体B运动，B的左端连有轻弹簧。在Ⅰ位置A、B刚好接触，弹簧开始被压缩，A开始减速，B开始加速；到Ⅱ位置A、B速度刚好相等（设为v），弹簧被压缩到最短；再往后A、B开始远离，弹簧开始恢复原长，叫完全非弹性碰撞。可以证明，A、B最终的共同速度为v1v2过程中，系统的动能损失最大，为：

2m1m2v11122。

Ekm1v1m1m2v1'222m1m2m1v1。在完全非弹性碰撞m1m2和v2。全过程系统动量一定到Ⅲ位置弹簧刚好为原长，A、B分开，这时A、B的速度分别为v1是守恒的；而机械能是否守恒就要看弹簧的弹性如何了。

⑴弹簧是完全弹性的。Ⅰ→Ⅱ系统动能减少全部转化为弹性势能，Ⅱ状态系统动能最小而弹性势能最大；Ⅱ→Ⅲ弹性势能减少全部转化为动能；因此Ⅰ、Ⅲ状态系统动能相等。这种碰撞叫做弹性碰撞。由动量守恒和能量守恒可以证明A、B的最终速度分别为：v1m1m22m1v1,v2v1。

m1m2m1m2=0 v2=v1

(速度互换) 当m1=m2时：v1>0

(A球继续前进) 当m1>m2

时：v1<0

(A球被反弹) 当m1

时：v1≈v1

(A球近似以原速前进) 当m1>>m2

时：v1≈-v1

(A球近似以原速返回) 当m1<< m2

时：v1

⑵弹簧不是完全弹性的。Ⅰ→Ⅱ系统动能减少，一部分转化为弹性势能，一部分转化为内能，Ⅱ状态系统动能仍和⑴相同，弹性势能仍最大，但比⑴小；Ⅱ→Ⅲ弹性势能减少，部分转化为动能，部分转化为内能；因为全过程系统动能有损失（一部分动能转化为内能）。这种碰撞叫非弹性碰撞。

⑶弹簧完全没有弹性。Ⅰ→Ⅱ系统动能减少全部转化为内能，Ⅱ状态系统动能仍和⑴相同，但没有弹性势能；由于没有弹性，A、B不再分开，而是共同运动，不再有Ⅱ→Ⅲ过程。这种碰撞2、反冲：

在某些情况下，原来系统内物体具有相同的速度，发生相互作用后各部分的末速度不再相同而分开。这类问题相互作用过程中系统的动能增大，有其它能向动能转化。可以把这类问题统称为反冲。

例8．质量为m的人站在质量为M，长为L的静止小船的右端，小船的左端靠在岸边。当他向左走到船的左端时，船左端离岸多远？

解析：先画出示意图。人、船系统动量守恒，总动量始终为零，所以人、船动量大小始终相等。从图中可以看出，人、船的位移大小之和等于L。设人、船位移大小分别为l1、l2，则：mv1=Mv2，两边同乘时间t，ml1=Ml2，而l1+l2=L，ml2

l1 ∴l2L

Mm例9．总质量为M的火箭模型

从飞机上释放时的速度为v0，速度方向水平。火箭向后以相对于地面的速率u喷出质量为m的燃气后，火箭本身的速度变为多大？

解析：火箭喷出燃气前后系统动量守恒。喷出燃气后火箭剩余质量变为M-m，以v0方向为正方向，Mv0muMmv,v

13、有一炮竖直向上发射炮弹，炮弹的质量为M=6.0kg（内含炸药的质量可以忽略不计），射出的初速度v060m/s。当炮弹到达最高点时爆炸为沿水平方向运动的两片，其中一片质量为Mv0mu

Mmm4.0kg。现要求这一片不能落到以发射点为圆心、以R600m为半径的圆周范围内，则刚

3

爆炸完时两弹片的总动能至少多大？(g10m/s2，忽略空气阻力) 问题7．动量与能量结合的问题

例10．设质量为m的子弹以初速度v0射向静止在光滑水平面上的质量为M的木块，并留在木块中不再射出，子弹钻入木块深度为d。求木块对子弹的平均阻力的大小和该过程中木块前进的距离。

