12.1 实数的概念教案教学设计导入整理

实数的概念教学

教学目标：

1．通过动手操作体验发现无理数的过程，知道无理数是客观存在的数，同时渗透割补的数学思想．

2．通过对比分析和反证法，理解无理数只能是无限不循环小数，会辨别无理数．

3．通过简单数的发展史让学生了解数的产生、发展的过程，对学生进行科学精神与人文精神的教育．在了解数的范围从整数到有理数、再到实数的扩展过程中，知道实数的分类，体会分类的数学思想．

教学重点：无理数、实数的概念以及实数的分类．

教学难点：有理数与无理数的区别．

教学过程：

教师活动

学生活动

教学设计意图

一、复习引入

前两个问题引导学教师设问：

预设生答：

生复习已有的相关2(1)

我们已经学习了有理数，你能举出几知识， (1) 2，等

个有理数吗？

同时第（2）问让学3(2)

和

统称为有理数．

(2) 整数和分数

生明确分数可以化

如果把整数看成是分母为1的分数，那么

为有限小数或无限有理数都可以用统一的形式表示为用两有限小数或无限循环循环小数．为下面小数

p要说明2是无限个整数之比表示的分数：（q≠0）．那

q

不循环小数做铺么分数都可以化为什么样的小数．

垫．

p(3)是不是所有的数都能表示为分数

第三个问题设置疑q

问，引发学生的思（p、q都是整数，且q≠0）的形式？请大

考，带着这样的困家看下面的操作．

惑和好奇学习新

知．

二、学习新知

1．

操作剪拼正方形引出2．

通过操作，让学生能否将两个边长为1的正方形剪拼成一感受2的现实意

个大正方形？怎样剪拼？它的面积是多少？边长如何表示？

或

义，同时渗透割补

的数学思想．并认识到用已有的有理

师：如果设该正方形的边长为x，那么数不能准确表示这一线段长度，因而x22，即x是这样一个数，它的平方等等

需要寻找一种新的于2．这个数表示面积为2的正方形的边

数来解决问题．

长，是现实世界中真实存在的线段长

本节中“”

度．由于这个数和2有关，我们现在用2（读作“根号2”）来表示．

2．

说明2是一个无限不循环小数．（给出证明）

师：前面我们讲到有理数都可以化为p的形式，下面我们说明2不可以化为qp的形式．

q假设22是一个有理数，设p(p,q表示整数且互素，同时q0)q，等式两边分别平方，可以得到2= ，则p2= ，

由此可知p一定是一个 （填“奇”或“偶”）数，

再设p=2n(n表示整数)，代入上式，那么q= ，同理可知q也2是一个无限不循环是 .这时发现p、q有了共同的小数．让学生的知因数2，这与之前假设中的识系统更清晰、更“ ”矛盾.因此假设不成立，

明了.

即2不是 ，而是无限不循环

小数.

师生总结：从以上填空可以说明2不是

有理数，就一定是无限不循环小数.

预设生答：3、5、

问：除了2

，无限不循环小数还有吗？

π……

问：面积为3的正方形，它的边长又如何

表示？若面积为5呢？

此外，我们还可以构造几个无限不循环小

举例是否存在数，

其它的无限不循环

学生口答：

的出现先于定义，暂只作为一个记号，其含义待下一节课详述．

针对本班学生的基础较好的实际情况，这里用了填空的形式说明2

如：0.202002000200002……、

0.1234567891011121314……等．

三、实数的概念

1．无理数

无限不循环小数叫做无理数．无理数也有正、负之分．只有符号不同的两个无理数，它们互为相反数．

在完成实数的概念及第一种分类后倾听老师讲小故事：

其实人类最初是没有数的概念的，随着生产生活的需要，逐渐产生了整数、分数也就是以前我们所比如：2与2、π与–π它们互为相反知道的有理数．

数．

那么数的概念是板书：

不是发展到这里就为2．实数

止了呢？通过今天的板书：有理数和无理数统称为实数．（简学习同学们知道其实述数的发展史）

不是．

大约2400年以前，有一个著名的学派叫毕达哥拉斯学派，其中有个弟子叫希帕斯，当时他发现了2不能被精确的度量、也

就是2不是有理数，这一发现与此学派所

例题1

将下列各数放入图中适当的位崇奉的“万物皆为有置：

理数”这一信念是相3、22、违背的、传说希帕斯.20、–2、2、4、3.1416、0因此受到迫害、被扔7进了大海．但是多年5、π、0.3737737773…（它们的位数以后人们还是证实了无限且相邻两个“3”之间“7”的个数依无理数这一伟大发次加1个）．

