*5 一元二次方程的根与系数的关系优质课教学设计

第二章

一元二次方程

5．一元二次方程的根与系数的关系

银川市第六中学

刘小娜

一、学生知识状况分析

“一元二次方程根与系数的关系”是《一元二次方程》中继“一元二次方程的解法”之后的一个学习内容，学生已学习的用公式法解一元二次方程中的求根公式是本节课的基础。基于初中三年级学生对事物的认识多是直观、形象的，他们所注意的多是事物外部的、直接的、具体形象的特征，所以在教学初始，出示一些学生所熟悉和感兴趣的东西，结合一元二次方程求根公式使他们在现代化的教学模式和传统的教学模式相结合的基础上掌握一元二次方程根与系数的关系。

二、教学任务分析

本节是从相关知识的复习入手，目的是在巩固旧知的基础上为后续学习打铺垫，再通过计算、比较、分析、归纳发现根与系数的关系，发展学生的感性认识，合作意识，让学生体会由特殊到一般的认知过程。根与系数的关系也称为韦达定理（韦达是法国数学家），韦达定理是初中代数中的一个重要定理。为此，确定本节课的教学目标为：

1.掌握一元二次方程的根与系数的关系并会应用．

2.培养学生分析、观察、归纳的能力和推理论证的能力．

3.渗透由特殊到一般，再由一般到特殊的认识事物的规律；

4.培养学生去发现规律的积极性及勇于探索的精神．

三、教学过程分析

本节课设计了七个教学环节：第一环节：复习回顾；第二环节：情境引入；第三环节：探究新知；第四环节：尝试发展；第五环节：拓展创新；第六环节：感悟与收获；第七环节：布置作业。

第一环节：复习回顾

1

内容：

1、一元二次方程的一般形式？

ax+bx+c=0

(a≠0)（板书） 22 2、一元二次方程有实数根的条件是什么？

(△=b-4ac≥0)

3、当△＞0，△=0，△＜0 根的情况如何？

4、一元二次方程的求根公式是什么？

第二环节：情景引入

内容：同学们，我们来做一个游戏，看谁能更快速的说出下列一元二次方程的两根和与两根积？ 222（1）x+3x+4=0 （2）6x+x-2=0 （3） 2x-3x +1=0 目的：通过游戏入手，激发学生学习兴趣。

效果：激发了学生的求知欲和好奇心，激起了学生探究新知的兴趣。自然引出本节课要学习的课题

第三环节：探究新知

探索新知

解下列方程，并填写表格：

方

程

x2-2x=0 x2+3x-4=0 x2-5x+6=0 x1

x2

x1+x2

x1. x2

观察上面的表格，你能得到什么结论？

（1）关于x的方程么关系？

2

x2+px+q=0(p,q为常数,p2-4q≥0)的两根x1，x2与系数p，q之间有什

（2）关于x的方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根x1，

x2与系数a，b，c之间又有何关系呢？你能证明你的猜想吗？

解下列方程，并填写表格：

方

程

2x2-7x-4=0 3x2+2x-5=0 5x2-17x+6=0 x1

x2

x1+x2

x1. x2

小结:1.根与系数关系：

（1）关于x的方程x2+px+q=0(p,q为常数,p2-4q≥0)的两根x1，x2与系数p，q的关系是：x1+x2=

, x1. x2=

(注意：根与系数关系的前提条件是根的判别式必须大于或等于零。) （2）形如的方程ax2+bx+c=0（a≠0），可以先将二次项系数化为1，再利用上面的结论。

即：

对于方程

ax2+bx+c=0（a≠0）

（可以利用求根公式给出证明）

注意：根与系数关系使用的前提是：

（1）方程是一元二次方程；（2）判别式大于等于零. 第四环节：尝试发展

尝试题1：根据根与系数的关系写出下列方程的两根之和与两根之积

（方程两根为x1，x2、k是常数）

（1）2x2-3x-1=0

x1+x2= ________

x1x2= ________

（2）3x2+5x=0

x1+x2= ________

x1x2= ________

（3）x2+7x=-6

x1+x2= _________

x1x2= _________ （4）5x2+kx-6=0

x1+x2= _________

x1x2= _________ （学生迅速演算或口算）

尝试题2：利用根与系数的关系，求一元二次方程2x2-3x+5=0的两个根的

（1）平方和

（2）倒数和

（3）差

3

尝试题3：已知方程6x+kx-5=0的一个根为1，求它的另一个根及k的值。

目的：“尝试题1”是引导学生及时巩固本节所学的新知“根与系数的关系”，其中第（3）小题是培养学生思维严谨性和批判性；第（4）小题是起过渡作用设计。

“尝试题2” 将平方和、倒数和及差转化为两根和与积的代数式。例如：

2x12+ x22=( x1+x2)2-2 x1x2;

“尝试题3”

展示学生的不同作法，通过比较，学生可以体会到用根与系数的关系来解决此类问题比较简便。

效果：1、两根之和等于一次项系数除以二次项系数的相反数中的符号是学生的易错点

2、将平方和、倒数和及差转化为两根和与积的代数式时，部分学生不能熟练的掌握。

3、使学生体会解题方法的多样性，开阔解题思路，优化解题方法，增强择优能力。力求让学生在自主探索和合作交流的过程中进行学习，获得数学活动经验。

第五环节：拓展创新

1．已知三角形的两边长a、b是方程x2-12x+k==0的两个根，三角形的第三条边c=4,求这个三角形的周长。

2、变式训练：

已知三角形的两边长a、b是方程x2-12x+k==0的两个根，三角形的第三条边c能等于15吗？

4

3、利用根与系数的关系，求作一个一元二次方程，使它的两根为2和3. 目的：1、第1、2题把一元二次方程根与系数的关系与三角形三边关系相组合，借此锻炼学生综合分析、推理、归纳的能力。

2、第3题已知方程的两根求作一个一元二次方程，是一元二次方程根与系数的关系的逆用，比较抽象，学生真正掌握有一定的难度。同时要注意答案的多样性及其中的规律

效果：留给学生充分的独立思考和小组合作交流的时间与空间，使学生在资源共享的同时，充分体会到一元二次方程根与系数的关系的广泛应用和便捷，

第六环节 感悟与收获

内容：师生互相交流总结

在方程ax2+bx+c=0（a≠0）中，a、b、c有哪些作用？

①二次项系数a是否为零，决定着方程是否为二次方程；

②当a≠0时，b=0，a、c异号，方程两根互为相反数；

③当a≠0时，△=b2-4ac可判定根的情况

④当a≠0，b2-4ac≥0时，x1+x2=

，x1x2= ⑤当a≠0，c=0时，方程必有一根为0。

目的：鼓励学生回顾本节课知识方面以及与之相联系的知识有哪些收获，解题技能方面有哪些提高，通过回顾进一步巩固知识，将新知识纳入到学生个人已有的知识体系中。

效果：学生通过回顾本节课的学习，感受到公式推导的全过程，发展了逻辑思维能力，提高了推理技能。

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第七环节 布置作业

P52

A 知识技能1

B

数学理解3 C、已知方程

的一个根为2，求另一个根及的值。

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