解析：子弹和木块最后共同运动，相当于完全非弹性碰撞。从动量的角度看，子弹射入木块过程中系统动量守恒：

mv0Mmv

从能量的角度看，该过程系统损失的动能全部转化为系统的内能。设平均阻力大小为f，设子弹、木块的位移大小分别为s1、s2，显然有s1-s2=d

12对子弹用动能定理：fs11mv0mv2

……①

22对木块用动能定理：fs2(2)由能量守恒定律

μmgL=(111Mv22+ mv12) - (m+M) v共2

222L=0.48m

8、

物体A和长木板B的质量分别为m和M，长木板B静止在光滑水平面上，物体A在长木板B的左端以

速度v0向右运动，A、B之间的动摩擦因数为μ，如图所示，要使A不从长木板B 的右端掉下去，长木板B的长度至少是多少？物体A可视为质点。

1Mv2

……②

2

四．单元测试

1.质量为m的物体放在水平桌面上，用一个水平推力F推物体而物体始终不动，那么在时121Mm2①、②相减得：fdmv0

……③

Mmv2v0222Mm这个式子的物理意义是：fd恰好等于系统动能的损失；根据能量守恒定律，系统动能的损失应该等于系统内能的增加；可见fdQ，即两物体由于相对运动而摩擦产生的热（机械能转化为内能），等于摩擦力大小与两物体相对滑动的路程的乘积（由于摩擦力是耗散力，摩擦生热跟路径有关，所以这里应该用路程，而不是用位移）。

由上式不难求得平均阻力的大小：f2Mmv0

2Mmd至于木块前进的距离s2，可以由以上②、③相比得出：s2md

Mm间t内，力F推物体的冲量应是

(

B

) A．0

B．Ft

C．mgt

D．无法判断

例11．

如图所示，质量为M =2kg的小车放在光滑水平面上，在小车右端放一质量为m=1kg 的物块。两者间的动摩擦因数为μ=0.1，使物块以v1=0.4m/s 的水平速度向左运动，同时使小车以v2=0.8m/s 的初速度水平向右运动，（取g= 10m/s2）求：

(1)物块和小车相对静止时，物块和小车的速度大小和方向；

(2)为使物块不从小车上滑下，小车的长度L至少v1 多大？

m v2 解析：(1) m、M组成的系统，动量守恒，取向右M 为正方向，则Mv2-mv1=(m+M)v共

v共=0.4m/s，方向水平向右。

2．关于冲量、动量、动量的增量的下列说法中正确的是

(

B

) A．冲量的方向一定和动量的方向相同

B．冲量的大小一定和动量变化量的大小相同

4

C．动量增量的方向一定和动量的方向相同

D．动量增量的大小一定和动量大小的增量相同

3．甲乙两个质量相等的物体，以相同的初速度在粗糙程度不同的水平面上运动，甲物体先停下来，乙物体后停下来，则

(

C

) A．甲物体受到的冲量大

C．两物体受到的冲量相等

5．一质量为m的物体放在光滑水平面上，今以恒力F沿水平方向推该物体，在相同的时间间隔内，下列说法正确的是

(

D

) A．物体的位移相等

B．物体动能的变化量相等

D．物体动量的变化量相等

B．乙物体受到的冲量大

D．两物体受到的冲量无法比较

A．mgsin θ(t1＋t2)

C．mg(t1＋t2)

B．mgsin θ(t1－t2) D．0 C．F对物体做的功相等

6．如图所示，物体在粗糙的水平面上向右做直线运动．从a点开始受到一个水平向左的恒力F的作用，经过一段时间后又回到a点，则物体在这一往返运动的过程中，下列说法中正确的是

(

A

)

A．恒力F对物体做的功为零

B．摩擦力对物体做的功为零

C．恒力F的冲量为零

8．如图所示，质量为m的小滑块沿倾角为θ的斜面向上滑动，经时间t1，速度为零后又下滑，经过时间t2回到斜面底端，滑块在运动过程中受到的摩擦力大小始终为Ff，在整个运动过程中，滑块重力的总冲量

(

C

)

D．摩擦力的冲量为零

1.

2.

如图所示，运动员挥拍将质量为m的网球击出。如果网球被拍子击打前、后瞬间速度的大小分别为v1、v2，v1与v2方向相反，且v2

> v1。重力影响可忽略，则此过程中拍子对网球作用力的冲量(C)

A．大小为m (v2 + v1 )，方向与v1方向相同

B．大小为m (v2 – v1 )，方向与v1方向相同

C．大小为m (v2 + v1 )，方向与v2方向相同

D．大小为m (v2 – v1 )，方向与v2方向相同

3.

篮球运动员通常要伸出两臂迎接传来的篮球。接球时，两臂随球迅速收缩至胸前。这样做可以(B) A．减小球对手的冲量

B．减小球对手的冲击力

C．减小球的动量变化量

D．减小球的动能变化量

4.