现，这是人类理性智慧的胜利、也是人类对数的认识的一次飞跃，更是数学发展史的一次重大突破。希望大家珍惜我们的前人用鲜血乃至生命换

来的科学成果．

预设生答1：实数的分

问：1、在这个图中你有什么发现？

类，以及它们的包含2、如果把这些数按照正、负、0分类、关系．

可以吗？

2：可以．

3、实数还可以怎样分类？

小数，说明无限不循环小数普遍存在．

在前面的基础上，引进无理数，归纳得到实数的概念，体验数的扩充的过程和必要性．

数的发展史让学生了解数的产生、发展的过程，对学生进行科学精神与人文精神的教育，激发学生学习的兴趣．

实数的分类能帮助学生更好认识实数，构建数系知识结构，领会分类思想．

例题1从不同的角度帮助学生理解实数范围中各类22数的概念．题中7应注意，它是一个无限循环小数，学生容易将它归入无理数范畴．还应注意数后面的“省略号”也非常重要．

问题2是为自然引出实数的第二种分类方法．要注意统一分类标准．

例题2是为了帮助学生进一步理解实数范围中各类数的概念．第（3）、（4）两小题，建议与实数的分类作比较分析，即可得出正确结论．

巩固练习是帮助学生进一步理解实数范围中各类数π、0.3和0.818118111811118（每相邻的概念．

两个“8”之间的“1”的个数从左到右依

次递增且是无限小数）中，无理数

有

，

正有理数有

，

π、11等

非负数有

，

整数有

．

预设学生答：

四、拓展提高：

1．无限不循环小数叫

请写出几个在3和4之间的无理数．

做无理数．

梳理知识点，五、课堂小结

2．有理数和无理数统培养学生归纳反思谈谈这节课你有什么收获、你最感兴趣的称为实数．

的能力．

是什么、你还有疑问吗? 3．实数的不同分

类．等等

思想方法：分类思想、割补思想

例题2 判断下列说法是否正确，并说明理由：

(1) 无限小数都是无理数；

(2) 无理数都是无限小数；

(3) 有理数都是有限小数；

(4) 正实数包括正有理数和正无理数；

(5) 实数可以分为正实数和负实数两类．

解：(1)无限小数包括无限循环小数和无限不循环小数，其中无限循环小数是有理数，所以(1)不正确．

(2)无理数是无限不循环小数，当然也是无限小数，所以(2)正确．

(3)不正确．

(4)正实数按有理数和无理数分类，可分为正有理数和正无理数，所以(3)正确．

(5)因为零是实数，但它既不是正实数，也不是负实数，而在(4)的实数分类中没有把零包含在内，所以(4)不正确．

四、巩固练习

1231．在7、0.013、2、0、2、、72

3：学生口答

学生口答

预设生答：

六、布置作业

练习册：习题12.1

板书设计：

12.1

实数

无理数的概念

无理数的例子（用面积得到、由π生成

实数的概念

例1：

或自己构造）

实数按类型分类

有理数

无理数

实数按符号分类

整数

正整数

教学反思：

本节课的知识形成过程：首先通过学生实际操作，得到面积为2的正方形，提出

“正方形的边长怎样表示”的问题，引出边长为“2”.然后通过与有理数比较分析并且说理，推出2只能是一个无限不循环小数，即无理数，紧接着再举几个无理数的例子。（即：第一，探究生活中是否存在无理数：通过操作产生面积为2的正方形，由正方形的边长引出“2”；第二，探究2是什么样的数：通过与有理数比较分析，推出2只能是一个无限不循环小数，即无理数；第三，探究是否存在其他的无理数：举面积为3、5、6、7、8、10…的正方形边长及圆周率π为例，或自己构造无限不循环小数说明无理数普遍存在。）在此基础上，引进无理数，归纳得到实数的概念，体验数的扩充的过程和必要性。

（1）动手操作和问题讨论的目的，是让学生感受2的现实意义，同时渗透割补的数学方法。并认识到用已有的有理数不能准确表示这一线段长度，因而需要寻找一种新的数来解决问题；同时调动学生学习和思维的积极性，帮助学生体验无理数的产生过程，引导学生用科学的眼光认识世界。本节中“定义，暂只作为一个记号，其含义待下一节课详述。

（2）考虑到学生层次相对较好，教学中以2为例，教师与学生一起通过说理，说明了2不是有理数，而是一个无限不循环小数.让学生的知识系统更加清晰、明了。

（3）把无限不循环小数叫做无理数，是与有理数的意义进行比较后，通过理性思考得到的，无理只是相对于有理而言。无理数的相反数的概念在“实数运算”一节有定义，这里只对特殊的数作说明。

（4）实数的第一种按类型分类的办法，本堂课与有理数分类方法进行比较。实”的出现先于

数的第二种分类的办法按符号分不是强加给学生、而是由例题1通过学生动手、动口重新组合自然而然的得到第二种分类，这样帮助学生更好认识实数，构建数系知识结构，突出了本堂课重点。在此要帮助学生领会数的分类应遵循的规则，领会分类思想。

（5）数的发展史小故事让学生了解数的产生、发展的过程，对学生进行科学精神与人文精神的教育，激发学生学习的兴趣。

22（6）例题及从不同的角度帮助学生理解实数系中各类数的概念。例题1中应73也应引.2给予关注，它是一个无限循环小数，学生容易将它归入无理数范畴。0起重视、学生也易出错。

因此在例1之后给出例2的一组判断题帮助学生更好地理解实数的概念及分类、理解无理数与有理数的区别，突出本堂课重点、突破本堂课难点。

(7)个人感觉本堂课环节仅仅相扣、知识点清晰、明了，学生掌握比较好。数学发展史是我在网上所查的资料，我觉得是对学生进行科学教育和人文教育的一个良好契机。

（8）在本堂课小结过程中，我没有让学生只谈收获，而是再谈谈有什么疑问。有一个学生提出怎样很快用面积方法找出3与4之间的无理数，还有一位学生提出无限小数一定是无理数吗？学生们提出的问题同伴之间给与解决，让学生心中不留疑惑、让这堂课更加丰满。