如图所示，PQS是固定于竖直平面内的光滑的圆周轨道，圆心O在S的正上方，在O和P两点各有一质量为m的小物块a和b，从同一时刻开始，a自由下落，b沿圆弧下滑。以下说法正确的是(A ) A．a比b先到达S，它们在S点的动量不相等

B．a与b同时到达S，它们在S点的动量不相等

C．a比b先到达S，它们在S点的动量相等

D．b比a先到达S，它们在S点的动量相等

2、一粒钢珠从静止状态开始自由下落，然后陷入泥潭中.若把在空中下落的过程称为过程Ⅰ，进入泥潭直到停住的过程称为过程Ⅱ，则( ) ①过程Ⅰ中钢珠动量的改变量等于重力的冲量

②过程Ⅱ中阻力的冲量的大小等于过程Ⅰ中重力冲量的大小

③过程Ⅱ中钢珠克服阻力所做的功等于过程Ⅰ与过程Ⅱ中钢珠所减少的重力势能之和

④过程Ⅱ中损失的机械能等于过程Ⅰ中钢珠所增加的动能. (A)①③ (B)①④ (C)②③ (D)③④

5.

如右图所示，在光滑水平面上质量分别为mA=2kg、mB=4kg，速率分别为vA=5m/s、vB=2m/s的A、B两小球沿同一直线相向运动(

C

) A．它们碰撞前的总动量是18kg·m/s，方向水平向右

vA

vB

B．它们碰撞后的总动量是18kg·m/s，方向水平向左

A 左

B 右

C．它们碰撞前的总动量是2kg·m/s，方向水平向右

D．它们碰撞后的总动量是2kg·m/s，方向水平向左

6.

甲、乙两个溜冰者，质量分别为m甲=59kg，m乙=50kg，均以6.0m/s的速度在同一直线上相向运动。甲手持一个质量为1.0kg的球，他将球抛给乙，乙再把球抛还给甲……，这样抛

5

接若干次后，甲接到球后的速度恰为零，这时乙的速度大小和方向分别为( A ) A．1.2m/s；与乙原来的方向相反

B．1.2m/s；与乙原来的方向相同

C．2.4m/s；与乙原来的方向相反

D．2.4m/s；与乙原来的方向相同

5、如图所示，A、B两质量相等的物体，原来静止在平板小车C上，A和B间夹一被压缩了

的轻弹簧，A、B与平板车上表面动摩擦因数之比为3∶2，

地面光滑。当弹簧突然释放后，A、B相对C滑动的过程中

①A、B系统动量守恒 ②A、B、C系统动量守恒

③小车向左运动

④小车向右运动

以上说法中正确的是

（B ）

A．①②

B．②③

C．③①

D．①④

例5．质量为m的钢球自高处下落，以速度v1碰地，竖直向上弹回，碰撞时间极短，离地的速率为v2，在碰撞过程中，地面对钢球的冲量的方向和大小为（

）

A．向下，m(v1-v2)

B．向下，m(v1+v2) C．向上，m(v1-v2)

D．向上，m(v1+v2) 7.

如图所示，光滑水平面上有质量均为m的物块A和B，B上固定一轻弹簧。B静止，A以速度v0水平向右运动，通过弹簧与B发生作用。作用过程中，弹簧获得的最大弹性势能EP为(C) v0

1122A．mv0

B．mvv0

168B A 1212C．mv0

D．mv0

428.

如图所示,光滑水平面上有大小相同的A、B两球在同一直线上运动，两球质量关系为mB=2mA，规定向右为正方向，A、B两球的动量均为6 kg·m/s，运动中两球发生碰撞，碰撞后A球的动量增量为-4 kg·m/s，则

（

A

）

A．左方是A球，碰撞后A、B两球速度大小之比为2∶5

B．左方是A球，碰撞后A、B两球速度大小之比为1∶10

C．右方是A球，碰撞后A、B两球速度大小之比为2∶5

D．右方是A球，碰撞后A、B两球速度大小之比为1∶10

9.

如图所示，弹簧的一端固定在竖直墙上，质量为m的光滑弧形槽静止在光滑水平面上，底部与水平面平滑连接，一个质量也为m的小球从槽高h处开始自由下滑(

C

) A．在以后的运动过程中，小球和槽的动量始终守恒

B．在下滑过程中小球和槽之间的相互作用力始终不做功

C．被弹簧反弹后，小球和槽都做速率不变的直线运动

D．被弹簧反弹后，小球和槽的机械能守恒，小球能回到槽高h处

10.

如图所示，轻质弹簧上端悬挂于天花板，下端系有质量为M的圆板，处于平衡状态．开始一质量为m的圆环套在弹簧外，与圆板距离为h，让环自由下落撞击圆板，碰撞时间极短，碰后圆环与圆板共同向下运动，使弹簧伸长。那么

(C) Ａ.碰撞过程中环与板系统的机械能守恒

Ｂ.碰撞过程中环与板的总动能减小转化为弹簧的弹性势能

Ｃ.碰撞后新平衡位置与下落高度h无关

h Ｄ.碰撞后环与板共同下降的过程中，它们动能的减少量等于

弹簧弹性势能的增加量

4、如图所示，A物体的质量为m，B物体的质量为2m，

在光滑的水平面上以相同的动量运动，发生正碰后，

A沿原方向运动，但其速度减为原来的一半，则碰后

两物体的速率之比为 .

6、长为L，质量为M的平板小车静止在光滑水平面上，一个质量为m的人站在小车的一端，当人从车的这端走到另一端的过程中，则平板小车对地的位移是 .

例1．质量为m的小球由高为H的光滑斜面顶端无初速滑到底端过程中，重力、弹力、合力的冲量各是多大？

解析：力的作用时间都是t2H1gsin2sin2H，

gm H 力的大小依次是mg、mgcosα和mgsinα，所以它们的冲量依次是：

IGm2gHm2gH,IN,I合m2gH

sintan特别要注意，该过程中弹力虽然不做功，但对物体有冲量。

问题2．动量变化的理解

例4．质量为m的小球，从沙坑上方自由下落，经过时间t1到达沙坑表面，又经过时间t2停在沙坑里。求：⑴沙对小球的平均阻力F；⑵小球在沙坑里下落过程所受的总冲量I。

解析：设刚开始下落的位置为A，刚好接触沙的位置为B，

A 在沙中到达的最低点为C。

⑴在下落的全过程对小球用动量定理：重力作用时间为t1+t2，

而阻力作用时间仅为t2，以竖直向下为正方向，有：

B C

6

mg(t1+t2)-Ft2=0,

解得：Fmgt1t2

t2守恒得：

12mv＝mgh1

2112mv＝mgh2

22设时间t内，床垫对运动员的平均作用力为F，取向上为正方向，由动量定理得：

(F－mg)t＝mv2－(－mv1) 以上三式联立可得：

m(2gh2＋2gh1)F＝＋mg

t再由牛顿第三定律得，运动员对床垫的作用力

为m(2gh2＋2gh1)＋mg，方向竖直向下．

tm(2gh2＋2gh1)＋mg

方向竖直向下

t

⑵仍然在下落的全过程对小球用动量定理：在t1时间内

10．如图所示，质量为m＝2 kg的物体，在水平力F＝8 N的作用下，由静止开始沿水平面向右运动．已知物体与水平面间的动摩擦因数μ＝0.2.若F作用t1＝6 s后撤去，撤去F后又经t2＝2 s物体与竖直墙壁相碰，若物体与墙壁作用时间t3＝0.1 s，碰墙后反向弹回的速度v′＝6 m/s，求墙壁对物体的平均作用力．(g取10 m/s2) 【解析】

取从物体开始运动到撞墙后反向弹回的全过程应用动量定理，并取F的方向为正方向

则F·t1－μmg(t1＋t2)－F·t3＝－mv′

F·t1－μmg(t1＋t2)＋mv′所以F＝

t3＝8×6－0.2×2×10×(6＋2)＋2×6

N＝280 N. 0.1【答案】

12．撑杆跳高是一项技术性很强的体育运动，完整的过程可以简化成如下图所示的三个阶段：持杆助跑、撑杆起跳上升、越杆下落．在第二十九届北京奥运会比赛中，身高1.74 m的俄罗斯女运动员伊辛巴耶娃以5.05 m的成绩打破世界纪录．设伊辛巴耶娃从静止开始以加速度a＝1.0 m/s2匀加速助跑，速度达到v＝8.0 m/s时撑杆起跳，使重心升高h1＝4.20 m后越过横杆，过杆时的速度不计，过杆后做自由落体运动，重心下降h2＝4.05 m时身体接触软垫，从接触软垫到速度减为零的时间t＝0.90 s．已知伊辛巴耶娃的质量m＝65 kg，重力加速度g取10 m/s2，不计撑杆的质量和空气的阻力．求：

(1)伊辛巴耶娃起跳前的助跑距离；

(2)伊辛巴耶娃在撑杆起跳上升阶段至少要做的功；

(3)在伊辛巴耶娃接触软垫到速度减为零的过程中，软垫对运动员平均作用力的大小．

【解析】

(1)设助跑距离为s，由运动学公式v2＝2as

v2解得s＝＝32 m. 2a【答案】

280 N

方向与F相反

11．在2008北京奥运会上，中国选手陆春龙、何雯娜分获男、女蹦床冠军．如图所示，在蹦床比赛中，运动员从床垫正上方h1高处自由落下，落垫后反弹的高度为h2，运动员每次与床垫接触的时间为t，运动员质量为m，求在运动员与床垫接触的时间内运动员对床垫的平均作用力．(空气阻力不计，重力加速度为g) 【解析】

设运动员刚接触床垫的速度大小为v1，刚离开床垫的速度大小为v2，由机械能

7

(2)设运动员在撑杆起跳上升阶段至少

要做的功为W，由功能关系有

1W＋mv2＝mgh1

2解得：W＝650 J. (3)运动员过杆后做自由落体运动，设接触软垫时的速度为v′，由运动学公式有v′2＝2gh2

设软垫对运动员的平均作用力为F，由动量定理得

(mg－F)t＝0－mv′

解得F＝1 300 N. 【答案】

(1)32 m (2)650 J (3)1 300 N

17、如图所示，质量为2kg的平板车B静止在光滑水平面上，板车左端静止着一块质量为2kg的物块A（可当质点来处理），一颗质量为10g的子弹以v0=600m/s的水平速度射穿A物块后，速度减少为100m/s，若AB间的动摩擦因数为0.05。试求：

（1）

A物块运动的最大速度；

V0

（2）

若A始终在B车上，则B车的最大速度为多少？

A B （3）

满足A不从B车上滑下的B车的长度最少是多少？

8

11.

如图所示，半径为R的光滑半圆环轨道竖直固定在一水平光滑的桌面上，桌距水平地面的高度也为R。在桌面上轻质弹簧被a、b两个小球挤压（小球与弹簧不拴接），处于静止状态。同时释放两个小球，小球a、b与弹簧在水平桌面上分离后，a球从B点滑上光滑半圆环轨道并恰能通过半圆环轨道最高点A，b球则从桌面C点滑出后落到水平地面上，落地点距桌子右侧的水平距离为

52R。已知小球a质量为m，重力加速度为g。求：

（1）释放后a球离开弹簧时的速度大小；

（2）释放后b球离开弹簧时的速度大小；

（3）释放小球前弹簧具有的弹性势能。

R A B a b C 2vA解：（1）(4分)a球恰能通过半圆环轨道最高点A时mgm

R

2a球从B运动到A过程中机械能守恒mvB1212mvAmg2R

2联立解得：vavB5gR

(2) b球则从桌面C点滑出做平抛运动h12xgt

，vC

t2

9

代入数据求得：vbvc5gR

2转化为内能和物块的势能fLmgR121mv0－(Mm)V12

22

④

（3）以ab与弹簧为研究对象，动量守恒：0mvambvv

得：mb2m

由③、④解得，要使物块恰好不从C点离开滑道，圆弧半径应为

R=0.8m

⑤

（3）设物块以初速度v0’上轨道，可以达到的最大高度是2R，物块从C点离开轨道，其水平方向的速度总与轨道速度相等，达到最高点时，物块水平方向跟轨道的速度相等（设为V2），1212弹簧的弹性势能为：EPmva

mbvb22得EP3.75mgR

12.

竖直平面内的轨道ABC由水平滑道AB与光滑的四分之一圆弧滑道BC平滑连接组成，轨道放在光滑的水平面上。一个质量为m=1kg的小物块（可视为质点）从轨道的A端以初速度v0=8m/s冲上水平滑道AB，沿着轨道运动，由CB弧滑下后停在水平滑道AB的中点。已知水平滑道AB长为L，轨道ABC的质量为M=3kg。求：

（1）小物块和滑道相对静止时共同的速度；

（2）若小物块恰好不从C端离开滑道，圆弧滑道的半径R应是多大；

（3）若增大小物块的初速度，使得小物块冲出轨道后距离水平滑道AB的最大高度是2R，小物块的初速度v0’应多大。

C

v

A

B

解：（1）小物块冲上轨道的初速度设为v0，最终停在AB的中点，跟轨道有相同的速度，设为V1。在这个过程中由系统动量守恒有

mv0=(M+m)V1

①

可得V1=2m/s

②

（2）小物块冲上轨道到最终停在AB的中点，设物块与轨道间滑动摩擦力为f，由能量守恒mv'0(mM)V2

⑥

11'2mv0(mM)V22mg2RfL

⑦

22由⑥、⑦可得v0’=9.25m/s

⑧

3fL2＝121mv0－(Mm)V12

22

③

若小物块恰好到达C端，此时它与轨道有共同的速度V1，在此过程中系统总的动能减少

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